第3讲 二次函数与一元二次方程、不等式-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

10.解:(1)∵x<54 , ∴5-4x>0, ∴y=4x-2+ 1 4x-5=- (5-4x+ 15-4x )+ 3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x= 15-4x , 即x=1时,上式等号成立, 故当x=1时,ymax=1. (2)∵0<x<12 ,∴1-2x>0, ∴y= 1 4 ·2x(1-2x)≤14 ·(2x+1-2x 2 )2 =14× 1 4= 1 16 , 当且仅当2x=1-2x(0<x<12 ), 即x=14 时,上式等号成立, 故当x=14 时,ymax= 1 16. 第3讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识情境导学】 知识点一 情境1 提示 设这个矩形的一条边长为x m,则 另一条边长为(12-x)m. 由题意得(12-x)x>20, 其中x∈{x|0<x<12}. 整理得x2-12x+20<0,x∈{x|0<x< 12}.① 求得不等式①的解集,就得到了问题的答案. 知识梳理 未知数 2 知识点二 情境2 提示 函数图象与x 轴交点的横坐标正 好是方程的根. 知识梳理 ax2+bx+c=0 零点 情境3 提示 从图象上看,位于x 轴上方的函数 值大于零,位于x 轴下方的函数值小于零,故 x2-12x+20<0的解集为{x|2<x<10}. 知识梳理 {x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 【典型例题精析】 跟踪训练1 解析:x2+3x-10=(x+5)(x-2). 答案:(x+5)(x-2) 跟踪训练2 解:(1)方程x2-5x-6=0的两根 为x1=-1,x2=6. 结合二次函数y=x2-5x-6的图象知,原不 等式的解集为{x|x<-1或x>6}. (2)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0. 方程(x-2)(x+3)=0的两根为 x1=2,x2=-3. 结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象知,原 不等式的解集为{x|x<-3或x>2}. 跟踪训练3 解:原不等式可化为 [x-(a+1)][x-2(a-1)]>0, 讨论a+1与2(a-1)的大小. 当a+1>2(a-1),即a<3时, 不等式的解集为x>a+1或x<2(a-1); 当a+1=2(a-1),即a=3时, 不等式的解集为x≠4; 当a+1<2(a-1),即a>3时, 不等式的解集为x>2(a-1)或x<a+1, 综上,当a<3时,不等式的解集为{x|x>a+1 或x<2(a-1)}; 当a=3时,不等式的解集为{x|x≠4}; 当a>3时,不等式的解集为{x|x>2(a-1)或 x<a+1}. 【衔接自测训练】 1.D 2.D 因为Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0, 所以不等式3x2-2x+1>0的解集为R. 3.C 3+5x-2x2≤0⇒2x2-5x-3≥0 ⇒(x-3)(2x+1)≥0⇒x≥3或x≤-12. 4.C ∵x-1x-2<0 , ∴(x-1)(x+2)<0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·511· 参 考 答 案 ∴-2<x<1, ∴不等式x-1x+2<0 的解集是{x|-2<x<1}. 故选C. 5.B 不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1< x<13 },即方程ax2+bx+1=0的解为- 1,13. 由方程的根与系数的关系可得 -b a =-1+ 1 3 , 1 a=-1× 1 3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-3, b=-2, ∴a+b=-5. 6.D 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为 {x|-2<x<1},所以a<0,且-2和1是一元 二次方程ax2+bx+c=0的两个实根,所以-2 +1=-ba ,-2×1=ca ,即c=-2a,b=a,所 以不等式cx2-ax+b>0可化为-2ax2-ax +a>0,因为a<0,所以2x2+x-1>0,即(2x -1)(x+1)>0,解得x>12 或x<-1. 7.解析:∵0<m<1,∴1m>1>m ,故原不等式的 解集为{x|m<x<1m }. 答案:{x|m<x<1m } 8.解析:z=(t+10)(-t+35), 依题意有(t+10)·(-t+35)≥500, 解得10≤t≤15,t∈N, 所以解集为{t|10≤t≤15,t∈N}. 答案:{t|10≤t≤15,t∈N} 9.解:原不等式可化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②当a=0时,原不等式化为x2<0,解集为⌀; ③当a<0时,x1<x2, 不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上,当a>0时,不等式的解集为{x|-a<x< 2a}; 当a=0时,不等式的解集为⌀; 当a<0时,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 10.