第2讲 基本不等式-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

10.解:甲同学做的不对,因为同向不等式具有可 加性,但不能相减,甲同学对同向不等式求差 是错误的. 乙同学做的不对,因为不等式两边同乘以一个 正数,不等号的方向不变,但同乘以一个负数, 不等号方向改变,在本题中只知道-6<a<8, 不明确a 值的正负.故不能将13< 1 b< 1 2 与 -6<a<8两边分别相乘,只有两边都是正数 的同向不等式才能分别相乘. 丙同学做的不对,同向不等式两边可以相加, 这种转化不是等价变形.丙同学将2<a-b< 4与-2<a+b<2两边相加再除以2得0<a <3,又将-4<b-a<-2与-2<a+b<2两 边相加再除以2得出-3<b<0,又将该式与 0<a<3两边相加得出-3<a+b<3,多次使 用了这种转化,导致了a+b范围的扩大. 第2讲 基本不等式 【知识情境导学】 知识点一 情境1 提示 正方形的边长AB= a2+b2,故 正方形的面积为a2+b2,而四个直角三角形的 面积为2ab,故有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b 时,等号成立.实际上该不等式对任意的实数a, b都能成立,我们称该不等式为重要不等式. 情境2 提示 用 a,b分别替换上式中的a,b 可得到a+b ≥2ab,当且仅当a=b时,等号 成立.我们习惯表示成 ab≤a+b2 . 情境3 提示 方法一(作差法) a+b 2 - ab= a+b-2 ab 2 = (a)2-2 ab+(b)2 2 = (a-b)2 2 ≥0 , 即a+b 2 ≥ ab ,当且仅当a=b时,等号成立. 方法二(性质法) 要证 ab≤a+b2 , 只需证2 ab≤a+b, 只需证2 ab-a-b≤0, 只需证-(a-b)2≤0, 显然(a-b)2≥0成立,当且仅当a=b时,等 号成立. 方法三(几何法) 如图AB 是圆的直径,点C 是AB 上一点,AC =a,BC=b, 过点C 作垂直于AB 的弦DE,连接AD,BD, 故有△ACD∽△DCB,故CD= ab,由于CD 小于或等于圆的半径,故用不等式表示为 ab ≤a+b2 ,由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 知识梳理 1.a=b 3.不小于 知识点二 情境4 提示 当a>0,b>0时,有① ab≤ a+b 2 ;②ab≤(a+b2 )2;③a+b≥2 ab.由此我 们发现若两个正数的和为定值时,我们可以求 这两个数乘积的最大值,若两个正数的乘积为 定值时,我们可以求这两个数和的最小值. 【典型例题精析】 跟踪训练1 AC A中,∵a,b为正实数,∴ba , a b 为正实数,符合基本不等式的条件,故A正 确;B中,∵a∈R,a≠0,∴不符合基本不等式的 条件,故B错误;C中,由xy<0,得 x y ,y x 均为 负数,但在推导过程中将整体(x y+ y x )提出负 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·311· 参 考 答 案 号后,-xy ,-yx 均变为正数,符合基本不等式 的条件,故C正确;D中,对任意的a,b∈R,都 有a2+b2≥2ab,即a 2+b2 2 ≥ab ,故D错误. 跟踪训练2 解析:(1)因为a>0,b>0, 所以a+2b≥2 2ab=2 2×8=8, 当且仅当 ab=8, a=2b, 即 a=4 , b=2 时,等号成立, 即a+2b取得最小值8, 所以a+2b 取得最小值时,a,b 的值分别为 4,2. (2)由题意知1-2x>0,则y=x(1-2x)= 1 2 ×2x×(1-2x)≤12 ·(2x+1-2x 2 )2=18 , 当且仅当2x=1-2x,即x=14 时等号成立. 所以y的最大值为 1 8. 答案:(1)D (2)18 【衔接自测训练】 1.D 若a<0,则a+4a≥4 不成立,故A错;若 a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错;若a=4, b=16,则 ab<a+b2 ,故C错;由基本不等式可 知D项正确. 