第2讲 全集、补集及综合运用-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

第2讲 全集、补集及综合运用 1.了解全集的含义及其符号表示. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含 义,并会求给定子集的补集. 3.会用Venn图、数轴进行集合的运算. 【导语】 有人请客,7个客人到了4个,主人焦急 地说:“该来的不来.”顿时气走了2个, 主人遗憾地叹息:“不该走的又走了.”又 气走一个,主人更遗憾了,自言自语地 说:“我又不是说他,”这么一来,剩下的 这位脸皮再厚,也待不下去了,请问客人 们为什么生气? 实际上,客人们不自觉 地使用了一个数学概念:补集,如:该来 的补集是不该来的,主人说:“该来的不 来”,客人立马会想到不该来的来了,既 然不该来,当然就生气地走了! 知识点 全集与补集 情境 如果我们把某次活动中的客人看成 集合的元素,所有的客人组成集合U,先 到的客人组成集合A,未到的客人组成 集合B,这三个集合间有什么样的关系? [知识梳理] 1.全集 定义 一般地,如果一个集合含有所研 究问题中涉及的 元素, 那么就称这个集合为 记法 2.补集 定 义 文字 语言 对于一个集合A,由全集U 中不属于集合A 的所有元 素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称 为集合A 的补集,记作 符号 语言 ∁UA= 图形 语言 性 质 (1)∁UA⊆U; (2)∁UU=⌀,∁U⌀=U; (3)∁U(∁UA)=A; (4)A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=⌀ 注意点: (1)“全集”是一个相对的概念,并不是固 定不变的,它是依据具体的问题加以选 择的. (2)补集是集合之间的一种运算关系,求 集合A 的补集的前提是A 是全集U 的 子集,随着所选全集的不同,得到的补集 也不同,因此它们是相互依存、不可分割 的两个概念. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·75· 第三部分 高中知识初探析 (3)∁UA 包含三层含义:①A⊆U;②∁UA 是一个集合,且∁UA⊆U;③∁UA 是U 中 所有不属于A 的元素构成的集合. 【例1】 (1)设U={x|x 是小于7的自然 数},A={2,3,4},B={1,5,6},求∁UA, ∁UB. (2)已知A={x|0≤x<9},B={x|0< x≤5},求∁AB. 【解】 (1)根据题意可知,U={0,1,2,3, 4,5,6},所以∁UA={0,1,5,6},∁UB= {0,2,3,4}. (2)根据数轴可知∁AB={x|x=0或5< x<9}. 【方法总结】 两种求补集的方法 (1)若所有的集合是有关不等式的集合, 则常借助于数轴,把已知集合及全集分 别表示在数轴上,然后再根据补集的定 义求解,注意端点值的取舍. (2)若所给的集合是用列举法表示,则用 Venn图求解. 跟踪训练1 若集合A={x|-1≤x<1}, 当U 分别取下列集合时,求∁UA. (1)U=R; (2)U={x|x≤2}; (3)U={x|-4≤x≤1}. 【例2】 已知全集U=R,A={x|x≤0}, B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)等于 ( ) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 【解析】 A∪B={x|x≤0或x≥1},则 ∁U(A∪B)={x|0<x<1}. 【答案】 D 【方法总结】 解决集合交、并、补运算的 技巧 (1)如果所给集合是有限集,则先把集合 中的元素一一列举出来,然后结合交集、 并集、补集的定义来求解.在解答过程中 常常借助于Venn图来求解. (2)如果所给集合是无限实数集,则常借 助数轴,把已知集合及全集分别表示在 数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解 答过程中要注意边界问题. 跟踪训练2 已知全集U=R,A={x|-4≤x <2},B={x|-1<x≤3},P={x|x≤0 或x≥52 },求A∩B,(∁UB)∪P,(A∩ B)∩(∁UP). 【例3】 已知全集U=R,集合A={x|x≤ -2或x≥3},B={x|2m+1<x<m+7}, 若(∁UA)∩B=B,求实数 m 的取值 范围. 【解】 因为A={x|x≤-2或x≥3}, 所以∁UA={x|-2<x<3}, 因为(∁UA)∩B=B,所以B⊆(∁UA). 当B=⌀时,即2m+1≥m+7, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·85· 初高中衔接教材 所以m≥6,满足(∁UA)∩B=B. 当B≠⌀时,则 2m+1<m+7, 2m+1≥-2, m+7≤3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 无解. 故实数m 的取值范围是{m|m≥6}. 延伸探究 若把本例的条件“(∁UA)∩B=B”改为 “(∁UA)∪B=B”,则实数m 的取值范围 为 . 【解析】 因为(∁UA)∪B=B, 所以(∁UA)⊆B,所以 2m+1<m+7, 2m+1≤-2, m+7≥3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得-4≤m≤-32 ,故实数m 的取值范 围为{m|-4≤m≤-32 }. 