第1讲 集合的概念-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

∴抛物线函数解析式为y=(x-m)2+2m. ∴当x=2时,y=(2-m)2+2m=m2-2m+4 (0≤m≤2), ∴点P 的坐标是(2,m2-2m+4). ∵对于二次函数y'=m2-2m+4=(m-1)2 +3 当0≤m≤2时, ∴m=1时,y'有最小值3, 当m=0或2时,y'的值为4, ∴点P 移动的路径长为2×(4-3)=2,故选C. 3.A 根据抛物线y=ax2-6ax-3开口向上可 知a>0,将抛物线配方为y=a(x-3)2-3- 9a,可得抛物线的对称轴为x=3,可知应选择 的y轴为直线m4;由顶点坐标为(3,-3-9a), 抛物线y=ax2-6ax-3与y 轴的交点为(0, -3),而-3-9a<-3,可知应选择的x 轴为直 线m1,故选A. 4.C 如图: 直线y=mx-2m(m<0)与x 轴交于(2,0) 当线段ON 长度增大时, 当直线y=mx-2m(m<0)与该抛物线交于对 称轴左侧时,MN,AB 逐渐变小; 如果交于对称轴右侧时,随着ON 的增大AN 逐渐变小; 只有BM 才会逐渐变大.故选C. 5.解:(1)根据题意得x2-3x+3=1, 移项、合并同类项,得x2-3x+2=0, 整理,得(x-1)(x-2)=0, 解得:x1=1或x2=2. (2)根据题意知, y=(2-x)2-(2-x)(-1)+(-1) 整理得:y=x2-5x+5=(x- 5 2 )2-54 所以顶点坐标(5 2 ,-54 ). (3)根据题意知,新的抛物线解析式为 y=-(-x- 5 2 )2+54=- (x+52 )2+54. 6.解:(1)y= 1 x-1 ,y= 1 x-1+1. (2)∵y= x+1 x = 1 x+1 , ∴y= x+1 x 的图象可由y= 1 x 的图象向上平移 1个单位长度得到. ∵y= x-1 x-2= x-2+1 x-2 =1+ 1 x-2 , ∴y= x-1 x-2 的图象可由y= 1 x 的图象向右平移 2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到. (3)∵y= x+b x+a= x+a+b-a x+a =1+ b-a x+a , ∴当a>0时,y= x+b x+a 的图象可由y= b-a x 的 图象向左平移a 个单位长度,再向上平移1个 单位长度得到; 当a<0时,y= x+b x+a 的图象可由y= b-a x 的图 象向右平移-a个单位长度,再向上平移1个单 位长度得到. 第三部分 高中知识初探析 第一章 集合 集合的基本关系 第1讲 集合的概念 【知识情境导学】 知识点一 情境1 提示 以上例子中指的都是“所有的”,即 某种研究对象的全体,研究对象可以是数、点、 代数式,也可以是现实生活中各种各样的事物 或人等. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·501· 参 考 答 案 知识梳理 1.元素 2.集合 集 知识点二 情境2 解析 都能构成集合. (1)2,4,6,8,10; (2)立德中学今年入学的每一位高一学生; (3)正方形; (4)到直线l的距离等于定长d 的点; (5)1,2; (6)太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋. 知识梳理 1.确定性 互异性 无序性 2.一样的 知识点三 情境3 提示 是男生就去,不是男生就不去. 知识梳理 1.a∈A a∉A 【典型例题精析】 跟踪训练1 解析:(1)A不正确,与定点A,B 等 距离的点在AB 的垂直平分线上,能构成集合; B不正确,由title中的字母构成的元素为t,i, l,e共4个;C正确,一个集合中有三个元素a, b,c,故a,b,c互异,故不可能构成等腰三角形; D不正确,游泳能手没有确定的标准,故不能构 成集合. (2)由题意知a+b=0,所以ba=-1 , 所以b=1,a=-1,所以a+2b=1. 答案:(1)C (2)1 跟踪训练2 解析:(1)0是自然数,则0∈N;-3 不是自然数,则-3∉N;0.5,2不是整数,则 0.5∉Z,2∉Z;13 是有理数,则1 3∈Q ;π是无 理数,则π∈R. (2)因为2∈A,所以2×2+a>0,即a>-4. 答案:(1)∈ ∉ ∉ ∉ ∈ ∈ (2)a>-4 【衔接自测训练】 1.D 此题考查集合概念的确定性,只有D中的 元素是确定的. 