第4讲 二次函数的再研究-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

第4讲 二次函数的再研究 [初中知识回顾] 二次函数的概念 一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是 常数,a≠0)的函数,叫作二次函数,其 中,x是自变量,a、b和c分别是函数解 析式的二次项系数、一次项系数和常 数项. 二次函数的表示方法 一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常 数,a≠0); 顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常 数,a≠0). 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常 数,a≠0)的图象为抛物线. 开口方向:a>0,开口向上;a<0,开口 向下. 对称轴:直线x=-b2a. 顶点:(-b2a ,4ac-b 2 4a ). [高中知识衔接] 二次函数的表示方法 交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0, x1,x2是抛物线与x 轴的两个交点的横 坐标). 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常 数,a≠0)的图象性质 与x 轴相交的情况:当Δ=b2-4ac>0 时,抛物线与x轴有两个交点,交点的横 坐标为方程ax2+bx+c=0的两个根; 当Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x 轴只 有一个交点,其横坐标为方程ax2+bx+ c=0的两个重根;当Δ=b2-4ac<0时, 抛物线与x轴不相交,方程ax2+bx+c =0无解. 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常 数,a≠0)的性质 定义域:R. 值域:当a>0时,值域为[4ac-b 2 4a ,+∞), 即y最小值= 4ac-b2 4a ; 当a<0时,值域为 (-∞,4ac-b 2 4a ], y最大值= 4ac-b2 4a . 函数值变化情况:当a>0时,在(-∞, -b2a )上,y 随x 的 增 大 而 减 小,在 (-b2a ,+∞)上,y 随x 的增大而增大; 当a<0时,在(-∞,-b2a )上,y随x的 增大而增大,在(-b2a ,+∞)上,y 随x 的 增大而减小. 画二次函数图象的方法 ①根据二次项系数a 的符号确定开口 方向; ②确定对称轴; ③确定与x轴、y轴的交点; ④画出图象. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·13· 第二部分 初中知识拓展精讲 衔接点一 二次函数的图象与性质 【例1】 在平面直角坐标系中,函数y=x2 -2bx+1(x≤b,b 是常数)的图象为 G1,函数y=-x2+4bx-9(x>b,b是 常数)的图象为G2.图象G1 和G2 组成 图象G. (1)当b=2时, ①求图象G 与x轴交点坐标. ②函数y随x的增大而减小时x的取值 范围为 . (2)当b>0时, ①G1最低点与G2 最高点的纵坐标的差 的绝对值为3时,求b的值. ②分别过点(0,1)、(0,-1)做x 轴的平 行线l1、l2,直接写出图象G 与l1、l2 有 四个公共点时,b的取值范围. 【解析】 (1)当b=2时, ①y=x2-4x+1=(x-2)2-3(x≤2), y=-x2+8x-9=-(x-4)2+7(x> 2), 当y=0时,x2-4x+1=0, 解得x=2+3(舍)或x=2-3, 当y=0时,-x2+8x-9=0, 解得x=4-7(舍)或x=4+7, ∴图象G 与x 轴交点坐标为(2- 3,0) 和(4+7,0), ②由图象知,函数y 随x 的增大而减小 时x的取值范围为x≤2或x≥4. (2)①当x=b时,y=-b2+1(x≤b), y=3b2-9(x>b), 当x=2b时,y=4b2-9(x>b), 根据题意得(4b2-9)-(-b2+1)=3, 解得b= 655 或b=- 655 (舍), (-b2+1)-(4b2-9)=3, 解得b= 355 或b=- 355 (舍), ∴b的值为 655 或 35 5 , ②由图象知,图象G与l1、l2有四个公共点 时,b 的取值范围为 2<b< 102 或b ≥ 303 . 