第1讲 等式性质与不等式性质-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

第三章 一元二次函数、方程和不等式 第1讲 等式性质与不等式性质 【知识情境导学】 知识点 情境 提示 以上均正确,这些都是等式的基本 性质. 知识梳理 < 不可逆 > 可逆 ac>bc ac<bc a +c>b+d ac>bd > 【典型例题精析】 跟踪训练1 CD 由1a< 1 b<0 可得b<a<0,从 而|a|<|b|,A,B均不正确;a+b<0,ab>0, 则a+b<ab成立,C正确;a3>b3,D正确. 跟踪训练2 证明:方法一 ca- c b= c(b-a) ab , ∵a>b>0,c<0, ∴ab>0,b-a<0,c(b-a)>0, ∴ca- c b>0 ,∴ca> c b. 方法二 ∵a>b>0, ∴1b> 1 a>0 , ∵c<0,∴cb< c a. 即c a> c b. 跟踪训练3 解析:∵3<b<4,∴-4<-b<-3. ∴1-4<a-b<6-3,即-3<a-b<3. 又1 4< 1 b< 1 3 ,∴14< a b< 6 3 ,即1 4< a b<2. 答案:-3<a-b<3 14< a b<2 【衔接自测训练】 1.A ∵a<0,b>0,∴1a<0 ,1 b>0 ,∴1a< 1 b. 2.B 选项A,取a=1,b=0,c=2,d=1,则a+b <c+d,A错误;选项B,因为a>-b,所以-a <b,所以c-a<c+b,则B正确;选项C不满 足倒数不等式的条件,如a>b>0,c<0<d 时, 不成立;选项D,当a=-1,b=0时不成立. 3.D 本题可采用特殊值法,取a=-2,b=1,则 a-b<0,a3+b3<0,a2-b2>0,a+b=-1< 0.故A,B,C错误,D正确. 4.C 方法一 ∵A、B、C、D四个选项中,每个选 项都是唯一确定的答案,∴可用特殊值法. 令a=2,b=-1,则有 2>-(-1)>-1>-2, 即a>-b>b>-a. 方法二 ∵a+b>0,b<0, ∴a>-b>0,-a<b<0, ∴a>-b>0>b>-a, 即a>-b>b>-a.故选C. 5.A 若 a-b>0,则 a>b,可得a>b≥0, 所以a2>b2,可得a2-b2>0,故充分性成立;取 a=-2,b=-1,满足a2-b2>0,但 a,b无 意义,得不出 a-b>0,故必要性不成立,所 以 a-b>0是a2-b2>0的充分不必要条 件,故选A. 6.BC 对于A,当a>0,b<0时不成立;选项B 一定成立;对于C,当a>b时,a3-b3=(a-b) ·(a2+ab+b2)=(a-b)·[(a+b2 )2+34b 2] >0成立;对于D,当b<0时,不一定成立.如|2 |>-3,但22<(-3)2. 7.解析:若c<b<a且ac<0, 则a>0,c<0, 则取a=1,b=0,c=-1, 则满足条件ac<0,但ab<ac不成立. 答案:1,0,-1(答案不唯一) 8.解析:若A={y|y≥1},且a∈A,则a≥1, 所以a+2≥3,所以0< 1a+2≤ 1 3 , 即0<m≤13. 答案:0<m≤13 9.解:因为1<a<2,2<b<4, 所以3<3a<6,-4<-b<-2,14< 1 b< 1 2 , 所以-1<3a-b<4,14< a b<1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·211· 初高中衔接教材 10.解:甲同学做的不对,因为同向不等式具有可 加性,但不能相减,甲同学对同向不等式求差 是错误的. 乙同学做的不对,因为不等式两边同乘以一个 正数,不等号的方向不变,但同乘以一个负数, 不等号方向改变,在本题中只知道-6<a<8, 不明确a 值的正负.故不能将13< 1 b< 1 2 与 -6<a<8两边分别相乘,只有两边都是正数 的同向不等式才能分别相乘. 丙同学做的不对,同向不等式两边可以相加, 这种转化不是等价变形.丙同学将2<a-b< 4与-2<a+b<2两边相加再除以2得0<a <3,又将-4<b-a<-2与-2<a+b<2两 边相加再除以2得出-3<b<0,又将该式与 0<a<3两边相加得出-3<a+b<3,多次使 用了这种转化,导致了a+b范围的扩大. 第2讲 基本不等式 【知识情境导学】 知识点一 情境1 提示 正方形的边长AB= a2+b2,故 正方形的面积为a2+b2,而四个直角三角形的 面积为2ab,故有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b 时,等号成立.实际上该不等式对任意的实数a, b都能成立,我们称该不等式为重要不等式. 情境2 提示 用 a,b分别替换上式中的a,b 可得到a+b ≥2ab,当且仅当a=b时,等号 成立.我们习惯表示成 ab≤a+b2 . 情境3 提示 方法一(作差法) a+b 2 - ab= a+b-2 ab 2 = (a)2-2 ab+(b)2 2 = (a-b)2 2 ≥0 , 即a+b 2 ≥ ab ,当且仅当a=b时,等号成立. 方法二(性质法) 要证 ab≤a+b2 , 只需证2 ab≤a+b, 只需证2 ab-a-b≤0, 只需证-(a-b)2≤0, 显然(a-b)2≥0成立,当且仅当a=b时,等 号成立. 方法三(几何法) 如图AB 是圆的直径,点C 是AB 上一点,AC =a,BC=b, 过点C 作垂直于AB 的弦DE,连接AD,BD, 故有△ACD∽△DCB,故CD= ab,由于CD 小于或等于圆的半径,故用不等式表示为 ab ≤a+b2 ,由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 知识梳理 1.a=b 3.不小于 知识点二 情境4 提示 当a>0,b>0时,有① ab≤ a+b 2 ;②ab≤(a+b2 )2;③a+b≥2 ab.