【答案】 {m|-4≤m≤-32 } 【方法总结】 由集合的补集求解参数的 方法 (1)由补集求参数问题,若集合中元素个 数有限,可利用补集定义并结合集合知 识求解. (2)与集合交、并、补运算有关的求参数 问题,若集合中元素有无限个,一般利用 数轴分析法求解. 跟踪训练3 已知集合U=R,A={x|x> 2或x<-2},B={x|x≤a}. (1)当a=1时,求A∩B,A∪B; (2)若(∁UA)⊆B,求实数a的取值范围. 1.已知集合A={x|x是菱形或矩形},B= {x|x是矩形},则∁AB 等于 ( ) A.{x|x是菱形} B.{x|x是内角都不是直角的菱形} C.{x|x是正方形} D.{x|x是邻边都不相等的矩形} 2.已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A= {-1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)等 于 ( ) A.{-2,3} B.{-2,2,3} C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3} 3.已知全集U=R,集合A={x|x≤5},B ={x|x>0},则集合∁U(A∩B)等于 ( ) A.{x|x≤0} B.{x|x>5} C.⌀ D.{x|x≤0或x>5} 4.已知全集U=R,集合A ={x|x<-1或x> 4},B={x|-2≤x≤ 3},那么阴影部分表示的集合为 ( ) A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4} C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-1≤x≤3} 5.已知全集U={1,2,3,4},且∁U(A∪B) ={4},B={1,2},则A∩(∁UB)等于( ) A.{3} B.{4} C.{3,4} D.⌀ 6.(多选)下列说法中,当U 为全集时,正确 的是 ( ) A.若A∩B=⌀,则(∁UA)∪(∁UB)=U B.若A∩B=⌀,则A=⌀或B=⌀ C.若A∪B=U,则(∁UA)∩(∁UB)=⌀ D.若A∪B=⌀,则A=B=⌀ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·95· 第三部分 高中知识初探析 7.设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx= 0},若 ∁UA={1,2},则实数 m= . 8.已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤ x<a},若∁UA={x|2≤x≤5},则a= . 9.已知集合U={x|x≤4},集合A={x| -2<x<3},集合B={x|-3≤x≤2}. 求:A∩B;(∁UA)∪B;A∩(∁UB);(∁UA) ∪(∁UB);∁U(A∩B). 10.已知集合A={x|-4<x≤2},B={x| 2m≤x≤m+3}.若A∩B≠⌀,求m 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第三章 一元二次函数、方程和不等式 第1讲 等式性质与不等式性质 1.了解等式的性质. 2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些 性质解决有关问题. 【导语】 同学们,2008年你们也就刚出生不久,但 是08年北京奥运会注定已成为举世瞩 目的一届奥运会,没有之一,其场面气势 恢宏、美轮美奂、激动人心,世界都把目 光聚焦到北京,反映出中国经济发展的 高水平和快速度,一个开放的中国正在 向世界展露出新的姿态,使得中国对世 界更加开放,世界各国进一步认识和了 解中国这个亚洲强国,有人说北京奥运 会超过已经举办的任何一届奥运会! 在 刚才这一段话中,大家能发现有哪些不 等关系吗? (条件允许可提前播放中国 队夺冠视频或播放北京奥运会主题曲 《我和你》) 知识点 等式性质与不等式的性质 情境 判断下列命题是否正确? (1)如果a=b,那么b=a; (2)如果a=b,b=c,那么a=c; (3)如果a=b,那么a±c=b±c; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·06· 初高中衔接教材 当N≠⌀时,由图得 2-t<2t+1, 2t+1≤5, 2-t≥-2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得1 3<t≤2. 综上可知,所求实数t的取值范围为{t|t≤2}. 答案:{t|t≤2} 【衔接自测训练】 1.A 对于A,若x∈A,但x 可能不属于B,故 A错误;对于B,若x∈(A∩B),则x 是集合A 和B 的公共元素,那么x∈A,故B正确;对 于C,若x∈(A∩B),则x 是集合A 和B 的公 共元素,那么x∈(A∪B),故C正确;对于D, 若x∈A,则x∈(A∪B),故D正确.故选A. 2.A 在数轴上表示出集合A 与B,如图所示. 则由交集的定义,知A∩B={x|0≤x≤2}. 3.B (A∪B)∩C={1,2,4,6}∩C={1,2,4}. 4.D 依题意得满足 M∪N={-1,1,2}的集合 N 有{2},{-1,2},{1,2},{-1,1,2},共4个. 5.C 在数轴上表示出集合A,B 即可知a的取值 范围是a>-1. 