【答案】 (1)x≤2或x≥4 (2)见解析 [跟踪训练] 1.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线 y=-x2+bx+c与x 轴分别交于A、B 两点,与y轴交于点C,连接AC、BC,其 中A(-2,0),C(0,6). (1)求抛物线的解析式; (2)点P 是直线BC 上方抛物线上一点, 过点P 作PE∥y 轴交BC 于点E,作 PF∥x轴交BC 于点F,求CF+BE 的 最小值以及此时点P 的坐标; (3)如图2,x 轴上有一点Q(-1,0),将 抛物线向x 轴正方向平移,使得抛物线 恰好经过点Q,得到新抛物线y1,点D 是新抛物线y1 与原抛物线的交点,点E 是新抛物线y1 上一动点,连接DQ,当 △DQE 是以DQ 为直角边的直角三角形 时,直接写出所有符合条件的点E 的 坐标. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·23· 初高中衔接教材 衔接点二 二次函数的解析式 【例2】 在平面直角坐标系xOy 中,点 P(m,y1)在二次函数y=x2+bx+c的 图象上,点Q(m,y2)在一次函数y=-x+ 1的图象上. (1)若二次函数图象经过点(0,1),(2,1). ①求二次函数的解析式与图象的顶点 坐标; ②当m>1时,请直接写出y1与y2的大 小关系; (2)若只有当m≥0时,满足y1·y2≤0, 请求出此时二次函数的解析式. 【解】 (1)①把(0,1),(2,1)代入y=x2 +bx+c,得c=1,4+2b+1=1, 解得b=-2, ∴二次函数的解析式为 y=x2-2x+1=(x-1)2, ∴顶点坐标(1,0); ②∵点P(m,y1)在二次函数 y=x2-2x+1上, ∴y1=(m-1)2, ∵点Q(m,y2)在一次函数y=-x+1 的图象上, ∴y2=-m+1, ∵y1-y2=(m-1)2-(-m+1) =m(m-1), ∵m>1,∴m-1>0,∴m(m-1)>0, ∴y1>y2. (2)∵点P(m,y1)在二次函数y=x2+ bx+c的图象上, ∴y1=m2+bm+c, ∵点Q(m,y2)在一次函数y=-x+1 的图象上, ∴y2=-m+1, ∴y1·y2=(m2+bm+c)·(-m+1), ∵m≥0时,满足y1·y2≤0, ①当0≤m≤1时,-m+1≥0, ∴m2+bm+c≤0, ②当m>1时,-m+1<0, ∴m2+bm+c>0, ∴y=x2+bx+c 的图象过(0,0),(1, 0), ∴ c=0 1+b+c=0 , ∴b=-1, ∴二次函数的解析式y=x2-x. [跟踪训练] 2.已知x 与y 之间的函数关系式为y= ax2+bx+1(其中a、b是常数),且有下 列对应关系: x 1 -2 y -1 17 (1)求y与x之间的函数关系式; (2)若点(3,n),点(m,n+10)均在抛物 线y=ax2+bx+1上,求m 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·33· 第二部分 初中知识拓展精讲 衔接点三 二次函数的实际应用 【例3】 某食品公司通过网络平台直播,对 其代理的某品牌瓜子进行促销,该公司 每天拿出2 000元现金,作为红包发给购 买者.已知该瓜子的成本价格为6元/kg, 每日销售y(kg)与销售单价x(元/kg)满 足关系式:y=kx+b,部分数据如表: 销售单价 x(元/kg) 1 2 … 10 每日销售 量(kg) 4 9004 800 … 4 000 经销售发现,销售单价不低于成本价格 且不高于30元/kg.