2.B 本题是判断0和2与集合M 间的关系,因 此只需判断0和2是否是不等式3-2x<0的 解即可.当x=0时,3-2x=3>0,所以0∉M; 当x=2时,3-2x=-1<0,所以2∈M. 3.A 由于A中P,Q 的元素完全相同,所以P 与 Q 表示同一个集合,而B,C,D中P,Q 的元素 不相同,所以P 与Q 不能表示同一个集合. 4.C 由2∈M 知2为方程x2-x+m=0的一个 解,所以22-2+m=0,解得m=-2. 所以方程为x2-x-2=0, 解得x1=-1或x2=2. 故方程的另一根为-1.故-1∈M,选C. 5.AC 若a=2,则6-2=4∈A; 若a=4,则6-4=2∈A; 若a=6,则6-6=0∉A. 6.AC 因为N*表示正整数集,容易判断A,C正 确;对于B,若a=12 ,则 满 足-a∉N*,但 a∉N*,B错误;对于D,x2+4=4x 的实数解只 有2,所以解集中只有一个元素,D错误. 7.解析:由已知可得a≠0, 因为两集合相等,又1≠0, 所以b a=0 ,所以b=0, 所以a2=1,即a=±1, 又当a=1时,集合A 不满足集合中元素的互异 性,舍去, 所以a=-1. 所以a2 022+b2 022=1. 答案:1 8.解析:方程x2-5x+6=0的根是2,3,方程x2 -x-2=0的根是-1,2.根据集合中元素的互 异性知,以这两个方程的根为元素的集合中共 有3个元素. 答案:3 9.解:(1)到∠AOB 两边等距离的点在∠AOB 的角平分线上,故元素是明确的,可以组成 集合. (2)对于灌篮高手,概念模糊,无法明确界定,故 不能组成集合. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·601· 初高中衔接教材 10.解:(1)因为-3∈A, 所以-3=a-3或-3=2a-1. 若-3=a-3,则a=0.此时集合A 含有两个 元素-3,-1,符合题意; 若-3=2a-1,则a=-1.此时集合A 含有两 个元素-4,-3,符合题意. 综上所述,实数a的值为0或-1. (2)因为a∈A,所以a=a-3或a=2a-1. 当a=a-3时,有0=-3,不成立; 当a=2a-1时,有a=1,此时A 中有两个元 素-2,1,符合题意. 综上,实数a的值为1. 第2讲 集合的表示 【知识情境导学】 知识点一 情境1 提示 ①这是用自然语言法表示的集合; ②我们可以把所有男生的名字写出来,或者把 所有男生的学号一一写出. 知识梳理 一一列举 列举法 知识点二 情境2 提示 不等式x-7<3的解是x<10,因 为满足x<10的实数有无数个,所以x-7<3 的解集无法用列举法表示.但是,我们可以利用 解集中元素的共同特征,即x 是实数且x<10, 把解集表示为{x∈R|x<10}. 情境3 提示 {x∈Z|x=2k,k∈Z}. 知识梳理 {x∈A|P(x)} 【典型例题精析】 跟踪训练1 解:(1)不大于10的非负偶数有0, 2,4,6,8,10,所以A={0,2,4,6,8,10}. (2)小于8的质数有2,3,5,7, 所以B={2,3,5,7}. (3)方程2x2-x-3=0的实数根为-1,32 , 所以C={-1,32 }. (4)由 y=x+3, y=-2x+6, 得 x=1 , y=4. 所以一次函数 y=x+3与y=-2x+6的交点为(1,4), 所以D={(1,4)}. 跟踪训练2 解:(1)描述法表示为A={x∈R|x2 -5=0},列举法表示为A={5,-5}. (2)描述法表示为{x∈N|x<8}(形式不唯一), 列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6,7}. 跟踪训练3 解:①若a+3=1,则a=-2, 此时A={1,1,2},不符合集合中元素的互异 性,舍去. ②若(a+1)2=1,则a=0或a=-2. 当a=0时,A={3,1,2},满足题意; 当a=-2时,由①知不符合条件,故舍去. ③若a2+2a+2=1,则a=-1, 此时A={2,0,1},满足题意. 综上所述,实数a的值为-1或0. 【衔接自测训练】 1.A 由集合M={x|x∈N}知,0∈M,故A正 确;π∉M,故B错误;2∉M,故C错误;1∈M, 故D错误. 2.C ∵集合A={1,2},B={x|x=a+b,a∈ A,b∈A},∴B={2,3,4},∴集合B 中的元素 个数为3. 3.D 根据题意,解x2-4x-5=0可得x=-1 或5,用列举法表示为{-1,5}. 4.B 由1∈{x+2,x2},可得x2=1或x+2=1, 当x2=1时,x=±1.