2.B A中,y=t+ 1 t≥2 ,当且仅当t=1时,等号 成立;B中,y=t+ 1 t ≥2,当且仅当t=1时, 等号成立;C中,y=t+ 1 t-1=t-1+ 1 t-1+1 ≥3,当且仅当t=2时,等号成立;D中,y=t+ 1 t+1≥3 ,当且仅当t=1时,等号成立. 3.A ∵ xy≤ x+y 2 (x>0,y>0), ∴xy≤( x+y 2 )2=(402 )2=400. 当且仅当x=y=20时,等号成立. ∴xy的最大值是400. 4.D ∵x>0,∴3x+1x≥2 3x ·1 x =23 ,当 且仅当x= 33 时,等号成立,∴-(3x+1x )≤ -23,则3-3x-1x≤3-23 ,即3-3x-1x 的最大值为3-23. 5.BD 由基本不等式可知B,D正确. 6.ACD 根据基本不等式的条件,a,b同号,则ba >0,ab>0. 7.解析:因为0<x<1,所以1-x>0,所以 x(1-x)≤[x+ (1-x) 2 ]2=(12 )2=14 ,当且仅 当x=1-x,即x=12 时“=”成立,即当x=12 时,x(1-x)取得最大值14. 答案:1 4 1 2 8.解析:由x>32 得x-32>0 , 则函数y=x-1+ 2 2x-3=x- 3 2+ 1 x-32 +12 ≥2 (x-32 )· 1 x-32 +12=2+ 1 2= 5 2 , 当且仅当 x-32= 1 x-32 x>32 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,即x=52 时,等号成 立,此时函数取得最小值5 2. 答案:5 2 9.解:因为x>3,所以x-3>0, 所以 4 x-3+x= 4 x-3+ (x-3)+3 ≥2 4x-3 ·(x-3)+3=4+3=7, 当且仅当 4 x-3=x-3 ,即x=5时,等号成立. 所以 4 x-3+x 的最小值为7. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·411· 初高中衔接教材 10.解:(1)∵x<54 , ∴5-4x>0, ∴y=4x-2+ 1 4x-5=- (5-4x+ 15-4x )+ 3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x= 15-4x , 即x=1时,上式等号成立, 故当x=1时,ymax=1. (2)∵0<x<12 ,∴1-2x>0, ∴y= 1 4 ·2x(1-2x)≤14 ·(2x+1-2x 2 )2 =14× 1 4= 1 16 , 当且仅当2x=1-2x(0<x<12 ), 即x=14 时,上式等号成立, 故当x=14 时,ymax= 1 16. 第3讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识情境导学】 知识点一 情境1 提示 设这个矩形的一条边长为x m,则 另一条边长为(12-x)m. 由题意得(12-x)x>20, 其中x∈{x|0<x<12}. 整理得x2-12x+20<0,x∈{x|0<x< 12}.① 求得不等式①的解集,就得到了问题的答案. 知识梳理 未知数 2 知识点二 情境2 提示 函数图象与x 轴交点的横坐标正 好是方程的根. 知识梳理 ax2+bx+c=0 零点 情境3 提示 从图象上看,位于x 轴上方的函数 值大于零,位于x 轴下方的函数值小于零,故 x2-12x+20<0的解集为{x|2<x<10}. 知识梳理 {x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 【典型例题精析】 跟踪训练1 解析:x2+3x-10=(x+5)(x-2). 答案:(x+5)(x-2) 跟踪训练2 解:(1)方程x2-5x-6=0的两根 为x1=-1,x2=6. 结合二次函数y=x2-5x-6的图象知,原不 等式的解集为{x|x<-1或x>6}. (2)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0. 方程(x-2)(x+3)=0的两根为 x1=2,x2=-3. 结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象知,原 不等式的解集为{x|x<-3或x>2}. 跟踪训练3 解:原不等式可化为 [x-(a+1)][x-2(a-1)]>0, 讨论a+1与2(a-1)的大小. 