设该食品公司销售 这种瓜子的日获利为w(元). (1)y与x的函数关系式是 , x的范围是 ;w 与x 的函 数关系式是 ; (2)当销售单价定为多少时,销售这种瓜 子日获利最大? 最大利润为多少元? (3)网络平台将向食品公司可收取a元/kg (a<4)的相关费用,若此时日获利的最 大值为42 100元,直接写出a的值. 【解析】 (1)由表中数据可得,当x=1 时,y=4 900,当x=2时,y=4 800, 代入y=kx+b得, k+b=4 900 2k+b=4 800 , 解得 k=-100 b=5 000 , ∴y与x的函数关系式是 y=-100x+5 000,且x>1; 由于销售单价不低于成本价格且不高于 30元/kg, 则w=(x-6)(-100x+5 000)-2 000 =-100x2+5 600x-32 000(6≤x≤30). (2)由(1)知,w=-100x2+5 600x- 32 000(6≤x≤30). ∵a=-100<0, ∴函数图象开口向下,有最大值, 函数图象的对称轴为x=-5 600 -200=28 , ∵6≤x≤30, ∴当x=28时,函数w有最大值,为46 400, ∴销售单价定为28元时,获利最大,为 46 400元. (3)收取a元后,利润为 w=(x-6-a)(-100x+5 000)-2 000 =-100x2+(5 600+100a)x-32 000 -5 000a, ∵a=-100<0, ∴函数图象开口向下,有最大值, 又函数图象的对称轴为 x=-5 600+100a 2×(-100)=28+ 1 2a , ∵a<4,∴当x=28+12a 时,获利最大 值为42 100元,将x=28+12a 代入得, (28+12a-6-a )[-100(28+12a )+ 5 000]-2 000=42 100, 解得a=2或a=86(舍), ∴a=2. 【答案】 (1)y=-100x+5 000 x>1 w=-100x2+5 600x-32 000(6≤x≤30) (2)见解析 (3)见解析 [跟踪训练] 3.今年某市疫情形势严峻,物资紧缺.为保 障物资供应,相关部门加强蔬菜抢种和 抢收力度,建议取消蔬菜采收后养地的 传统做法,采用采收后立即播种的新种 植方式.当季某种蔬菜的适宜生育温度 为15 ℃-30 ℃,在平均温度20 ℃时,传 统种植方式平均产量为2 500千克/亩, 采用新种植方式后,平均产量为a千克/ 亩.已知A 公司在郊区承包该种蔬菜种 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·43· 初高中衔接教材 植面积50亩,其中30亩采用新种植方 式,这50亩共采收蔬菜110 000千克. (1)平均温度20 ℃时,求该种蔬菜采用 新种植方式每亩的平均产量; (2)采用新种植方式的蔬菜原计划在5 月15日上市,为提前上市应对需求的激 增,A 公司启动大棚内智能化控温设备, 缩短蔬菜生长周期.经调查,当平均温度 超过20 ℃时,温度升高会导致蔬菜幼苗 成活率下降,每升高1 ℃,平均每亩产量 减少50千克;提前上市的天数y(天)与 温度t(℃)满足y=- 3 5t 2+30t-360 (20≤t≤30).为了确保蔬菜所需的供应 量,要求平均产量不低于1 600千克/亩, 判断这批蔬菜能否在5月1日上市? 并 说明理由. 1.如图,有一座抛物 线形状的拱桥,对 拱桥在水面以上的部分进行测量,得到 桥洞的跨度为12米,并且以桥洞拱顶为 坐标原点,水平向右为x轴正方向,竖直 向上为y 轴正方向,建立平面直角坐标 系,把测量得到的数据记入表: x(米) -6 -4 -2 0 2 4 6 y(米)-3.02-1.33-0.31 0 -0.32-1.33-2.99 (1)请在下面的坐标系中根据已知数据 描点,并用平滑的曲线连接; (2)请结合图象,写出拱桥的桥洞在拱顶 下方1米的位置宽度是 米(结果 精确到0.1); (3)现有一艘宽4米,高2米的游船要穿 过拱桥的桥洞.为保证安全,要求船顶到 竖直方向上拱桥桥洞对应点的距离不小 于0.5米,那么这艘船 (填“能” 或者“不能”)安全通过. 2.