第2讲 集合的表示-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

7.若由a,ba ,1组成的集合A 与由a2,a+ b,0组成的集合B 相等,则a2 022+b2 022 的值为 . 8.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2 =0的根为元素的集合中共有 个元素. 9.判断下列元素的全体是否能组成集合, 并说明理由: (1)平面上到∠AOB 两边等距离的点; (2)高中学生中的灌篮高手. 10.已知集合A 含有两个元素a-3和2a- 1,a∈R. (1)若-3∈A,试求实数a的值; (2)若a∈A,试求实数a的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第2讲 集合的表示 1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描 述法. 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单 的集合. 【导语】 同学们,上节课我们学习了集合的概念, 还有一些特殊的集合,比如非负整数集、 正整数集等,我们发现可以用自然语言 描述一个集合,而语言正是我们之间相 互联系的一种方式,同样的祝福又有着 不同的表示方式,例如,我们中文说“祝 你生日快乐”,英文为“Happy birthday to you”等等,那么对于同一个集合,会有 哪些不同的表示方法呢? 让我们一同进 入今天的探究之旅. 知识点一 用列举法表示集合 情境1 用A 表示“本班所有的男生”组成 的集合,这是利用的哪种方法表示的集 合? 你能把集合A 中的所有元素逐一列 举出来吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·54· 第三部分 高中知识初探析 [知识梳理] 列举法———像这样把集合的所有元素 出来,并用花括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做 . 注意点: (1)元素间用“,”隔开. (2)集合中的元素是确定的,元素不重 复,且无顺序. (3)对于元素个数较少时,把元素一一列 举出来并用“{ }”括起来即可. (4)对于元素个数较多时,如果构成该集 合的元素有明显规律,可用列举法,但必 须把元素间的规律显示清楚,然后加省 略号,比如正整数集可表示为{1,2,3,4, 5…}. (5)这里集合的“{ }”已包含所有的意 思,比如{整数},即代表整数集Z,而不能 用{全体整数},即不能出现“全体”“所 有”等字眼. 知识点二 用描述法表示集合 情境2 你能用列举法表示不等式x-7<3 的解集吗? 情境3 仿照上面的例子以及阅读课本,你 能表示偶数集吗? [知识梳理] 一般地,设A 是一个集合,我们把集合A 中所有具有共同特征P(x)的元素x 所 组成的集合表示为 ,这 种表示集合的方法称为描述法. 注意点: (1)写清该集合中元素的代表符号,如{x|x >1}不能写成{x>1}. (2)用简明、准确的语言进行描述,如方 程、不等式、几何图形等. (3)不能出现未被说明的字母,如{x∈Z| x=2m}中m 未被说明,故此集合中的元 素是不确定的. (4)所有描述的内容都要写在花括号内, 如“{x∈Z|x=2m},m∈N+”不符合要 求,应将“m∈N+”写进“{ }”中,即 {x∈Z|x=2m,m∈N+}. (5)元素的取值(或变化)范围,从上下文 的关系来看,若x∈R是明确的,则x∈R 可省略不写,如集合D={x∈R|x<20} 也可表示为D={x|x<20}. (6)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等 表示元素之间关系的词语,如{x|x<-1 或x>1}. (7)“{ }”有“所有”“全体”的含义,如所 有实数组成的集合可以用描述法表示为 {x|x是实数},但如果写成{x|x是所有 实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数 集}都是错误的,因为“{ }”本身既表示 集合的意思,也表示了“所有”“全体”的 意思,此处是初学者容易犯的错误,要注 意领会. 【例1】 用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有正整数组成的集合; (2)方程x2+x=0的所有实数根组成的 集合; (3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成 的集合. 【解】 (1)设小于10的所有正整数组成的 集合为A,那么A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)设方程x2+x=0的所有实数根组成 的集合为B,那么B={-1,0}. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·64· 初高中衔接教材 (3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交 点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}. 【方法总结】 用列举法表示集合的3个 步骤 (1)求出集合的元素; (2)把元素一一列举出来,且相同元素只 能列举一次; (3)用花括号括起来. 提醒:二元方程组的解集,函数图象上的 点构成的集合都是点的集合,一定要写成 实数对的形式,元素与元素之间用“,”隔开. 如{(2,3),(5,-1)}. 跟踪训练1 用列举法表示下列给定的集合: (1)不大于10的非负偶数组成的集 合A; (2)小于8的质数组成的集合B; (3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的 集合C; (4)一次函数y=x+3与y=-2x+6 的图象的交点组成的集合D. 【例2】 用描述法表示下列集合: (1)不等式2x-3<1的解组成的集 合A; (2)C={2,4,6,8,10}; (3)平面直角坐标系中第二象限内的点 组成的集合D. 【解】 (1)不等式2x-3<1的解组成的 集合为A,则集合A 中的元素是数,设代 表元素为x,则x满足2x-3<1,则A={x |2x-3<1},即A={x|x<2}. (2)设偶数为x,则x=2n,n∈Z.但元素 是2,4,6,8,10, 所以x=2n,n≤5,n∈N*. 所以C={x|x=2n,n≤5,n∈N*}. (3)设点坐标为(x,y)平面直角坐标系中 第二象限内的点的横坐标为负,纵坐标 为正,即x<0,y>0,故第二象限内的点 的集合为D={(x,y)|x<0,y>0}. 【方法总结】 (1)用描述法表示集合时 应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集 还是其他的类型,一般地,数集用一个字 母代表其元素,点集用一个有序数对代 表其元素. (2)若描述部分出现代表元素以外的字 母,则要对新字母说明其含义或指出其 取值范围. 跟踪训练2 试分别用描述法和列举法表 示下列集合: (1)方程x2-5=0的所有实数根组成的 集合A; (2)由小于8的所有自然数组成的集 合B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·74· 第三部分 高中知识初探析 【例3】 已知集合A={x|ax2+2x+1=0, a∈R},若A 中只有一个元素,求a的值. 【解】 当a=0时,原方程变为2x+1=0, 此时x=-12 ,符合题意; 当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元 二次方程, 当Δ=4-4a=0,即a=1时,原方程的 解为x=-1,符合题意. 故当A 中只有一个元素时,a 的值为0 或1. 延伸探究 1.在本例条件下,若A 中至多有一个元素, 求a的取值范围. 【解】 A 中至多有一个元素,即A 中有 一个元素或没有元素. 当A 中只有一个元素时,由例3可知, a=0或a=1. 当A 中没有元素时,Δ=4-4a<0且a≠ 0,即a>1. 故当A 中至多有一个元素时,a 的取值 范围为{a|a=0或a≥1}. 2.在本例条件下,是否存在实数a,使集合 A 与集合{1}相等? 若存在,求出a 的 值;若不存在,说明理由. 【解】 ∵A={1},∴1∈A, ∴a+2+1=0,即a=-3. 又当a=-3时,由-3x2+2x+1=0, 得x=-13 或x=1,即方程ax2+2x+1 =0有两个根-13 和1, 此时A={-13 ,1},与A={1}矛盾. 故不存在实数a,使A={1}. 【方法总结】 根据已知的集合求参数的关 注点 (1)若已知集合是用描述法给出的,读懂 集合的代表元素及其属性是解题的关 键,如例3集合A 中的元素就是所给方 程的根,由此便把集合的元素个数问题 转化为方程的根的个数问题. (2)a=0这种情况极易被忽视,对于方程 “ax2+2x+1=0”有两种情况:一是 a=0,即它是一元一次方程;二是a≠0, 即它是一元二次方程,也只有在这种情 况下,才能用判别式Δ 来解决问题. 跟踪训练3 已知集合A={a+3,(a+1)2, a2+2a+2},若1∈A,求实数a的值. 1.已知集合M={x|x∈N},则 ( ) A.0∈M B.π∈M C.2∈M D.1∉M 2.已知集合A={1,2},B={x|x=a+b, a∈A,b∈A},则集合B 中的元素个数 为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.