由此我 们发现若两个正数的和为定值时,我们可以求 这两个数乘积的最大值,若两个正数的乘积为 定值时,我们可以求这两个数和的最小值. 【典型例题精析】 跟踪训练1 AC A中,∵a,b为正实数,∴ba , a b 为正实数,符合基本不等式的条件,故A正 确;B中,∵a∈R,a≠0,∴不符合基本不等式的 条件,故B错误;C中,由xy<0,得 x y ,y x 均为 负数,但在推导过程中将整体(x y+ y x )提出负 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·311· 参 考 答 案 7.设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx= 0},若 ∁UA={1,2},则实数 m= . 8.已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤ x<a},若∁UA={x|2≤x≤5},则a= . 9.已知集合U={x|x≤4},集合A={x| -2<x<3},集合B={x|-3≤x≤2}. 求:A∩B;(∁UA)∪B;A∩(∁UB);(∁UA) ∪(∁UB);∁U(A∩B). 10.已知集合A={x|-4<x≤2},B={x| 2m≤x≤m+3}.若A∩B≠⌀,求m 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第三章 一元二次函数、方程和不等式 第1讲 等式性质与不等式性质 1.了解等式的性质. 2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些 性质解决有关问题. 【导语】 同学们,2008年你们也就刚出生不久,但 是08年北京奥运会注定已成为举世瞩 目的一届奥运会,没有之一,其场面气势 恢宏、美轮美奂、激动人心,世界都把目 光聚焦到北京,反映出中国经济发展的 高水平和快速度,一个开放的中国正在 向世界展露出新的姿态,使得中国对世 界更加开放,世界各国进一步认识和了 解中国这个亚洲强国,有人说北京奥运 会超过已经举办的任何一届奥运会! 在 刚才这一段话中,大家能发现有哪些不 等关系吗? (条件允许可提前播放中国 队夺冠视频或播放北京奥运会主题曲 《我和你》) 知识点 等式性质与不等式的性质 情境 判断下列命题是否正确? (1)如果a=b,那么b=a; (2)如果a=b,b=c,那么a=c; (3)如果a=b,那么a±c=b±c; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·06· 初高中衔接教材 (4)如果a=b,那么ac=bc; (5)如果a=b,c≠0,那么ac= b c. [知识梳理] 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b a ⇔ 2 传递性 a>b,b>c⇔a>c 3 可加性 a>b⇔a+c b+c 4 可乘性 a>b,c>0⇔ a>b,c<0⇔ c的符号 5 同向可 加性 a>b,c>d⇔ 同向 6 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0 ⇔ 同向 7 可乘方性 a>b>0⇔an bn(n∈N,n≥2) 同正 注意点: (1)若a>b>0,则0<1a< 1 b ; 若a<b<0,则0>1a> 1 b. (2) 减法:x-1<0 除法:3 x>0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 【例1】 对于实数a,b,c,下列命题中的真 命题是 ( ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则1a> 1 b C.若a<b<0,则ba> a b D.若a>b,1a> 1 b ,则a>0,b<0 【解析】 方法一 ∵c2≥0,∴c=0时, 有ac2=bc2,故A为假命题; 由a>b>0,有ab>0⇒aab> b ab⇒ 1 b> 1 a , 故B为假命题; a<b<0⇒-a>-b>0 ⇒-1b>- 1 a>0 , a<b<0⇒-a>-b>0 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ⇒ab> b a , 故C为假命题; a>b⇒b-a<0, 1 a> 1 b⇒ 1 a- 1 b>0⇒ b-a ab >0 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒ab<0. ∵a>b, ∴a>0且b<0,故D为真命题. 方法二 特殊值排除法. 取c=0,则ac2=bc2,故A错; 取a=2,b=1,则1a= 1 2 ,1 b=1. 有1 a< 1 b ,故B错; 取a=-2,b=-1,则ba= 1 2 ,a b=2 ,有b a <ab ,故C错. 【答案】 D 【反思感悟】 利用不等式的性质判断命 题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时,要注意不 等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是 不能想当然随意捏造性质. (2)解有关不等式的选择题时,也可采用 特殊值法进行排除,注意取值一定要遵 循如下原则:一是满足题设条件;二是取 值要简单,便于验证计算. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·16· 第三部分 高中知识初探析 跟踪训练1 (多选)若1a< 1 b<0 ,则下面四 个不等式成立的有 ( ) A.|a|>|b| B.a<b C.a+b<ab D.a3>b3 【例2】 已知c>a>b>0,求证:ac-a > bc-b. 