如图,抛物线y=ax2+bx-3交x 轴于 点A、B,交y 轴于点C,且A(-1,0), S△ABC= 21 2. (1)求抛物线的解析式; (2)点P 为抛物线第四象限上的点,连接 AP交y轴于点D,若点P的横坐标为m, CD 的长为d,用含m 的式子表示CD 的长; (3)在(2)的条件下,点E 在线段DP 上, EF∥y 轴交抛物线于点F,以AE 为斜 边在AP 的上方作等腰直角△AGE,延 长GE 交抛物线于点N,连接BF,若 AP⊥BF,EN=EG,求点P 的坐标. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·53· 第二部分 初中知识拓展精讲 3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y= 1 2x 2+bx+c与x轴交于A(-2,0),B(4, 0)两点,与y轴交于点C,连接AC、BC. (1)求抛物线的函数表达式; (2)点P 为直线BC 下方抛物线上一动 点,过P 作PD∥y轴交BC 于点D,过P 作PE∥AC 交BC 于点E,求DE 的最大 值及此时点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,把抛物线y= 1 2x 2+ bx+c沿射线AC 的方向平移5个单位, 得到新抛物线y',M 是新抛物线y'上一 点,N 是原抛物线对称轴上一点,当以 M、N、B、P 为顶点的四边形是平行四边 形时,请直接写出所有符合条件的N 点 的坐标. 4.规定:如果两个函 数图象上至少存在 一组点是关于原点 对称的,我们则称 这 两 个 函 数 互 为 “O—函数”.这组点 称为“XC 点”.例如:点P(1,1)在函数y =x2上,点Q(-1,-1)在函数y=-x -2上,点P 与点Q 关于原点对称,此时 函数y=x2 和y=-x-2互为“O—函 数”,点P 与点Q 则为一组“XC 点”. (1)已知函数y=-2x-1和y=- 6 x 互 为“O—函数”,请求出它们的“XC 点”; (2)已知函数y=x2+2x+4和y=4x +n-2 022互为“O—函数”,求n 的最 大值并写出“XC 点”; (3)已知二次函数y=ax2+bx+c(a> 0)与y=2bx+1互为“O—函数”有且仅 存在一组“XC 点”,如图,若二次函数的 顶点为M,与x轴交于A(x1,0),B(x2, 0)其中0<x1<x2,AB= c2-2c+6 c , 过顶点M 作x轴的平行线l,点P 在直 线l上,记P 的横坐标为-t,连接OP, AP,BP.若∠OPA=∠OBP,求t的最 小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·63· 初高中衔接教材 5.为了防控新冠疫情,某市计划在体育中 考时增设考生进入考点需进行体温检测 的措施.防疫部门为了解学生错峰进入 考点进行体温检测的情况,调查了一所 学校某天上午考生进入考点的累计人数 y(人)与时间x(分钟)的变化情况,数据 如下表:(表中9~15表示9<x≤15) 时间 x(分钟) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9~ 15 人数 y(人) 0 170320450560650720770800810810 (1)根据这15分钟内考生进入考点的累 计人数与时间的变化规律,利用初中所 学函数知识求出y 与x 之间的函数关 系式; (2)如果考生一进考点就开始测量体温, 体温检测点有2个,每个检测点每分钟 检测20人,考生排队测量体温,求排队 人数最多时有多少人? 全部考生都完成 体温检测需要多少时间? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第5讲 函数图象的平移 [初中知识回顾] 1.