当x=1时,x+2=3,满 足要求;当x=-1时,-1+2=1,不满足元素 的互异性,舍去.当x+2=1时,x=-1,舍去. ∴x=1. 5.B 选项A中的集合M 是由点(3,2)组成的点 集,集合N 是由点(2,3)组成的点集,故集合M 与N 不是同一个集合;选项C中的集合M 是由 一次函数y=1-x 图象上的所有点组成的集 合,集合N 是由一次函数y=1-x 图象上的所 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·701· 参 考 答 案 第三部分 高中知识初探析 第一章 集合 集合的基本关系 第1讲 集合的概念 1.通过实例了解集合与元素的含义,利用 集合中元素的三个特征解决一些简单的 问题,能判断元素与集合的关系. 2.识记常见数集的表示符号. 【导语】 在体育课上,体育老师常说的一句话就 是“集合”,这个时候,同学们从四面八方 集合到一起,而这个集合是一个动词,在 我们数学课上,也有一个名词“集合”,比 如在小学和初中,我们学习过自然数的 集合,同一平面内到一个定点的距离等 于定长的点的集合等,为了进一步了解 集合的有关知识,请同学们观察下面的 几个例子. 知识点一 元素与集合的概念 情境1 看下面的几个例子,观察并讨论它 们有什么共同特点? (1)1~10之间的所有偶数; (2)立德中学今年入学的全体高一学生; (3)所有的正方形; (4)到直线l 的距离等于定长d 的所 有点; (5)方程x2-3x+2=0的所有实数根; (6)地球上的四大洋. [知识梳理] 1.元素:一般地,我们把研究对象统称为 .元素通常用小写拉丁字母a, b,c,…表示; 2.集 合:把 一 些 元 素 组 成 的 总 体 叫 做 (简称为 ).集合通常 用大写拉丁字母A,B,C,…表示. 知识点二 集合中元素的特征 情境2 问题1中的几个例子都能构成集 合吗? 它们的元素分别是什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·24· 初高中衔接教材 [知识梳理] 1.集合中元素的特征: , , . 2.集合相等:只要构成两个集合的元素是 ,我们就称这两个集合是相 等的. 注意点: (1)集合中的元素必须是确定的,不能是 模棱两可的,任何两个元素不能相同,且 与顺序无关. (2)利用集合相等求参时,已知元素是突 破口. 知识点三 元素和集合之间的关系 情境3 如果体育老师说“男同学打篮球, 女同学跳绳”,你去打篮球吗? [知识梳理] 1.元素和集合之间的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与 集合的 关系 属于 如果a 是集 合A 的元素 a属于集 合A 不属于 如果a不是集 合A的元素 a不属于 集合A 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数 集 记法 N N*或N+ Z Q R 注意点: (1)元素与集合之间是属于或不属于的 关系,注意符号的书写. (2)0属于自然数集. 【例1】 (1)(多选)以下元素的全体能构成 集合的是 ( ) A.中国古代四大发明 B.周长为10 cm的三角形 C.方程x2+2x-3=0的实数根 D.地球上的小河流 (2)集合P 中含有两个元素1和4,集合 Q 中含有两个元素1和a2,若P=Q,则 a= . 【解析】 (1)在A中,中国古代四大发明 具有确定性,能构成集合;在B中,周长为 10 cm的三角形具有确定性,能构成集合; 在C中,方程x2+2x-3=0的实数根为 -3和1,能构成集合;在D中,地球上的 小河流不确定,因此不能构成集合. (2)由题意得a2=4,a=±2. 【答案】 (1)ABC (2)±2 【方法总结】 (1)判断一组对象能构成 集合的条件 ①能找到一个明确的标准,使得对于任 何一个对象,都能确定它是不是给定集 合的元素; ②任何两个对象都是不同的; ③对元素出现的顺序没有要求. (2)判断两个集合相等的注意点 若两个集合相等,则这两个集合的元素 相同,但是要注意其中的元素不一定按 顺序对应相等. 跟踪训练1 (1)下列说法中正确的是 ( ) A.与定点A,B 等距离的点不能构成 集合 B.由“title”中的字母构成的集合中元素 的个数为5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·34· 第三部分 高中知识初探析 C.一个集合中有三个元素a,b,c,其中 a,b,c是△ABC 的三边长,则△ABC 不可能是等腰三角形 D.