第3讲 集合间的基本关系-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

有点的纵坐标组成的集合,即N={y|x+y= 1}=R,故集合M 与N 不是同一个集合;选项D 中的集合M 是数集,而集合N 是点集,故集合 M 与N 不是同一个集合;对于选项B,由集合 中元素的无序性,可知M,N 表示同一个集合. 6.ABC ∵A={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5}, ∴6∉A,故D不成立,其余都成立. 7.解析:集合中的元素满足x=2m-3,m∈N*, m<5,则m 可取值为1,2,3,4, 则满足条件的x 值为-1,1,3,5. 则集合用列举法表示为{-1,1,3,5}. 答案:{-1,1,3,5} 8.解析:集合A 中只有一个元素,即方程kx2+4x +4=0只有一个根.当k=0时,方程为一元一 次方程,只有一个根;当k≠0时,方程为一元二 次方程,若方程有两个相等的根,则Δ=16- 16k=0,即k=1.所以实数k的值为0或1. 答案:0或1 9.解:(1){0,-1}. (2){x|x=2n+1,且x<1 000,n∈N}. (3){x|x>8}. (4){1,2,3,4,5,6}. (5)解集用描述法表示为 (x,y) 2x+y=3, x-2y=4 , 解集用列举法表示为{(2,-1)}. 10.解:(1)它们是互不相同的集合. (2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x, 且x∈R; 集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,满足 条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1. 集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是 (x,y),是抛物线y=x2+1上的点. 第3讲 集合间的基本关系 【知识情境导学】 知识点一 情境1 提示 (1)集合A 包含于集合B,或集合 B 包含集合A. (2)集合C 包含于集合D,或集合 D 包含集 合C. (3)集合A 包含集合B,集合B 也包含集合A. 知识梳理 1.子集 A⊆B A 包含于B A⊆A A⊆C 2.A=B A=B 知识点二 情境2 提示 对于一个含有多个元素的集合,它 的子集的元素的个数大多比它本身少,但有一 个特殊的,那就是它也是它本身的一个子集. 知识梳理 2.空集 ⌀ 【典型例题精析】 跟踪训练1 解析:(1)集合A,B,C 的关系如图. 故选B. (2)(1,2 022)表示一个点,不是集合,A不符合; 集合{(x,y)|x=2 022,y=1}的元素是点,与 集合A 不相等,B不符合;{x|x2-2 023x+2 022=0}={2 022,1}=A,故C符合题意;集合 {(2 022,1)}的元素是点,与集合 A 不相等, D不符合. 答案:(1)B (2)C 跟踪训练2 解析:由题意可得{1,2}⫋M⊆{1,2, 3,4,5},可以确定集合M 必含有元素1,2,且含 有元素3,4,5中的至少一个,因此依据集合M 的元素个数分类如下: 含有三个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5}; 含有四个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}; 含有五个元素:{1,2,3,4,5}. 故满足题意的集合M 共有7个. 答案:7 跟踪训练3 解:因为B≠⌀,根据题意作出如图 所示的数轴,则 a+3≥2a, 2a>4, 解得2<a≤3. 所以实数a的取值范围为{a|2<a≤3}. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·801· 初高中衔接教材 【衔接自测训练】 1.C 由M⊆N 知,表示集合M 的图形应全都在 表示集合N 的图形中. 2.D 由于集合M 为数集,集合P 为点集,因此 M 与P 互不包含. 3.D 由题意知,A={1,2},B={1,2,3,4}.又 A⊆C⊆B,则集合C 可能为{1,2},{1,2,3}, {1,2,4},{1,2,3,4},共4个. 4.D 元素与集合之间的关系才用∈,故①⑤错; 子集的区域要被全部涵盖,故②④错. 5.ACD ∵{1}⊆A,∴B项错误,其余均正确. 6.AB ∵A=B,∴m2-m=2, ∴m=2或m=-1. 7.解析:若 2x=7, x+y=4, 解得 x=72 , y= 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 因为x,y为整数,故舍去; 若 2x=4, x+y=7, 解得 x=2 , y=5, 则xy=10. 答案:10 8.