平移变换 (1)水平平移:函数y=f(x+a)的图象 可以通过函数y=f(x)的图象沿x轴方 向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个 单位长度得到; (2)竖直平移,函数y=f(x)+b的图象 可以通过函数y=f(x)的图象沿y轴方 向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个 单位长度得到. 2.对称变换 (1)函数y=f(-x)的图象可以通过函 数y=f(x)的图象关于y轴对称得到; (2)函数y=-f(x)的图象可以通过函 数y=f(x)的图象关于x轴对称得到; (3)函数y=-f(-x)的图象可以通过 函数y=f(x)的图象关于原点对称 得到. [高中知识衔接] 1.平移变换 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·73· 第二部分 初中知识拓展精讲 解得 k=-1 b=6 , ∴y=-x+6, ∴平移后的直线解析式为y=-x+6+n, 联立方程组 y=-x+6+n y= 2 x 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 整理得:x2-(6+n)x+2=0, ∴xM+xN=6+n,xM·xN=2, ∴1xM +1xN = xM+xN xN·xM =6+n2 , 联立方程组 y=2x-6 y=-x+6+n , 解得x=4+13n , ∴xT=4+ 1 3n , ∴9xT =9× 312+n= 27 12+n , ∵1xM +1xN =9xT , ∴6+n2 = 27 12+n , 解得n=-9+37或n=-9-37, ∵n是正实数, ∴不存在. 第4讲 二次函数的再研究 【题型衔接】 [跟踪训练] 1.解:(1)将A(-2,0),C(0,6) 代入y=-x2+bx+c, ∴ -4-2b+c=0 c=6 , 解得 b=1 c=6 , ∴y=-x2+x+6. (2)令y=0,则-x2+x+6=0, 解得x=3或x=-2, ∴B(3,0), 设直线BC 的的解析式为y=kx+b, ∴ 3k+b=0 b=6 , 解得 k=-2 b=6 , ∴直线BC 的解析式为y=-2x+6, 设P(m,-m2+m+6),则E(m,-2m+6), ∴PE=-m2+3m, ∵PE∥y轴,PF∥x 轴, ∴∠PFE=∠CBO,∠PEF=∠BCO, ∴△PEF∽△OCB, ∴PF∶PE∶FE=OB∶OC∶BC=1∶2 ∶5, ∴EF=PE× 52= 5 2 (-m2+3m), ∵BE+CF=CB-EF=35- 52 (-m2+ 3m) = 52 (m-32 )2+1558 , ∴当m=32 时,BE+CF 有最小值1558 , 此时P(32 ,21 4 ). (3)∵y=-x2+x+6=-(x- 1 2 )2+254 , 设平移后的抛物线解析式为 y=-(x- 1 2-t )2+254 , ∵平移后抛物线经过Q(-1,0), ∴-(-1-12-t )2+254=0 , 解得t=1或t=-4(舍), ∴平移后的抛物线解析式为 y=-(x- 3 2 )2+254 , 联立方程组 y=-x2+x+6 y=-x2+3x+4 , 解得 x=1 y=6 , ∴D(1,6), 设E(n,-n2+3n+4), ∴DQ2=40,DE2=(n-1)2+(-n2+3n-2)2, QE2=(n+1)2+(-n2+3n+4)2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·99· 参 考 答 案 ①当EQ2=DE2+DQ2 时,(n+1)2+(-n2+ 3n+4)2=(n-1)2+(-n2+3n-2)2+40, 解得n=1(舍)或n=73 , ∴E(73 ,50 9 ); ②当ED2=EQ2+DQ2 时,(n-1)2+(-n2+ 3n-2)2=40+(n+1)2+(-n2+3n+4)2, 解得n=-1(舍)或n=133 , ∴E(133 ,-169 ); 综上所述:E 点坐标为(73 ,50 9 )或(13 3 ,-169 ). 2.