第5讲 函数图象的平移-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

5.为了防控新冠疫情,某市计划在体育中 考时增设考生进入考点需进行体温检测 的措施.防疫部门为了解学生错峰进入 考点进行体温检测的情况,调查了一所 学校某天上午考生进入考点的累计人数 y(人)与时间x(分钟)的变化情况,数据 如下表:(表中9~15表示9<x≤15) 时间 x(分钟) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9~ 15 人数 y(人) 0 170320450560650720770800810810 (1)根据这15分钟内考生进入考点的累 计人数与时间的变化规律,利用初中所 学函数知识求出y 与x 之间的函数关 系式; (2)如果考生一进考点就开始测量体温, 体温检测点有2个,每个检测点每分钟 检测20人,考生排队测量体温,求排队 人数最多时有多少人? 全部考生都完成 体温检测需要多少时间? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第5讲 函数图象的平移 [初中知识回顾] 1.平移变换 (1)水平平移:函数y=f(x+a)的图象 可以通过函数y=f(x)的图象沿x轴方 向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个 单位长度得到; (2)竖直平移,函数y=f(x)+b的图象 可以通过函数y=f(x)的图象沿y轴方 向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个 单位长度得到. 2.对称变换 (1)函数y=f(-x)的图象可以通过函 数y=f(x)的图象关于y轴对称得到; (2)函数y=-f(x)的图象可以通过函 数y=f(x)的图象关于x轴对称得到; (3)函数y=-f(-x)的图象可以通过 函数y=f(x)的图象关于原点对称 得到. [高中知识衔接] 1.平移变换 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·73· 第二部分 初中知识拓展精讲 2.对称变换 (1)y=f(x) 关于x轴对称 →y=-f(x); (2)y=f(x) 关于y轴对称 →y=f(-x); (3)y=f(x) 关于原点对称 →y=-f(-x). 3.翻折变换 (1)y=f(x) 保留x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去→y =|f(x)|; (2)y=f(x) 保留y轴右边图象 将y轴右边图象翻折到左边 →y= f(|x|). 4.伸缩变换 (1)y=f(x) 纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<a<1) 为原来的a倍,横坐标不变 → y=af(x)(a>0); (2)y=f(x) 横坐标伸长(0<a<1)或缩短(a>1) 为原来的1 a 倍,纵坐标不变 → y=f(ax)(a>0). 衔接点一 平移变换 【例1】 如图,抛物线y=ax2+bx-3经 过A(-1,0),B(3,0)两点,顶点为D. (1)求a和b的值; (2)将抛物线沿y轴方向上下平移,使顶 点D 落在x轴上. ①求平移后所得图象的函数解析式; ②若将平移后的抛物线,再沿x轴方向左 右平移得到新抛物线,若1≤x≤2时,新抛 物线对应的函数有最小值2,求平移的方向 和单位长度. 【解】 (1)将A(-1,0),B(3,0)代入y =ax2+bx-3,得 a-b-3=0 9a+3b-3=0 , 解得 a=1 b=-2 . (2)①∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴抛物线顶点D 的坐标为(1,-4). ∵将抛物线沿y轴平移后,顶点D 落在x 轴上, ∴平移后的抛物线的顶点坐标为(1,0), ∴平移后的抛物线为y=(x-1)2, 即y=x2-2x+1. ②若将抛物线y=(x-1)2 向左平移k (k>0)个单位长度,则新抛物线的解析 式为y=(x-1+k)2, ∵当1≤x≤2时,新抛物线对应的函数 有最小值2, ∴新抛物线必过点(1,2), ∴2=(1-1+k)2, 解得k1=2或k2=-2(舍去); 若将抛物线y=(x-1)2 向右平移k(k >0)个单位长度,则新抛物线的解析 式为y=(x-1-k)2, ∵当1≤x≤2时,新抛物线对应的函数 有最小值2, ∴新抛物线必过点(2,2). ∴2=(2-1-k)2, 解得k1=2+1或k2=-2+1(舍去). ∴将抛物线y=(x-1)2 向左平移 2个 单位长度或向右平移1+2个单位长度. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·83· 初高中衔接教材 [跟踪训练] 1.已知抛物线y=- 1 3x 2,把它向上平移, 得到的抛物线与x轴交于A、B 两点,与 y轴交于C 点,若△ABC 是直角三角形, 那么原抛物线应向上平移几个单位? 