高中学生中的游泳能手能构成集合 (2)设a,b是两个实数,集合A 中含有 0,b,ba 三个元素,集合B 中含有1,a,a +b三个元素,且集合A 与集合B 相等, 则a+2b= . 【例2】 (1)下列结论中,不正确的是( ) A.若a∈N,则-a∉N B.若a∈Z,则a2∈Z C.若a∈Q,则|a|∈Q D.若a∈R,则a3∈R (2)设集合B 是小于 11的所有实数的 集合,则23 B,1+ 2 B.(用符号“∈”或“∉”填空) 【解析】 (1)A中当a=0时,显然不成立. (2)∵23= 12> 11,∴23∉B, ∵(1+2)2=3+22<3+2×4=11, ∴1+2< 11,∴1+2∈B. 【答案】 (1)A (2)∉ ∈ 【方法总结】 判断元素和集合关系的方法 直接法:首先明确集合是由哪些元素构 成的,然后判断该元素在已知集合中是 否出现即可. 推理法:首先明确已知集合的元素具有 什么特征,然后判断该元素是否满足集 合中元素所具有的特征即可. 跟踪训练2 (1)用符号“∈”或“∉”填空: 0 N;-3 N;0.5 Z; 2 Z;13 Q ;π R. (2)已知集合A 中元素x满足2x+a>0, a∈R,若2∈A,则实数a的取值范围为 . 1.下面给出的四类对象中,能构成集合 的是 ( ) A.某班视力较好的同学 B.长寿的人 C.π的近似值 D.倒数等于它本身的数 2.设不等式3-2x<0的解集为M,下列关 系中正确的是 ( ) A.0∈M,2∈M B.0∉M,2∈M C.0∈M,2∉M D.0∉M,2∉M 3.下列各组中集合P 与Q,表示同一个集 合的是 ( ) A.P 是由元素1,3,π构成的集合,Q 是由元素π,1,|-3|构成的集合 B.P 是由π构成的集合,Q 是由3.141 59构成的集合 C.P 是由2,3构成的集合,Q 是由有序 数对(2,3)构成的集合 D.P 是满足不等式-1≤x≤1的自然数 构成的集合,Q 是方程x2=1的解集 4.已知集合M 是方程x2-x+m=0的解 组成的集合,若2∈M,则下列判断正确 的是 ( ) A.1∈M B.0∈M C.-1∈M D.-2∈M 5.(多选)集合A 中含有三个元素2,4,6, 若a∈A,且6-a∈A,那么a为 ( ) A.2 B.-2 C.4 D.0 6.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.N*中最小的数是1 B.若-a∉N*,则a∈N* C.若a∈N*,b∈N*,则a+b的最小值是2 D.x2+4=4x的实数解组成的集合中含 有2个元素 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·44· 初高中衔接教材 7.若由a,ba ,1组成的集合A 与由a2,a+ b,0组成的集合B 相等,则a2 022+b2 022 的值为 . 8.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2 =0的根为元素的集合中共有 个元素. 9.判断下列元素的全体是否能组成集合, 并说明理由: (1)平面上到∠AOB 两边等距离的点; (2)高中学生中的灌篮高手. 10.已知集合A 含有两个元素a-3和2a- 1,a∈R. (1)若-3∈A,试求实数a的值; (2)若a∈A,试求实数a的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第2讲 集合的表示 1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描 述法. 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单 的集合. 【导语】 同学们,上节课我们学习了集合的概念, 还有一些特殊的集合,比如非负整数集、 正整数集等,我们发现可以用自然语言 描述一个集合,而语言正是我们之间相 互联系的一种方式,同样的祝福又有着 不同的表示方式,例如,我们中文说“祝 你生日快乐”,英文为“Happy birthday to you”等等,那么对于同一个集合,会有 哪些不同的表示方法呢? 让我们一同进 入今天的探究之旅. 知识点一 用列举法表示集合 情境1 用A 表示“本班所有的男生”组成 的集合,这是利用的哪种方法表示的集 合? 你能把集合A 中的所有元素逐一列 举出来吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·54· 第三部分 高中知识初探析