第1讲 集合的并集与交集运算-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

7.若整数x,y 能使{2x,x+y}={7,4}成 立,则xy= . 8.已知集合A={x|x<-1或x>2},B= {x|4x+p<0},若B⊆A,则实数p 的 取值范围是 . 9.已知集合A={1,3,-x2},B={x+2,1}, 是否存在实数x,使得B 是A 的子集? 若存在,求出集合A、B;若不存在,请说 明理由. 10.设集合A={x|x2-8x+15=0},B= {x|ax-1=0}. (1)若a=15 ,试判定集合A 与B 的 关系; (2)若B⊆A,求实数a组成的集合C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二章 集合的运算 第1讲 集合的并集与交集运算 1.理解两个集合的并集与交集的含义,会 求两个简单集合的并集与交集. 2.能使用Venn图或数轴表达集合的关系 及运算. 【导语】 在研究集合时,经常遇到有关集合中元 素个数的问题,大家看一个问题,某超市 进了两次货,第一次进的货是圆珠笔、钢 笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种, 第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、 方便面共4种,两次一共进了几种货? 两次进的货一样的有几种? 我们说,数 学的作用之一是解决实际问题,我们知 道,实数有加、减、乘、除等运算,那么集 合是否也有类似的运算呢? 知识点一 并集的运算 情境1 某超市进了两次货,第一次进的货 是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、 汽水共6种,第二次进的货是圆珠笔、铅 笔、火腿肠、方便面共4种,我们用集合 A 表示第一次进货的品种,用集合B 表 示第二次进货的品种,通过观察,你能用 集合C 表示两次一共进货的品种吗? 并 讨论集合A、集合B 与集合C 的关系. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·35· 第三部分 高中知识初探析 [知识梳理] 文字 语言 一般地,由 属于集合A 或属于集合B的元素组成的集合, 称为集合A 与B 的 ,记 作 (读作“ ”) 符号 语言 A∪B= 图形 语言 性质 A∪B=B∪A,A∪A=A, A∪⌀=A,A∪B=A⇔B⊆A, A⊆A∪B. 注意点: (1)A∪B 仍是一个集合. (2)并集符号语言中的“或”包含三种 情况: ①x∈A 且x∉B;②x∈A 且x∈B;③x ∉A 且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解,要注意集合 元素的互异性. 知识点二 交集的运算 情境2 对于情境1中的集合A 与集合B, 你能用集合D 表示两次进货一样的品种 吗? 并讨论集合A、B 与集合D 的关系. [知识梳理] 文字 语言 一般地,由 属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集 合,称为集合A 与B 的 ,记作A∩B(读作“A交B”) 续表 符号 语言 A∩B= 图形 语言 性质 A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩ ⌀=⌀,A∩B=A⇔A⊆B, (A∩B)⊆(A∪B),(A∩B) ⊆A,(A∩B)⊆B 注意点: (1)A∩B 仍是一个集合. (2)文字语言中“所有”的含义:A∩B 中 任一元素都是A 与B 的公共元素,A 与 B 的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素,不能说 两个集合没有交集,而是A∩B=⌀. 【例1】 (1)设A={1,2,4,8},B={1,4,9}, 求A∪B. (2)设集合A={x|0≤x<4},集合B= {x|1≤x<5},求A∪B. 【解】 (1)A∪B={1,2,4,8}∪{1,4,9} ={1,2,4,8,9}. (2)A∪B={x|0≤x<4}∪{x|1≤x< 5}={x|0≤x<5}. 【方法总结】 并集的运算技巧 (1)若集合中元素个数有限,则直接根据 并集的定义求解,但要注意集合中元素 的互异性. (2)若集合中元素个数无限,可借助数 轴,利用数轴分析法求解,但要注意是否 去掉端点值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·45· 初高中衔接教材 跟踪训练1 设集合A={x|1≤x≤3}, B={x|2<x<4},则A∪B 等于( ) A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4} 【例2】 (1)若集合A={x|-5<x<2}, B={x|-3<x<3},则A∩B等于( ) A.{x|-3<x<2} B.{x|-5<x<2} C.{x|-3<x<3} D.{x|-5<x<3} (2)若集合 M={x|-2≤x<2},N= {0,1,2},则M∩N 等于 ( ) A.{0} B.{1} C.{0,1,2} D.{0,1} 【解析】 (1)在数轴上将集合A,B 表示 出来,如 图 所 示,由 交 集 的 定 义 可 得 A∩B 为图中阴影部分,即A∩B={x| -3<x<2}.故选A. (2)M={x|-2≤x<2},N={0,1,2}, 则M∩N={0,1}.故选D. 