衔接点二 对称变换 【例2】 如图,抛物线y=ax2-2x+c (a≠0)与x轴、y轴分别交于点A,B,C 三点,已知点A(-2,0),C(0,-8),点D 是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标; (2)如图,抛物线的对称轴与x 轴交于点 E,第四象限的抛物线上有一点P,将 △EBP 沿直线EP 折叠,使点B 的对应 点B'落在抛物线的对称轴上,求点P 的 坐标. 【解】 (1)将点A、点C 的坐标代入抛物 线的解析式得 4a+4+c=0 c=-8 , 解得a=1,c=-8. ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-8. ∵y=(x-1)2-9, ∴D(1,-9). (2)将y=0代入抛物线的解析式得 x2-2x-8=0,解得x=4或x=-2, ∴B(4,0). ∵y=(x-1)2-9, ∴抛物线的对称轴为x=1,∴E(1,0). ∵将△EBP 沿直线EP 折叠,使点B 的 对应点B'落在抛物线的对称轴上, ∴EP 为∠BED 的角平分线. ∴∠BEP=45°. 设直线EP 的解析式为y=-x+b,将点 E 的坐标代入得:-1+b=0,解得b=1, ∴直线EP 的解析式为y=-x+1. 将y=-x+1代入抛物线的解析式得: -x+1=x2-2x-8, 解得x=1- 372 或x=1+ 372 . ∵点P 在第四象限, ∴x=1+ 372 .∴y= 1- 37 2 . ∴P(1+ 372 ,1- 37 2 ). [跟踪训练] 2.已知二次函数的图象的顶点坐标为 (3,-2),且与y轴交于(0, 5 2 ). (1)求函数的解析式; (2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线 上,若p>q>5,判断m 和n的大小. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·93· 第二部分 初中知识拓展精讲 衔接点三 平移与对称变换的综合应用 【例3】 试作出函数y=|x-1|,y=|x|-1 的图象. 【解】 y=|x-1|的图象如图①所示; y=|x|-1的图象如图②所示. [跟踪训练] 3.试作出函数y=|x2-1|的图象. 1.如图,在平面直角坐标系中,有一系列的 抛物线Cn:y=(x-n)2+n2(n 为正整 数),若C1和Cn 的顶点的连线平行于直 线y=10x,则该条抛物线对应的n 的 值是 ( ) A.8 B.9 C.11 D.10 2.如图,直线y=2x与直线x=2相交于点 A,将抛物线y=x2 沿线段OA 从点O 运动到点A,使其顶点始终在线段OA 上,抛物线与直线x=2相交于点P,则 点P 移动的路径长为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3.王芳将如图所示的三条水平直线m1, m2,m3的其中一条记为x 轴(向右为 正方向),三条竖直直线m4,m5,m6 的 其中一条记为y 轴(向上为正方向), 并在此坐标平面内画出了抛物线y= ax2-6ax-3,则她所选择的x 轴和y 轴分别为 ( ) A.m1,m4 B.m2,m3 C.m3,m6 D.m4,m5 4.在平面直角坐标系中,O 为原点,抛物线 y=-x2+3x 的对称轴l交x 轴于点 M,直线y=mx-2m(m<0)与该抛物线 x轴上方的部分交于点A,与l交于点 B,过点A 作AN⊥x轴,垂足为N,则下 列线段中,长度随线段ON 长度的增大 而增大的是 ( ) A.AN B.MN C.BM D.AB 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·04· 初高中衔接教材 5.定义新运算:对于任意实数m,n 都有 m☆n=m2-mn+n,等式右边是常用的 加法、减法、乘法及乘方运算.例 如: -3☆2=(-3)2-(-3)×2+2=17.根 据以上知识解决问题: (1)若x☆3=1,求x的值; (2)求抛物线y=(2-x)☆(-1)的顶点 坐标; (3)将(2)中的抛物线绕着原点旋转 180°,写出得到的新的抛物线解析式. 6.类比二次函数图象的平移,我们对反比 例函数的图象进行类似的变换. (1)将y= 1 x 的图象向右平移1个单位长 度,所得图象的函数解析式为 , 再向上平移1个单位长度,所得图象的 函数解析式为 . (2)函数y= x+1 x 的图象可由y= 1 x 的图 象向 平移 个单位长度 得到;y= x-1 x-2 的图象可由哪个反比例函 数的图象经过怎样的变换得到? (3)一般地,函数y= x+b x+a (ab≠0,且a≠b) 的图象可由哪个反比例函数的图象经过 怎样的变换得到? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·14· 第二部分 初中知识拓展精讲 5.解:(1)由表格中数据的变化趋势可知, ①当0≤x≤9时,y是x 的二次函数, ∵当x=0时,y=0, ∴二次函数的关系式可设为:y=ax2+bx, 由题意可得: a+b=170 9a+3b=450 , 解得: a=-10 b=180 , ∴二次函数关系式为:y=-10x2+180x; ②当9<x≤15时,y=810, ∴y与x 之间的函数关系式为: y= -10x2+180x(0≤x≤9) 810(9<x≤15) . (2)设第x 分钟时的排队人数为w 人, 由题意可得: w=y-40x= -10x2+140x(0≤x≤9) 810-40x(9<x≤15) , ①当0≤x≤9时,w=-10x2+140x =-10(x-7)2+490, ∴当x=7时,w 的最大值=490, ②当9<x≤15时,w=810-40x,w 随x 的增 大而减小, ∴210≤w<450, ∴排队人数最多时是490人, 要全部考生都完成体温检测, 根据题意得:810-40x=0, 解得:x=20.25, 答:排队人数最多时有490人,全部考生都完成 体温检测需要20.25分钟. 