解:(1)由题意知,不等式对应的方程ax2+5x +c=0的两个实数根为13 和1 2 , 由根与系数的关系,得 -5a= 1 3+ 1 2 , c a= 1 2× 1 3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得a=-6,c=-1. (2)由a=-6,c=-1知不等式ax2+(ac+ 2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0, 即3x2-4x+1≤0,解得13≤x≤1 , 所以所求不等式的解集为{x|13≤x≤1 }. 第四章 函数的概念与表示 第1讲 函数的概念 【知识情境导学】 知识点一 情境1 提示 它们有相同的解析式,也就是对应 关系.但它们有不同的实际背景,变量的取值范 围也不同. 情境2 提示 是函数.由图象和表格呈现出来的 变量间的对应关系比解析式更直观、形象. 情境3 提示 不同点:课本中的问题1,2是用解 析式刻画两个变量之间的对应关系,问题3是 用图象刻画两个变量之间的对应关系,问题4 是用表格刻画两个变量之间的对应关系. 共同点:①都包含两个非空的实数集,分别用 A,B 来表示;②两个实数集之间都有一种确定 的对应关系;③对于数集A 中的任意一个数x, 按照对应关系,在数集B 中都有唯一确定的数 y和它对应. 知识梳理 实数集 任意一个数x 确定 唯一确定 x y 知识点二 情境4 提示 一次函数、二次函数和反比例 函数. 情境5 提示 一次函数的定义域是R,值域也是 R,对应关系实际上就是f(x)=ax+b(a≠0); 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·611· 初高中衔接教材 第3讲 二次函数与一元二次方程、不等式 1.从函数观点看一元二次方程.了解函数 的零点与方程根的关系. 2.从函数观点看一元二次不等式.经历从 实际情景中抽象出一元二次不等式的过 程,了解一元二次不等式的现实意义. 3.借助一元二次函数的图象,了解一元二 次不等式与相应函数、方程的联系. 【导语】 同学们,我国历史上有很多杰出的数学 家,比如祖冲之、秦九韶等,我们古代的 数学重点在于“算”,可以说算学是异常 的发达,经常令西方数学家瞠目结舌.既 然要算,那么对于“二次方程”必然有所 涉猎! 比如我们所熟悉的《九章算术》, 但是《九章算术》的一贯作风是给个问 题,配个答案,剩下的自己去想,至于如 何解方程,这就需要大家来解决了.实际 上,对于求解一元二次方程方法有很多, 比如我们所熟悉的求根公式、配方法,而 比较好用的还是十字相乘法. 知识点一 一元二次不等式的定义及解法 情境1 园艺师打算在绿地上用栅栏围一 个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是 24 m,围成的矩形区域的面积要大于 20 m2,则这个矩形的边长为多少米? [知识梳理] 定义 一般地,我们把只含有一个 , 并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次不等式 一般 形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0, 其中a≠0,a,b,c均为常数 知识点二 一元二次不等式的解法 情境2 二次函数y=x2-12x+20的图象 与x轴有两个交点,这与方程x2-12x+20 =0的根有什么关系? [知识梳理] 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c, 我们把使 的实数x叫 做二次函数y=ax2+bx+c 的 . 注意点: 零点不是点,只是函数的图象与x 轴交 点的横坐标. 情境3 你能从二次函数y=x2-12x+20 的图象上找到x2-12x+20<0的解 集吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·86· 初高中衔接教材 [知识梳理] 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y= ax2+bx+c(a >0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c= 0(a>0)的根 有两个不相等 的实数根x1, x2(x1<x2) 有两个相等的 实数 根 x1= x2=- b 2a 没有实数根 ax2+bx+c> 0(a >0)的 解集 {x|x≠-b2a } R ax2+bx+c< 0(a >0)的 解集 注意点: (1)若二次项系数为正数的不等式对应 的一元二次不等式能因式分解,可直接 利用“大于取两边,小于取中间”的方法 得到不等式的解集. (2)若不等式无解,则应说解集为空集. 【例1】 分解下列因式: (1)x2+4x+3; (2)5x2-6x+1; (3)m2+2mn-3n2; (4)ax2+(a-1)x-1(a≠0). 【解】 (1)x2+4x+3=(x+1)(x+3). (2)5x2-6x+1=(x-1)(5x-1). (3)m2+2mn-3n2=(m+3n)(m-n). (4)ax2+(a-1)x-1=(ax-1)(x+1) (a≠0). 【反思感悟】 (1)判定能否使用十字相 乘法分解因式时,需要使用Δ=b2-4ac, 当Δ 为完全平方式时,可以在整数范围 内对该多项式进行十字相乘. (2)有时需对二次项系数和常数项进行 多次拆分,直到符合要求为止. 跟踪训练1 因式分解:x2+3x-10= . 