当a+1>2(a-1),即a<3时, 不等式的解集为x>a+1或x<2(a-1); 当a+1=2(a-1),即a=3时, 不等式的解集为x≠4; 当a+1<2(a-1),即a>3时, 不等式的解集为x>2(a-1)或x<a+1, 综上,当a<3时,不等式的解集为{x|x>a+1 或x<2(a-1)}; 当a=3时,不等式的解集为{x|x≠4}; 当a>3时,不等式的解集为{x|x>2(a-1)或 x<a+1}. 【衔接自测训练】 1.D 2.D 因为Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0, 所以不等式3x2-2x+1>0的解集为R. 3.C 3+5x-2x2≤0⇒2x2-5x-3≥0 ⇒(x-3)(2x+1)≥0⇒x≥3或x≤-12. 4.C ∵x-1x-2<0 , ∴(x-1)(x+2)<0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·511· 参 考 答 案 10.下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题 目,请你看看他们做得对吗? 如果不 对,请指出错误的原因. 甲:因为-6<a<8,-4<b<2, 所以-2<a-b<6. 乙:因为2<b<3,所以13< 1 b< 1 2 , 又因为-6<a<8,所以-2<ab<4. 丙:因为2<a-b<4, 所以-4<b-a<-2. 又因为-2<a+b<2, 所以0<a<3,-3<b<0, 所以-3<a+b<3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第2讲 基本不等式 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值 问题. 【导语】 从前有个金店的天平坏了,天平的两臂 长短不相等,店主不想购置新的天平,又 怕别人说他缺斤少两,于是他想出一个 办法:先把顾客要购买的黄金放入左边 的托盘中,右边托盘中加砝码得到一个 读数,再把黄金放入右边的托盘中,在左 边托盘加砝码得到第二个读数,然后把 两个读数相加除以2作为黄金的最终质 量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信 无欺了吗? 要解决这个问题,我们一起 进入今天的课堂吧! 知识点一 基本不等式的证明与理解 情境1 如图是第24届 国际数学家大会的会 标,从中我们可以得出 什么样的结论? 情境2 现在我们讨论一种特别的情况,如 果a>0,b>0,我们用 a,b分别替换 上式中的a,b,能得到什么样的结论? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·46· 初高中衔接教材 情境3 上述不等式是在重要不等式基础 上转化出来的,是否对所有的a>0,b>0 都能成立? 请给出证明. [知识梳理] 1.基本不等式:如果a>0,b>0,则 ab≤ a+b 2 ,当且仅当 时,等号成立. 2.a+b2 叫做正数a,b的算术平均数,ab 叫做正数a,b的几何平均数. 3.两个正数的算术平均数 它们的 几何平均数. 知识点二 最值定理 情境4 你能写出基本不等式的几种变 形吗? [知识梳理] 最值定理 已知x,y都为正数,则(1)如果积xy 等 于定值P,那么当且仅当x=y 时,和x +y有最小值2 P;(2)如果和x+y等 于定值S,那么当且仅当x=y时,积xy 有最大值1 4S 2,简记为:积定和最小,和 定积最大. 注意点: (1)三个关键点:一正、二定、三相等. ①一正:各项必须为正; ②二定:各项之和或各项之积为定值; ③三相等:必须验证取等号时的条件是 否具备. (2)探求过程中常需依据具体的问题进 行合理的拆项、凑项、配项等变换. 【例1】 已知x>0,求x+4x 的最小值. 【解】 因为x>0, 所以x+4x≥2 x ·4 x=4 , 当且仅当x=4x ,即x=2时,等号成立, 因此所求的最小值为4. 延伸探究 1.当x<0时,求x+4x 的最大值. 【解】 原多项式可变为 x+4x=- (-x+ 4-x ), 因为x<0,则-x>0, 故有-x+ 4-x≥2 (-x)·(4-x ) =4, 所以-(-x+ 4-x )≤-4,当且仅当-x =-4x ,即x=-2时,等号成立. 