6.ABD 由于 M⊆N,即 M 是N 的子集,故 M∩N=M,M∪N=N,从而M⊆(M∩N), (M∪N)⊆N,故选ABD. 7.解析:因为A={x|-12≤x≤3 },B={x∈Z|x ≤2},所以A∩B={x|-12≤x≤2 ,x∈Z},所 以A∩B={0,1,2}. 答案:{0,1,2} 8.解析:M={x|-1≤x≤3},集合N 是全体正奇 数组成的集合,则阴影部分所表示的集合为 M∩N={1,3},即阴影部分所表示的集合共有 2个元素. 答案:2 9.解:(1)∵A∩B={2}, ∴4+2a+12=0,4+6+2b=0, 即a=-8,b=-5, ∴A={x|x2-8x+12=0}={2,6}, B={x|x2+3x-10=0}={2,-5}. (2)∵A∪B={-5,2,6},C={2,-3}, ∴(A∪B)∩C={2}. 10.解:(1)m=-3时,B={x|-7<x<-2}, 故A∩B={x|-3≤x<-2}. (2)因为A∪B=A,故B⊆A, 若2m-1≥m+1,即m≥2, 则B=⌀,符合题意; 若m<2,则 2m-1≥-3, m+1≤4, 解得-1≤m<2, 综上,实数m 的取值范围是m≥-1. 第2讲 全集、补集及综合运用 【知识情境导学】 知识点 情境 提示 集合U 是我们研究对象的全体, A⊆U,B⊆U,A∩B=⌀,A∪B=U.其中集合 A 与集合B 有一种“互补”的关系. 知识梳理 1.所有 全集 U 2.∁UA {x|x∈U 且x∉A} 【典型例题精析】 跟踪训练1 解:(1)把集合U 和A 表示在数轴 上,如图所示. 由图知∁UA={x|x<-1或x≥1}. (2)把集合U 和A 表示在数轴上,如图所示. 由图知∁UA={x|x<-1或1≤x≤2}. (3)把集合U 和A 表示在数轴上,如图所示. 由图知∁UA={x|-4≤x<-1或x=1}. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·011· 初高中衔接教材 跟踪训练2 解:将集合A,B,P 分别表示在数轴 上,如图所示. 因为U=R,A={x|-4≤x<2}, B={x|-1<x≤3}, 所以A∩B={x|-1<x<2}, ∁UB={x|x≤-1或x>3}. 又P={x|x≤0或x≥52 }, 所以(∁UB)∪P={x|x≤0或x≥ 5 2 }. 又∁UP={x|0<x< 5 2 }, 所以(A∩B)∩(∁UP)={x|-1<x<2}∩{x| 0<x<52 } ={x|0<x<2}. 跟踪训练3 解:(1)当a=1时,B={x|x≤1}, 又A={x|x>2或x<-2}, 所以A∩B={x|x<-2},A∪B={x|x≤1 或x>2}. (2)因为∁UA={x|-2≤x≤2},B={x|x≤ a}, 且(∁UA)⊆B,所以a≥2. 【衔接自测训练】 1.B 由集合A={x|x是菱形或矩形},B={x|x是 矩形},则∁AB={x|x是内角都不是直角的菱形}. 2.A ∵A={-1,0,1},B={1,2}, ∴A∪B={-1,0,1,2}. 又U={-2,-1,0,1,2,3}, ∴∁U(A∪B)={-2,3}. 3.D 由已知得A∩B={x|0<x≤5},故∁U(A∩B) ={x|x≤0或x>5}. 4.D 由题意得,阴影部分所表示的集合为(∁UA) ∩B={x|-1≤x≤4}∩{x|-2≤x≤3}= {x|-1≤x≤3}. 5.A 因为全集U={1,2,3,4},且∁U(A∪B)= {4},所以A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以 ∁UB={3,4},A={3}或{1,3}或{2,3}或 {1,2,3},所以A∩(∁UB)={3}. 6.ACD A说法正确,因为(∁UA)∪(∁UB)= ∁U(A∩B),A∩B=⌀,所以(∁UA)∪(∁UB)= ∁U(A∩B)=U;B说法错误,若A∩B=⌀,则 集合A,B 不一定为空集,只需两个集合无公共 元素;C说法正确,因为(∁UA)∩(∁UB)=A∪B =U,所以(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)=⌀; D说法正确;A∪B=⌀,即集合A,B 均无元 素,可得A=B=⌀. 7.解析:由题意可知, A={x∈U|x2+mx=0}={0,3}, 即0,3为方程x2+mx=0的两个根, 所以m=-3. 答案:-3 8.解析:∵A={x|1≤x<a}, ∁UA={x|2≤x≤5}, ∴A∪(∁UA)=U={x|1≤x≤5}, 且A∩(∁UA)=⌀, ∴a=2. 答案:2 9.解:因为U={x|x≤4},A={x|-2<x<3}, B={x|-3≤x≤2}, 所以A∩B={x|-2<x≤2}, ∁UA={x|x≤-2或3≤x≤4}, ∁UB={x|x<-3或2<x≤4}, 所以(∁UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4}, A∩(∁UB)={x|2<x<3}, (∁UA)∪(∁UB)={x|x≤-2或2<x≤4}, ∁U(A∩B)={x|x≤-2或2<x≤4}. 10.解:当B=⌀时,2m>m+3,得m>3, 此时A∩B=⌀; 当B≠⌀时,若A∩B=⌀, 则 2m≤m+3, 2m>2, 或2m≤m+3 , m+3≤-4, 解得1<m≤3或m≤-7, 所以当m≤-7或m>1时,A∩B=⌀, 所以当-7<m≤1时,A∩B≠⌀, 所以m 的取值范围为(-7,1]. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·111· 参 考 答 案