【答案】 (1)A (2)D 【方法总结】 交集运算的注意点 (1)求集合交集的运算类似于并集的运 算,其方法为:①定义法,②数形结合法. (2)若A,B 是无限连续的数集,多利用 数轴来求解.但要注意,利用数轴表示不 等式时,含有端点的值用实心点表示,不 含有端点的值用空心圈表示. (3)注意点:若A⊆B,则A∩B=A;若 A=B,则A∩B=B=A=A∪B;A∩A= A;A∩⌀=⌀. 跟踪训练2 (1)已知A={x|1<x<6}, B={x|4<x<8},则A∩B= . (2)已知A={(x,y)|x+y=3},B= {(x,y)|x-y=1},则A∩B 等于 ( ) A.{2,1} B.{x=2,y=1} C.{(2,1)} D.(2,1) 【例3】 已知集合A={x|x≤-1或x≥3}, B={x|a<x<4},若A∪B=R,则实数 a的取值范围是 ( ) A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1 【解析】 利用数轴,若A∪B=R, 则a≤-1. 【答案】 C 延伸探究 1.将例题中A∪B=R变成A∪B=A,求 实数a的取值范围. 【解】 当a≥4时,集合B 为空集,满足 题意;当a<4时,若要满足A∪B=A, 必有a≥3.综上,实数a 的取值范围是 a≥3. 2.将例题中集合B 变为B={x|a<x≤4- a},且A∪B=R变为A∩B=⌀,求实 数a的取值范围. 【解】 当a≥2时,集合B 为空集,满足 题意;当a<2时,则有a≥-1且4-a <3,故有1<a<2,综上,实数a 的取值 范围是a>1. 【方法总结】 利用集合间的关系求参数 范围的一般步骤为 (1)若集合能一一列举,则用观察法得到 不同集合中元素之间的关系;与不等式 有关的集合,利用数轴得到不同集合间 的关系. (2)将集合之间的关系转化为方程或不 等式是否有解或解集的取值范围. (3)解方程(组)或不等式(组),从而确定 参数的值或取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·55· 第三部分 高中知识初探析 跟踪训练3 设集合M={x|-2<x<5}, N={x|2-t<x<2t+1,t∈R}.若M∩ N=N,则实数t的取值范围为 . 1.下列命题为假命题的是 ( ) A.若x∈A,那么x∈(A∩B) B.若x∈A∩B,那么x∈A C.若x∈A∩B,那么x∈(A∪B) D.若x∈A,那么x∈(A∪B) 2.设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤ x≤4},则A∩B 等于 ( ) A.{x|0≤x≤2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|-1≤x≤4} 3.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x| -1≤x≤5},则(A∪B)∩C 等于( ) A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5} 4.已知集合M={-1,1},则满足M∪N= {-1,1,2}的集合N 的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x< a},若A∩B≠⌀,则实数a的取值范围 是 ( ) A.a<2 B.a>-2 C.a>-1 D.-1<a≤2 6.(多选)若集合M⊆N,则下列结论正确 的是 ( ) A.M∩N=M B.M∪N=N C.N⊆(M∩N) D.(M∪N)⊆N 7.已知集合A={x|-12≤x≤3 },B={x ∈Z|x≤2},则A∩B= . 8.已知集合M={x|-1≤x≤3},N={x| x=2k-1,k∈N*},Venn图如图所 示,则阴影部分所表示的集合的元素 共有 个. 9.设A={x|x2+ax+12=0},B={x|x2 +3x+2b=0},A∩B={2},C={2,- 3}. (1)求a,b的值及A,B; (2)求(A∪B)∩C. 10.已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x| 2m-1<x<m+1}. (1)若m=-3,求A∩B; (2)若A∪B=A,求实数 m 的取值 范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·65· 初高中衔接教材 【衔接自测训练】 1.C 由M⊆N 知,表示集合M 的图形应全都在 表示集合N 的图形中. 2.D 由于集合M 为数集,集合P 为点集,因此 M 与P 互不包含. 3.D 由题意知,A={1,2},B={1,2,3,4}.又 A⊆C⊆B,则集合C 可能为{1,2},{1,2,3}, {1,2,4},{1,2,3,4},共4个. 4.D 元素与集合之间的关系才用∈,故①⑤错; 子集的区域要被全部涵盖,故②④错. 5.ACD ∵{1}⊆A,∴B项错误,其余均正确. 6.AB ∵A=B,∴m2-m=2, ∴m=2或m=-1. 7.解析:若 2x=7, x+y=4, 解得 x=72 , y= 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 因为x,y为整数,故舍去; 若 2x=4, x+y=7, 解得 x=2 , y=5, 则xy=10. 答案:10 8.解析:集合A={x|x<-1或x>2}, B={x|4x+p<0}={x|x<-p4 }, 若B⊆A,则-p4≤-1 ,即p≥4, 则实数p 的取值范围是{p|p≥4}. 答案:{p|p≥4} 9.