【例2】 解下列不等式: (1)-2x2+x-6<0; (2)-x2+6x-9≥0; (3)x2-2x-3>0. 【解】 (1)原不等式可化为2x2-x+6 >0. 因为方程2x2-x+6=0 的判别式Δ=(-1)2-4 ×2×6<0,所以函数y =2x2-x+6的图象开 口向上,与x 轴无交点 (如图所示). 观察图象可得,原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2- 6x+9≤0,即(x-3)2 ≤0,函数y=(x-3)2 的 图象如图所示,根据图象 可得,原不等式的解集为 {x|x=3}. (3)方程x2-2x-3=0的两根是x1= -1,x2=3. 函数y=x2-2x-3的 图象是开口向上的抛物 线,与x 轴有两个交点 (-1,0)和(3,0),如图 所示. 观察图象可得不等式的解集为{x|x< -1或x>3}. 【反思感悟】 解不含参数的一元二次不 等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形,使不等 式的右侧为0,使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分 解,若不能分解,则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的 根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况 画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·96· 第三部分 高中知识初探析 跟踪训练2 解下列不等式: (1)x2-5x-6>0; (2)(2-x)(x+3)<0. 【例3】 解关于x的不等式ax2-2≥2x- ax(x∈R). 【解】 原不等式可化为 ax2+(a-2)x-2≥0. ①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解 得x≤-1. ②当a>0时,原不等式化为(x-2a )(x +1)≥0,解得x≥2a 或x≤-1. ③当a<0时,原不等式化为(x-2a )(x +1)≤0. 当2 a>-1 ,即a<-2时, 解得-1≤x≤2a ; 当2 a=-1 ,即a=-2时, 解得x=-1满足题意; 当2 a<-1 ,即-2<a<0, 解得2 a≤x≤-1. 综上所述,当a=0时,不等式的解集为 {x|x≤-1}; 当a>0时,不等式的解集为 {x|≥2a 或x≤-1}; 当-2<a<0时,不等式的解集为 {x|2a≤x≤-1 }; 当a=-2时,不等式的解集为{-1}; 当a<-2时,不等式的解集为 {x|-1≤x≤2a }. 【反思感悟】 在解含参数的一元二次不 等式时,往往要对参数进行分类讨论,为 了做到分类“不重不漏”,讨论需从以下 三个方面进行考虑: (1)关于不等式类型的讨论:二次项系数 a>0,a<0,a=0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论:两 不同实根(Δ>0),两相同实根(Δ=0),无 实根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的 讨论:x1>x2,x1=x2,x1<x2. 跟踪训练3 解关于x 的不等式x2-(3a -1)x+(2a2-2)>0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·07· 初高中衔接教材 1.函数y=x2-4x+4的零点是 ( ) A.(2,0) B.(0,4) C.±2 D.2 2.不等式3x2-2x+1>0的解集为( ) A.{x|-1<x<13 }B.{x|13<x<1 } C.⌀ D.R 3.不等式3+5x-2x2≤0的解集为( ) A.{x|x>3或x<-12 } B.{x|-12≤x≤3 } C.{x|x≥3或x≤-12 } D.R 4.不等式x-1x+2<0 的解集为 ( ) A.{x|x>1} B.{x|x<-2} C.{x|-2<x<1} D.{x|x<-2或x>1} 5.若不等式ax2+bx+1>0的解集为{x| -1<x<13 },则a+b的值为 ( ) A.5 B.-5 C.6 D.-6 6.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为 {x|-2<x<1},那么不等式cx2-ax+ b>0的解集为 ( ) A.{x|-12<x<1 } B.{x|x<-12 或x>1} C.{x|-1<x<12 } D.{x|x<-1或x>12 } 7.若0<m<1,则不等式(x-m)(x-1m )<0 的解集为 . 8.某商品在最近30天内的价格y1 与时间 t(单位:天)的关系式是y1=t+10(0<t ≤30,t∈N);销售量y2 与时间t的关系 式是y2=-t+35(0<t≤30,t∈N),则 使这种商品日销售金额z不小于500元 的t的取值范围为 . 9.解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈ R). 10.已知关于x 的不等式ax2+5x+c>0 的解集为{x|13<x< 1 2 }. (1)求a,c的值; (2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x +2c≥0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·17· 第三部分 高中知识初探析