【证 明 】 ac-a - b c-b =a (c-b)-b(c-a) (c-a)(c-b) =ac-ab-bc+ab(c-a)(c-b)= c(a-b) (c-a)(c-b) , ∵c>a>b>0, ∴a-b>0,c-a>0,c-b>0, ∴ ac-a- b c-b>0 ∴ ac-a> b c-b. 延伸探究 作差法是比较两个代数式大小的基本方 法,你能用我们刚学过的性质解决本 例吗? 【证明】 方法一 因为a>b>0, 所以1 a< 1 b , 因为c>0,所以ca< c b , 所以c a-1< c b-1 ,即c-a a < c-b b , 因为c>a>b>0, 所以c-a>0,c-b>0. 所以 a c-a> b c-b. 方法二 因为c>a>b>0, 所以0<c-a<c-b, 所以0< 1c-b< 1 c-a , 即 1 c-a> 1 c-b>0 , 又因为a>b>0,所以 ac-a> b c-b. 【反思感悟】 (1)利用不等式的性质对 不等式的证明其实质就是利用性质对不 等式进行变形,变形要等价,同时要注意 性质适用的前提条件. (2)用作差法证明不等式和用作差法比 较大小的原理一样,变形后判断符号时 要注意充分利用题目中的条件. 跟踪训练2 已知a>b>0,c<0,证明: c a> c b. 【例3】 已知-6<a<8,2<b<3,求 2a+b,a-b及ab 的取值范围. 【解】 因为-6<a<8,2<b<3, 所以-12<2a<16, 所以-10<2a+b<19. 又因为-3<-b<-2, 所以-9<a-b<6. 又1 3< 1 b< 1 2 , ①当0≤a<8时,0≤ab<4 ; ②当-6<a<0时,0<-a<6, 所以0<-ab<3 ,所以-3<ab<0. 由①②得-3<ab<4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·26· 初高中衔接教材 【反思感悟】 利用不等式的性质求取值 范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的 整体的关系,最后利用不等式的性质进 行运算,求得待求的范围. (2)同向不等式的两边可以相加,这种转 化不是等价变形,如果在解题过程中多 次使用这种转化,就有可能扩大其取值 范围. 跟踪训练3 已知1<a<6,3<b<4,则 a-b的取值范围是 ,ab 的取 值范围是 . 1.如果a<0,b>0,那么下列不等式中一定 正确的是 ( ) A.1a< 1 b B.-a<b C.a2<b2 D.|a|>|b| 2.已知a,b,c,d∈R,则下列命题中必成立 的是 ( ) A.若a>b,c>d,则a+b>c+d B.若a>-b,则c-a<c+b C.若a>b,c<d,则ac> b d D.若a2>b2,则-a<-b 3.设a,b∈R,若a+|b|<0,则下列不等式 中正确的是 ( ) A.a-b>0 B.a3+b3>0 C.a2-b2<0 D.a+b<0 4.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b 的大小是 ( ) A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b 5.若a,b都是实数,则“a-b>0”是“a2 -b2>0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(多选)给出下列命题,其中正确的命 题是 ( ) A.a>b⇒a2b>ab2 B.a>|b|⇒a2>b2 C.a>b⇒a3>b3 D.|a|>b⇒a2>b2 7.设a,b,c是任意实数,能够说明“若c <b<a且ac<0,则ab<ac”是假命题 的一组整数a,b,c的值依次为 .(答案不唯一) 8.若A={y|y≥1},且a∈A,若 m= 1 a+2 ,则m 的取值范围是 . 9.已知1<a<2,2<b<4,求3a-b与ab 的 取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·36· 第三部分 高中知识初探析 10.下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题 目,请你看看他们做得对吗? 如果不 对,请指出错误的原因. 甲:因为-6<a<8,-4<b<2, 所以-2<a-b<6. 乙:因为2<b<3,所以13< 1 b< 1 2 , 又因为-6<a<8,所以-2<ab<4. 丙:因为2<a-b<4, 所以-4<b-a<-2. 又因为-2<a+b<2, 所以0<a<3,-3<b<0, 所以-3<a+b<3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第2讲 基本不等式 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值 问题. 【导语】 从前有个金店的天平坏了,天平的两臂 长短不相等,店主不想购置新的天平,又 怕别人说他缺斤少两,于是他想出一个 办法:先把顾客要购买的黄金放入左边 的托盘中,右边托盘中加砝码得到一个 读数,再把黄金放入右边的托盘中,在左 边托盘加砝码得到第二个读数,然后把 两个读数相加除以2作为黄金的最终质 量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信 无欺了吗? 要解决这个问题,我们一起 进入今天的课堂吧! 知识点一 基本不等式的证明与理解 情境1 如图是第24届 国际数学家大会的会 标,从中我们可以得出 什么样的结论? 情境2 现在我们讨论一种特别的情况,如 果a>0,b>0,我们用 a,b分别替换 上式中的a,b,能得到什么样的结论? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·46· 初高中衔接教材