故原式的最大值为-4. 2.当x>1时,求x+ 4x-1 的最小值. 【解】 因为x>1,故有x-1>0, 所以x+ 4x-1=x-1+ 4 x-1+1 ≥2 (x-1)· 4x-1+1=5 , 当且仅当x-1= 4x-1 ,即x=3时,等号 成立.因此所求的最小值为5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·56· 第三部分 高中知识初探析 【反思感悟】 在利用基本不等式求最值 时要注意三点 一是各项均为正;二是寻求定值,求和的 最小值时应使积为定值(恰当变形,合理 拆分项或配凑因式是常用的解题技巧); 三是考虑等号成立的条件是否具备,检 验多项式取得最值时的x 的值是否为已 知范围内的值,三点缺一不可. 跟踪训练1 (多选)下面四个推导过程正 确的有 ( ) A.若a,b为正实数,则ba+ a b≥2 b a ·a b =2 B.若a∈R,a≠0,则4a+a≥2 4 a ·a= 4 C.若x,y∈R,xy<0,则 x y+ y x=- [(- x y )+(-yx )]≤-2 (-xy )·(-yx ) =-2 D.若a<0,b<0,则a 2+b2 2 <ab 【例2】 (1)设x>0,y>0,且x+y=18, 则xy的最大值为 ( ) A.80 B.77 C.81 D.82 (2)若m>0,n>0,mn=81,则m+n的 最小值是 ( ) A.4 B.43 C.9 D.18 【解析】 (1)因为x>0,y>0,所以 xy ≤x+y2 ,即xy≤( x+y 2 )2=81,当且仅 当x=y=9时,等号成立,即(xy)max =81. (2)因为m>0,n>0,mn=81,所以m+ n≥2 mn=18,当且仅当m=n=9时, 等号成立,故m+n的最小值是18. 【答案】 (1)C (2)D 【反思感悟】 通过拼凑法利用基本不等 式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形, 拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求最 值应注意以下几个方面:①拼凑的技巧, 以整式为基础,注意利用系数的变化以 及常数的调整,做到等价转换;②代数式 的变形以拼凑出和或积的定值为目标; ③拆项、添项应注意检验利用基本不等 式的前提. 跟踪训练2 (1)已知正数a,b满足ab=8, 则a+2b取得最小值时,a,b的值分别 为 ( ) A.2,2 B.2,4 C.4,4 D.4,2 (2)已知0<x<12 ,则y=x(1-2x)的 最大值为 . 1.下列不等式中正确的是 ( ) A.a+4a≥4 B.a 2+b2≥4ab C.ab≥a+b2 D.x 2+3x2≥23 2.下列各式中最小值为2的是 ( ) A.y=t+ 1 t (t>1) B.y=t+ 1 t C.y=t+ 1 t-1 (t>1) D.y=t+ 1 t+1 (t>0) 3.设x,y 满足x+y=40,且x,y 都是正 数,则xy的最大值是 ( ) A.400 B.100 C.40 D.20 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·66· 初高中衔接教材 4.设x>0,则3-3x-1x 的最大值是 ( ) A.3 B.3-22 C.-1 D.3-23 5.(多选)下列不等式中正确的是 ( ) A.a2+1>2a B.|x+1x|≥2 C.a+b ab ≤2 D.x2+ 1x2+1≥1 6.(多选)下列条件可使ba+ a b≥2 成立 的有 ( ) A.ab>0 B.ab<0 C.a>0,b>0 D.a<0,b<0 7.已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为 ,此时x= . 8.已知x>32 ,则函数y=x-1+ 2 2x-3 的 最小值为 . 9.已知x>3,求 4x-3+x 的最小值. 10.(1)已知x<54 ,求y=4x-2+ 1 4x-5 的最大值; (2)已知0<x<12 ,求y= 1 2x (1-2x) 的最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·76· 第三部分 高中知识初探析