把集合{x|x2-4x-5=0}用列举法 表示为 ( ) A.{x=-1,x=5} B.{x|x=-1或x=5} C.{x2-4x-5=0} D.{-1,5} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·84· 初高中衔接教材 4.若1∈{x+2,x2},则实数x的值为( ) A.-1 B.1 C.1或-1 D.1或3 5.下列集合中表示同一集合的是 ( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+ y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} 6.(多选)已知集合A={x∈N|x<6},则 下列关系式成立的是 ( ) A.0∈A B.1.5∉A C.-1∉A D.6∈A 7.集合{x|x=2m-3,m∈N*,m<5},用 列举法表示为 . 8.若集合A={x∈R|kx2+4x+4=0}只 有一个元素,则实数k的值为 . 9.用适当的方法表示下列集合: (1)方程x(x2+2x+1)=0的解集; (2)在自然数集内,小于1 000的奇数构 成的集合; (3)不等式x-2>6的解构成的集合; (4)大于0.5且不大于6的自然数的全体 构成的集合; (5)方程组 2x+y=3, x-2y=4 的解集. 10.下列三个集合: ①A={x|y=x2+1}; ②B={y|y=x2+1}; ③C={(x,y)|y=x2+1}. (1)它们是不是相同的集合? (2)它们各自的含义分别是什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第3讲 集合间的基本关系 1.理解两个集合间的包含关系. 2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系. 3.理解空集与子集、真子集之间的关系. 【导语】 我们知道,两个实数之间有相等关系、大 小关系,如5=5,5<7,5>3等等,两个 集合之间是否也有类似的关系呢? (同 学们有可能回答包含关系)嗯,大家都预 习课本了,有同学说了,集合间有包含关 系,不错,本节课的关键词就是“包含”, 古人有云:困难里包含着胜利;失败里孕 育着成功;书包含着人生;机会包含于每 个人的奋斗之中. 知识点一 子集 情境1 观察下面的几个例子,请同学们说 出它们之间的“包含”关系吧. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·94· 第三部分 高中知识初探析 10.解:(1)因为-3∈A, 所以-3=a-3或-3=2a-1. 若-3=a-3,则a=0.此时集合A 含有两个 元素-3,-1,符合题意; 若-3=2a-1,则a=-1.此时集合A 含有两 个元素-4,-3,符合题意. 综上所述,实数a的值为0或-1. (2)因为a∈A,所以a=a-3或a=2a-1. 当a=a-3时,有0=-3,不成立; 当a=2a-1时,有a=1,此时A 中有两个元 素-2,1,符合题意. 综上,实数a的值为1. 第2讲 集合的表示 【知识情境导学】 知识点一 情境1 提示 ①这是用自然语言法表示的集合; ②我们可以把所有男生的名字写出来,或者把 所有男生的学号一一写出. 知识梳理 一一列举 列举法 知识点二 情境2 提示 不等式x-7<3的解是x<10,因 为满足x<10的实数有无数个,所以x-7<3 的解集无法用列举法表示.但是,我们可以利用 解集中元素的共同特征,即x 是实数且x<10, 把解集表示为{x∈R|x<10}. 情境3 提示 {x∈Z|x=2k,k∈Z}. 知识梳理 {x∈A|P(x)} 【典型例题精析】 跟踪训练1 解:(1)不大于10的非负偶数有0, 2,4,6,8,10,所以A={0,2,4,6,8,10}. (2)小于8的质数有2,3,5,7, 所以B={2,3,5,7}. (3)方程2x2-x-3=0的实数根为-1,32 , 所以C={-1,32 }. (4)由 y=x+3, y=-2x+6, 得 x=1 , y=4. 所以一次函数 y=x+3与y=-2x+6的交点为(1,4), 所以D={(1,4)}. 跟踪训练2 解:(1)描述法表示为A={x∈R|x2 -5=0},列举法表示为A={5,-5}. (2)描述法表示为{x∈N|x<8}(形式不唯一), 列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6,7}. 跟踪训练3 解:①若a+3=1,则a=-2, 此时A={1,1,2},不符合集合中元素的互异 性,舍去. ②若(a+1)2=1,则a=0或a=-2. 当a=0时,A={3,1,2},满足题意; 当a=-2时,由①知不符合条件,故舍去. ③若a2+2a+2=1,则a=-1, 此时A={2,0,1},满足题意. 综上所述,实数a的值为-1或0. 