第5讲 函数图象的平移 【题型衔接】 [跟踪训练] 1.解:由题意知,△ABC 必为等腰直角三角形,设 平移后的抛物线为y=- 1 3x 2+k, 则C(0,k),A(-k,0),B(k,0), 将(k,0)代入抛物线方程得:0=-13k 2+k, ∴k=0(舍去)或k=3. 所以向上平移3个单位. 2.解:(1)由题意设函数的解析式为 y=a(x-3)2-2, 根据题意得9a-2=52 解得a=12 , 所以函数解析式是y= 1 2 (x-3)2-2. (2)因为a=12>0 ,所以抛物线开口向上, 又因为二次函数的对称轴是直线x=3. 所以当x>3时,y随x 增大而增大, 因为p>q>5>3, 所以m>n. 3.解:∵y=|x2-1|= x2-1,x2-1≥0, -(x2-1),x2-1<0, ∴先将y=x2 的图象向下平移1个单位长度, 得到y=x2-1的图象,再将y=x2-1的图象 在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴 上方即可,具体如图所示. 【衔接自测训练】 1.B 当x=1时,抛物线C1 的顶点坐标为(1,1) ∵C1 和Cn 的顶点的连线平行于直线y=10x, ∴设直线C1Cn 的解析式为y=10x+b,将点 C1 的坐标(1,1)代入,得10+b=1, 解得b=-9, ∴直线C1Cn 的解析式为y=10x-9, 将抛物线Cn 的顶点坐标为(n,n2)代入, 得n2=10n-9, 解得n=1(舍去)或n=9.故选B. 2.C ∵设抛物线的顶点M 的横坐标为m,且在 线段OA 上移动, ∴y=2m(0≤m≤2). ∴当抛物线运动到A 点时,顶点 M 的坐标为 (m,2m), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·401· 初高中衔接教材 ∴抛物线函数解析式为y=(x-m)2+2m. ∴当x=2时,y=(2-m)2+2m=m2-2m+4 (0≤m≤2), ∴点P 的坐标是(2,m2-2m+4). ∵对于二次函数y'=m2-2m+4=(m-1)2 +3 当0≤m≤2时, ∴m=1时,y'有最小值3, 当m=0或2时,y'的值为4, ∴点P 移动的路径长为2×(4-3)=2,故选C. 3.A 根据抛物线y=ax2-6ax-3开口向上可 知a>0,将抛物线配方为y=a(x-3)2-3- 9a,可得抛物线的对称轴为x=3,可知应选择 的y轴为直线m4;由顶点坐标为(3,-3-9a), 抛物线y=ax2-6ax-3与y 轴的交点为(0, -3),而-3-9a<-3,可知应选择的x 轴为直 线m1,故选A. 4.C 如图: 直线y=mx-2m(m<0)与x 轴交于(2,0) 当线段ON 长度增大时, 当直线y=mx-2m(m<0)与该抛物线交于对 称轴左侧时,MN,AB 逐渐变小; 如果交于对称轴右侧时,随着ON 的增大AN 逐渐变小; 只有BM 才会逐渐变大.故选C. 5.解:(1)根据题意得x2-3x+3=1, 移项、合并同类项,得x2-3x+2=0, 整理,得(x-1)(x-2)=0, 解得:x1=1或x2=2. (2)根据题意知, y=(2-x)2-(2-x)(-1)+(-1) 整理得:y=x2-5x+5=(x- 5 2 )2-54 所以顶点坐标(5 2 ,-54 ). (3)根据题意知,新的抛物线解析式为 y=-(-x- 5 2 )2+54=- (x+52 )2+54. 6.解:(1)y= 1 x-1 ,y= 1 x-1+1. (2)∵y= x+1 x = 1 x+1 , ∴y= x+1 x 的图象可由y= 1 x 的图象向上平移 1个单位长度得到. ∵y= x-1 x-2= x-2+1 x-2 =1+ 1 x-2 , ∴y= x-1 x-2 的图象可由y= 1 x 的图象向右平移 2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到. (3)∵y= x+b x+a= x+a+b-a x+a =1+ b-a x+a , ∴当a>0时,y= x+b x+a 的图象可由y= b-a x 的 图象向左平移a 个单位长度,再向上平移1个 单位长度得到; 当a<0时,y= x+b x+a 的图象可由y= b-a x 的图 象向右平移-a个单位长度,再向上平移1个单 位长度得到. 第三部分 高中知识初探析 第一章 集合 集合的基本关系 第1讲 集合的概念 【知识情境导学】 知识点一 情境1 提示 以上例子中指的都是“所有的”,即 某种研究对象的全体,研究对象可以是数、点、 代数式,也可以是现实生活中各种各样的事物 或人等. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·501· 参 考 答 案