解析:集合A={x|x<-1或x>2}, B={x|4x+p<0}={x|x<-p4 }, 若B⊆A,则-p4≤-1 ,即p≥4, 则实数p 的取值范围是{p|p≥4}. 答案:{p|p≥4} 9.解:存在,理由如下:由题意知,若x+2=3,则 x=1,符合题意.若x+2=-x2,则x2+x+2 =0无实根,故不成立,综上所述,存在实数 x=1,使得B 是A 的子集,此时A={1,3,-1}, B={1,3}. 10.解:(1)A={x|x2-8x+15=0}={5,3}, 当a=15 时,B={5},元素5是集合A={5,3}中 的元素, 集合A={5,3}中除元素5外,还有元素3,3 不在集合B 中,所以B⫋A. (2)当a=0时,由题意得B=⌀, 又A={3,5},故B⊆A; 当a≠0时,B={1a }, 又A={3,5},B⊆A,此时1a=3 或1 a=5 , 则有a=13 或a=15. 所以C={0,13 ,1 5 }. 第二章 集合的运算 第1讲 集合的并集与交集运算 【知识情境导学】 知识点一 情境1 提示 A={圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本, 方便面,汽水},B={圆珠笔,铅笔,火腿肠,方便 面},则C={圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便 面,汽水,铅笔,火腿肠},容易发现集合C 是由 所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的. 知识梳理 所有 并集 A∪B A 并B {x|x∈A 或x∈ B} 知识点二 情境2 提示 由A={圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记 本,方便面,汽水},B={圆珠笔,铅笔,火腿肠, 方便面}知,集合D={圆珠笔,方便面},可见, 集合D 是由所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的. 知识梳理 所有 交集 {x|x∈A 且x∈B} 【典型例题精析】 跟踪训练1 C A∪B={x|1≤x≤3}∪{x|2< x<4}={x|1≤x<4}. 跟踪训练2 解析:(1)借助数轴得A∩B={x|4 <x<6}. (2)A∩B= (x,y) x+y=3, x-y=1 ={(2,1)}. 答案:(1){x|4<x<6} (2)C 跟踪训练3 解析:由M∩N=N,得N⊆M. 故当N=⌀,即2t+1≤2-t, 即t≤13 时,M∩N=N 成立; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·901· 参 考 答 案 4.若1∈{x+2,x2},则实数x的值为( ) A.-1 B.1 C.1或-1 D.1或3 5.下列集合中表示同一集合的是 ( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+ y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} 6.(多选)已知集合A={x∈N|x<6},则 下列关系式成立的是 ( ) A.0∈A B.1.5∉A C.-1∉A D.6∈A 7.集合{x|x=2m-3,m∈N*,m<5},用 列举法表示为 . 8.若集合A={x∈R|kx2+4x+4=0}只 有一个元素,则实数k的值为 . 9.用适当的方法表示下列集合: (1)方程x(x2+2x+1)=0的解集; (2)在自然数集内,小于1 000的奇数构 成的集合; (3)不等式x-2>6的解构成的集合; (4)大于0.5且不大于6的自然数的全体 构成的集合; (5)方程组 2x+y=3, x-2y=4 的解集. 10.下列三个集合: ①A={x|y=x2+1}; ②B={y|y=x2+1}; ③C={(x,y)|y=x2+1}. (1)它们是不是相同的集合? (2)它们各自的含义分别是什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第3讲 集合间的基本关系 1.理解两个集合间的包含关系. 2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系. 3.理解空集与子集、真子集之间的关系. 【导语】 我们知道,两个实数之间有相等关系、大 小关系,如5=5,5<7,5>3等等,两个 集合之间是否也有类似的关系呢? (同 学们有可能回答包含关系)嗯,大家都预 习课本了,有同学说了,集合间有包含关 系,不错,本节课的关键词就是“包含”, 古人有云:困难里包含着胜利;失败里孕 育着成功;书包含着人生;机会包含于每 个人的奋斗之中. 知识点一 子集 情境1 观察下面的几个例子,请同学们说 出它们之间的“包含”关系吧. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·94· 第三部分 高中知识初探析 (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; (2)C 为立德中学高一(2)班全体女生组 成的集合,D 为这个班全体学生组成的 集合; (3)A={x|x=2k,k∈Z},B={偶数}. [知识梳理] 1.子集 定义 一般地,对于两个集合A,B, 如果集合A 中任意一个元素 都是集合B 中的元素,就称 集合A 为集合B 的 记法与 读法 记作 (或B⊇A),读 作“ ”(或“B 包含 A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的 子集,即 (2)对于集合A,B,C,若A⊆ B 且B⊆C,则 2.一般地,如果集合A 的任何一个元素都 是集合B 的元素,同时集合B 的任何一 个元素都是集合A 的元素,那么集合A 与集合B 相等,记作 . 也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则 . 注意点: (1)“A 是B 的子集”的含义:集合A 中 的任意一个元素都是集合B 中的元素, 即由任意x∈A,能推出x∈B. (2)集合A 与集合B 相等,就是集合A 与集合B 中的元素完全一致,集合“A= B”可类比实数中的结论“若a≤b,且 b≤a,则a=b”,即“若A⊆B,且B⊆A, 则A=B”,反之亦成立. 知识点二 真子集 情境2 通过学习子集的概念我们发现,一 个非空集合的子集有好多个,你能对它 们进行分类吗? [知识梳理] 1.真子集 定义 如果集合A⊆B,但存在元素 x∈B,且x∉A,就称集合A 是集合B 的真子集 记法与 读法 记作A⫋B(或B⫌A),读作 “A 真包含于B”(或“B 真包 含A”) 图示 结论 (1)A⫋B 且B⫋C,则A⫋C (2)A⊆B 且A≠B,则A⫋B 2.空集 定义 一般地,我们把不含任何元素的 集合叫做 记法 规定 空集是任何集合的子集,即⌀⊆A 特性 (1)空集只有一个子集,即它本 身,⌀⊆⌀ (2)A≠⌀,则⌀⫋A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·05· 初高中衔接教材 3.性质: (1)反身性:任何一个集合是它本身的子 集,即A⊆A; (2)传递性:对于集合 A,B,C,如果 A⫋B,且B⫋C,那么A⫋C. 注意点: (1)在真子集的定义中,A⫋B 首先要 满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但 x∉A. (2)⌀与{0}的区别: ⌀是不含任何元素的集合;{0}是含有一 个元素的集合,⌀⫋{0}. 【例1】 指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1), (1,-1),(1,1)}; (2)A={x|-1<x<4},B={x|x- 5<0}; (3)A={x|x 是正方形},B={x|x 是 矩形}; (4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N= {x|x=2n+1,n∈N*}. 【解】 (1)集合A 的代表元素是数,集合 B 的代表元素是有序实数对,故A 与B 之间无包含关系. (2)集合B={x|x<5},用数轴表示集合 A、B,如图所示,由图可知A⊆B. (3)正方形是特殊的矩形,故A⊆B. (4)M={正奇数},N={不含1的正奇 数},故N⊆M. 【方法总结】 判断集合间关系的常用方法 跟踪训练1 (1)已知A={x|x 是正数}, B={x|x是正整数},C={x|x 是实 数},那么A,B,C 之间的关系是 ( ) A.A⊆B⊆C B.B⊆A⊆C C.C⊆A⊆B D.A=B⊆C (2)下列集合与集合A={2 022,1}相等 的是 ( ) A.(1,2 022) B.{(x,y)|x=2 022,y=1} C.{x|x2-2 023x+2 022=0} D.{(2 022,1)} 【例2】 写出集合{a,b,c}的所有子集,并 指出哪些是它的真子集. 【解】 子集有⌀,{a},{b},{c},{a,b}, {a,c},{b,c},{a,b,c}, 其中真子集有⌀,{a},{b},{c},{a,b}, {a,c},{b,c}. 【方法总结】 求元素个数有限的集合的 子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集:⌀和自身. (2)按集合中含有元素的个数由少到多, 分类一一写出,保证不重不漏. 跟踪训练2 满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5} 的集合M 有 个. 【例3】 已知集合A={x|-2≤x≤5},非 空集合B={x|m+1≤x≤2m-1},若 B⊆A,求实数m 的取值范围. 【解】 因为B≠⌀,且B⊆A,如图所示. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·15· 第三部分 高中知识初探析 则 m+1≥-2, 2m-1<5, m+1≤2m-1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 或 m+1>-2, 2m-1≤5, m+1≤2m-1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得2≤m≤3. 延伸探究 若本例条件“A={x|-2≤x≤5}”改为 “A={x|-2<x<5}”,其他条件不变, 求m 的取值范围. 【解】 因为B≠⌀,且B⊆A,如图所示. 所以 m+1>-2, 2m-1<5, m+1≤2m-1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 m>-3, m<3, m≥2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即2≤m<3, 所以m 的取值范围是{m|2≤m<3}. 【方法总结】 利用集合间的关系求参数 的关注点 (1)分析集合间的关系时,首先要分析、 简化每个集合. (2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分 析法,将各个集合在数轴上表示出来,以 形定数,还要注意验证端点值,做到准确 无误.一般含“=”用实心点表示,不含 “=”用空心圈表示. (3)此类问题还要注意“空集”的情况,因 为空集是任何集合的子集. 跟踪训练3 已知集合A={x|x>4},非 空集合B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆ A,求实数a的取值范围. 1.下列各选项中,表示M⊆N 的是 ( ) 2.已知集合M={x|y2=2x}和集合P= {(x,y)|y2=2x},则两个集合间的关 系是 ( ) A.M⊆P B.P⊆M C.M=P D.M,P 互不包含 3.已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0}, B={x∈N|0<x<5},则满足条件A⊆ C⊆B 的集合C 的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知集合U,S,T,F 的关系如图所示, 则下列关系正确的是 ( ) ①S∈U;②F⊆T;③S⊆T;④S⊆F;⑤ S∈F;⑥F⊆U. A.①③ B.②③ C.③④ D.③⑥ 5.(多选)已知集合A={0,1},则下列式子 正确的是 ( ) A.0∈A B.{1}∈A C.⌀⊆A D.{0,1}⊆A 6.(多选)已知集合A={2,-1},集合B= {m2-m,-1},且A=B,则实数m 等于 ( ) A.2 B.-1 C.-2 D.4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·25· 初高中衔接教材 7.若整数x,y 能使{2x,x+y}={7,4}成 立,则xy= . 8.已知集合A={x|x<-1或x>2},B= {x|4x+p<0},若B⊆A,则实数p 的 取值范围是 . 9.已知集合A={1,3,-x2},B={x+2,1}, 是否存在实数x,使得B 是A 的子集? 若存在,求出集合A、B;若不存在,请说 明理由. 10.设集合A={x|x2-8x+15=0},B= {x|ax-1=0}. (1)若a=15 ,试判定集合A 与B 的 关系; (2)若B⊆A,求实数a组成的集合C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二章 集合的运算 第1讲 集合的并集与交集运算 1.理解两个集合的并集与交集的含义,会 求两个简单集合的并集与交集. 2.能使用Venn图或数轴表达集合的关系 及运算. 【导语】 在研究集合时,经常遇到有关集合中元 素个数的问题,大家看一个问题,某超市 进了两次货,第一次进的货是圆珠笔、钢 笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种, 第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、 方便面共4种,两次一共进了几种货? 两次进的货一样的有几种? 我们说,数 学的作用之一是解决实际问题,我们知 道,实数有加、减、乘、除等运算,那么集 合是否也有类似的运算呢? 知识点一 并集的运算 情境1 某超市进了两次货,第一次进的货 是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、 汽水共6种,第二次进的货是圆珠笔、铅 笔、火腿肠、方便面共4种,我们用集合 A 表示第一次进货的品种,用集合B 表 示第二次进货的品种,通过观察,你能用 集合C 表示两次一共进货的品种吗? 并 讨论集合A、集合B 与集合C 的关系. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·35· 第三部分 高中知识初探析