【衔接自测训练】 1.A 由集合M={x|x∈N}知,0∈M,故A正 确;π∉M,故B错误;2∉M,故C错误;1∈M, 故D错误. 2.C ∵集合A={1,2},B={x|x=a+b,a∈ A,b∈A},∴B={2,3,4},∴集合B 中的元素 个数为3. 3.D 根据题意,解x2-4x-5=0可得x=-1 或5,用列举法表示为{-1,5}. 4.B 由1∈{x+2,x2},可得x2=1或x+2=1, 当x2=1时,x=±1.当x=1时,x+2=3,满 足要求;当x=-1时,-1+2=1,不满足元素 的互异性,舍去.当x+2=1时,x=-1,舍去. ∴x=1. 5.B 选项A中的集合M 是由点(3,2)组成的点 集,集合N 是由点(2,3)组成的点集,故集合M 与N 不是同一个集合;选项C中的集合M 是由 一次函数y=1-x 图象上的所有点组成的集 合,集合N 是由一次函数y=1-x 图象上的所 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·701· 参 考 答 案 有点的纵坐标组成的集合,即N={y|x+y= 1}=R,故集合M 与N 不是同一个集合;选项D 中的集合M 是数集,而集合N 是点集,故集合 M 与N 不是同一个集合;对于选项B,由集合 中元素的无序性,可知M,N 表示同一个集合. 6.ABC ∵A={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5}, ∴6∉A,故D不成立,其余都成立. 7.解析:集合中的元素满足x=2m-3,m∈N*, m<5,则m 可取值为1,2,3,4, 则满足条件的x 值为-1,1,3,5. 则集合用列举法表示为{-1,1,3,5}. 答案:{-1,1,3,5} 8.解析:集合A 中只有一个元素,即方程kx2+4x +4=0只有一个根.当k=0时,方程为一元一 次方程,只有一个根;当k≠0时,方程为一元二 次方程,若方程有两个相等的根,则Δ=16- 16k=0,即k=1.所以实数k的值为0或1. 答案:0或1 9.解:(1){0,-1}. (2){x|x=2n+1,且x<1 000,n∈N}. (3){x|x>8}. (4){1,2,3,4,5,6}. (5)解集用描述法表示为 (x,y) 2x+y=3, x-2y=4 , 解集用列举法表示为{(2,-1)}. 10.解:(1)它们是互不相同的集合. (2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x, 且x∈R; 集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,满足 条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1. 集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是 (x,y),是抛物线y=x2+1上的点. 第3讲 集合间的基本关系 【知识情境导学】 知识点一 情境1 提示 (1)集合A 包含于集合B,或集合 B 包含集合A. (2)集合C 包含于集合D,或集合 D 包含集 合C. (3)集合A 包含集合B,集合B 也包含集合A. 知识梳理 1.子集 A⊆B A 包含于B A⊆A A⊆C 2.A=B A=B 知识点二 情境2 提示 对于一个含有多个元素的集合,它 的子集的元素的个数大多比它本身少,但有一 个特殊的,那就是它也是它本身的一个子集. 知识梳理 2.空集 ⌀ 【典型例题精析】 跟踪训练1 解析:(1)集合A,B,C 的关系如图. 故选B. (2)(1,2 022)表示一个点,不是集合,A不符合; 集合{(x,y)|x=2 022,y=1}的元素是点,与 集合A 不相等,B不符合;{x|x2-2 023x+2 022=0}={2 022,1}=A,故C符合题意;集合 {(2 022,1)}的元素是点,与集合 A 不相等, D不符合. 答案:(1)B (2)C 跟踪训练2 解析:由题意可得{1,2}⫋M⊆{1,2, 3,4,5},可以确定集合M 必含有元素1,2,且含 有元素3,4,5中的至少一个,因此依据集合M 的元素个数分类如下: 含有三个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5}; 含有四个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}; 含有五个元素:{1,2,3,4,5}. 故满足题意的集合M 共有7个. 答案:7 跟踪训练3 解:因为B≠⌀,根据题意作出如图 所示的数轴,则 a+3≥2a, 2a>4, 解得2<a≤3. 所以实数a的取值范围为{a|2<a≤3}. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·801· 初高中衔接教材