解:存在,理由如下:由题意知,若x+2=3,则 x=1,符合题意.若x+2=-x2,则x2+x+2 =0无实根,故不成立,综上所述,存在实数 x=1,使得B 是A 的子集,此时A={1,3,-1}, B={1,3}. 10.解:(1)A={x|x2-8x+15=0}={5,3}, 当a=15 时,B={5},元素5是集合A={5,3}中 的元素, 集合A={5,3}中除元素5外,还有元素3,3 不在集合B 中,所以B⫋A. (2)当a=0时,由题意得B=⌀, 又A={3,5},故B⊆A; 当a≠0时,B={1a }, 又A={3,5},B⊆A,此时1a=3 或1 a=5 , 则有a=13 或a=15. 所以C={0,13 ,1 5 }. 第二章 集合的运算 第1讲 集合的并集与交集运算 【知识情境导学】 知识点一 情境1 提示 A={圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本, 方便面,汽水},B={圆珠笔,铅笔,火腿肠,方便 面},则C={圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便 面,汽水,铅笔,火腿肠},容易发现集合C 是由 所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的. 知识梳理 所有 并集 A∪B A 并B {x|x∈A 或x∈ B} 知识点二 情境2 提示 由A={圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记 本,方便面,汽水},B={圆珠笔,铅笔,火腿肠, 方便面}知,集合D={圆珠笔,方便面},可见, 集合D 是由所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的. 知识梳理 所有 交集 {x|x∈A 且x∈B} 【典型例题精析】 跟踪训练1 C A∪B={x|1≤x≤3}∪{x|2< x<4}={x|1≤x<4}. 跟踪训练2 解析:(1)借助数轴得A∩B={x|4 <x<6}. (2)A∩B= (x,y) x+y=3, x-y=1 ={(2,1)}. 答案:(1){x|4<x<6} (2)C 跟踪训练3 解析:由M∩N=N,得N⊆M. 故当N=⌀,即2t+1≤2-t, 即t≤13 时,M∩N=N 成立; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·901· 参 考 答 案 当N≠⌀时,由图得 2-t<2t+1, 2t+1≤5, 2-t≥-2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得1 3<t≤2. 综上可知,所求实数t的取值范围为{t|t≤2}. 答案:{t|t≤2} 【衔接自测训练】 1.A 对于A,若x∈A,但x 可能不属于B,故 A错误;对于B,若x∈(A∩B),则x 是集合A 和B 的公共元素,那么x∈A,故B正确;对 于C,若x∈(A∩B),则x 是集合A 和B 的公 共元素,那么x∈(A∪B),故C正确;对于D, 若x∈A,则x∈(A∪B),故D正确.故选A. 2.A 在数轴上表示出集合A 与B,如图所示. 则由交集的定义,知A∩B={x|0≤x≤2}. 3.B (A∪B)∩C={1,2,4,6}∩C={1,2,4}. 4.D 依题意得满足 M∪N={-1,1,2}的集合 N 有{2},{-1,2},{1,2},{-1,1,2},共4个. 5.C 在数轴上表示出集合A,B 即可知a的取值 范围是a>-1. 6.ABD 由于 M⊆N,即 M 是N 的子集,故 M∩N=M,M∪N=N,从而M⊆(M∩N), (M∪N)⊆N,故选ABD. 7.解析:因为A={x|-12≤x≤3 },B={x∈Z|x ≤2},所以A∩B={x|-12≤x≤2 ,x∈Z},所 以A∩B={0,1,2}. 答案:{0,1,2} 8.解析:M={x|-1≤x≤3},集合N 是全体正奇 数组成的集合,则阴影部分所表示的集合为 M∩N={1,3},即阴影部分所表示的集合共有 2个元素. 答案:2 9.解:(1)∵A∩B={2}, ∴4+2a+12=0,4+6+2b=0, 即a=-8,b=-5, ∴A={x|x2-8x+12=0}={2,6}, B={x|x2+3x-10=0}={2,-5}. (2)∵A∪B={-5,2,6},C={2,-3}, ∴(A∪B)∩C={2}. 10.解:(1)m=-3时,B={x|-7<x<-2}, 故A∩B={x|-3≤x<-2}. (2)因为A∪B=A,故B⊆A, 若2m-1≥m+1,即m≥2, 则B=⌀,符合题意; 若m<2,则 2m-1≥-3, m+1≤4, 解得-1≤m<2, 综上,实数m 的取值范围是m≥-1. 第2讲 全集、补集及综合运用 【知识情境导学】 知识点 情境 提示 集合U 是我们研究对象的全体, A⊆U,B⊆U,A∩B=⌀,A∪B=U.其中集合 A 与集合B 有一种“互补”的关系. 知识梳理 1.所有 全集 U 2.∁UA {x|x∈U 且x∉A} 【典型例题精析】 跟踪训练1 解:(1)把集合U 和A 表示在数轴 上,如图所示. 由图知∁UA={x|x<-1或x≥1}. (2)把集合U 和A 表示在数轴上,如图所示. 由图知∁UA={x|x<-1或1≤x≤2}. (3)把集合U 和A 表示在数轴上,如图所示. 由图知∁UA={x|-4≤x<-1或x=1}. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·011· 初高中衔接教材