解:(1)由题意得 a+b+1=-1 4a-2b+1=17 , 解得 a=2 b=-4 , ∴y 与x 之间的函数关系式为y=2x2-4x +1. (2)∵点(3,n)在抛物线y=2x2-4x+1上, ∴n=2×32-4×3+1=7, ∴n+10=17, ∵点(m,n+10)在抛物线y=2x2-4x+1上, ∴17=2m2-4m+1, ∴m1=4或m2=-2. 3.解:(1)根据题意得: 30a+(50-30)×2 500=110 000, 解得a=2 000, 答:平均温度20 ℃时,该种蔬菜采用新种植方 式每亩的平均产量是2 000千克. (2)能.理由:∵每升高1 ℃,平均每亩产量减少 50千克,要求平均产量不低于1 600千克/亩, ∴2 000-50(t-20)≥1 600, 解得t≤28, ∵y=- 3 5t 2+30t-360=-35 (t-25)2+15, ∴当t=25时,y取最大值15, 而25<28, ∴这批蔬菜可提前15天上市,即这批蔬菜能在 5月1日上市. 【衔接自测训练】 1.解析:(1)用描点法作图如下: (2)由图象可得,拱桥的桥洞在拱顶下方1米的 位置宽度是6.8米. (3)由表中数据知当x=±2时,y=-0.32, 当x=±6时,y=-2.99, -0.32-(-2.99)=-0.32+2.99=2.67, ∵2.67-2=0.67>0.5, ∴这艘船能安全通过. 答案:(1)见解析图 (2)6.8 (3)能 2.解:(1)由题意得, 1 2AB ·OC=213 , ∵C(0,-3), ∴OC=3, ∴12×3 ·AB=212 , ∴AB=7, ∵点A(-1,0), ∴OA=1, ∴OB=AB-OA=6, ∴点B(6,0), 设抛物线的解析式为:y=a(x+1)·(x-6), ∴a(0+1)·(0-6)=-3, ∴a=12 , ∴y= 1 2 (x+1)·(x-6)=12x 2-52x-3. (2)如图1, 作PE⊥AB 于E, ∵OD⊥AB, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·001· 初高中衔接教材 ∴OD∥PE, ∴△AOD∽△AEP, ∴ODPE= OA AE , ∵OA=1,AE=m+1, PE=-12 (m+1)·(m-6), ∴ OD -12 (m+1)·(m-6) = 1m+1 , ∴OD=-12m+3 , ∴CD=OC-OD=3-(-12m+3 )=12m , ∴d=-12m. (3)如图2, EF 的延长线交点x 轴于H,作GQ⊥EF 交FE 的延长线于Q,作AR⊥GQ 交QG 的延长线于 R,设点E(e,f), ∵EF∥y轴, ∴∠AHE=∠BHF=∠BOC=90°, ∵BF⊥AP, ∴∠EPF=90°, ∴∠EPF=∠AHE=90°, ∵∠PEF=∠AEH, ∴∠BFH=∠HAE, ∴△AHE∽△FHB, ∴HEBH= AH FH , ∵HE=-f,BH=6-e,AH=e+1, FH=-12 (e+1)·(e-6), ∴-f6-e= e+1 -12 (e+1)·(e-6) , ∴f=-2, ∵∠AGE=90°, ∴∠AGR+∠EGQ=90°, ∵∠R=∠Q=90°, ∴∠AGR+∠GAR=90°, ∴∠GAR=∠EGQ, ∵AG=EG, ∴△AGR≌△GEQ(AAS), ∴RG=EQ,AR=GQ,设G(g,h), ∴g+1=h+2,e-g=h, ∴g= e+1 2 ,h=e-12 , ∴G(e+12 ,e-1 2 ), ∵2e-e+12 = 3e-1 2 ,-2-e-12 = -e-3 2 , ∴N(3e-12 ,-e-7 2 ), ∴12 ·(3e-1 2 )2-52 ·3e-1 2 -3= -e-7 2 , ∴e1= 5 9 ,e2=3, 当e=59 时,点E(59 ,-2), 此时直线AP 的解析式为:y=- 9 7x- 9 7 , 由1 2x 2-52x-3=- 9 7x- 9 7 得, x1=-1,x2= 24 7 , 当x=247 时,y=- 9 7× 24 7- 9 7=- 279 49 , ∴P1( 24 7 ,-27949 ), 当e=3时,直线AP 的解析式为: y=- 1 2x- 1 2 , 由1 2x 2-52x-3=- 1 2x- 1 2 得, x3=-1,x4=5, 当x=5时,y=- 1 2×5- 1 2=-3 , ∴P2(5,-3), 综上所述:P(247 ,-27949 )或(5,-3). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·101· 参 考 答 案 3.解:(1)将A(-2,0),B(4,0) 代入y= 1 2x 2+bx+c, 得 2-2b+c=0 8+4b+c=0 , 解得 b=-1 c=-4 , ∴抛物线的函数表达式为y= 1 2x 2-x-4. (2)抛物线y= 1 2x 2-x-4, 当x=0时,y=-4, ∴C(0,-4), 设直线BC 的函数表达式为y=kx-4, 则4k-4=0, 解得k=1, ∴直线BC 的函数表达式为y=x-4, 如图,过点E 作EF⊥PD 交PD 于点F, ∵OC=OB=4, ∴△OBC 为等腰直角三角形, ∴∠OCB=45°, ∵PD∥y轴, ∴∠CDP=∠OCB=45°, ∵EF⊥PD, ∴∠DEF=180°-∠DFE-∠EDF=45°, ∴△DEF 为等腰直角三角形, ∵PE∥AC,∠ACB = ∠ACO + ∠OCB = ∠ACO+45°,∠CEP=∠EDP+∠EPD=45° +∠EPD, ∴∠ACB=∠CEP, ∴∠ACO+45°=45°+∠EPD, ∴∠ACO=∠EPD, ∴tan∠EPD=tan∠ACO=OAOC =24= 1 2= EF PF , ∴PF=2EF=2DF, ∴DE=EF÷sin 45°=2EF= 23PD , 当PD 最大时,DE 最大, 设P(m,12m 2-m-4),则D(m,m-4), ∴PD=m-4-12m 2+m+4=-12m 2+2m =-12 (m-2)2+2, ∴当m=2时,PD最大=2, ∴DE 最大值为 23PD最大= 22 3 , 此时点P 的坐标为(2,-4). (3)Rt△AOC 中,AC∶AO∶OC=25∶2∶4 =5∶1∶2, ∴把抛物线y= 1 2x 2-x-4=12 (x-1)2-92 沿射线AC 的方向平移 5个单位,就是向右平 移1个单位,再向下平移2个单位,得到的新抛 物线为 y'= 1 2 (x-2)2-132= 1 2x 2-2x-92 , ∵点P(2,-4),点B(4,0),点N 在原抛物线 的对称轴上,点M 在新抛物线上, 设N(1,n)、M(a,12a 2-2a-92 ), 分以下三种情况, ①平行四边形为以BP 为对角线的平行四边形 PMBN 时, P、M、B、N 四点横坐标满足1+a=2+4, ∴a=5,∴M(5,-2), ∴P、B、N、M 四点纵坐标满足n-2=0-4, ∴n=-2, ∴N 点的坐标为(1,-2); 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·201· 初高中衔接教材 ②平行四边形为以BM 为对角线的平行四边形 PMNB 时, P、M、B、N 四点横坐标满足a+4=1+2, ∴a=-1, ∴M(-1,-2), P、B、N、M 四点纵坐标满足n-4=0-2, ∴n=2, ∴N 点的坐标为(1,2); ③平行四边形为以BN 为对角线的平行四边形 PNBM 时, P、M、B、N 四点横坐标满足a+2=1+4, ∴a=3, ∴M(3,-6), P、B、N、M 四点纵坐标满足n+0=-6-4, ∴n=-10, ∴N 点的坐标为(1,-10); 综上所述,当以M、N、B、P 为顶点的四边形是 平行四边形时,所有符合条件的N 点的坐标为 (1,-2)或(1,2)或(1,-10). 4.解:(1)设P(a,b)在y=-2x-1上, 则Q(-a,-b)在y=- 6 x 上, ∴ -2a-1=b b=-6a 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 解得 a=-2 b=3 或 a= 3 2 b=-4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , ∴“XC 点”为(-2,3)与(2,-3)或(32 ,-4)与 (-32 ,4). (2)设P(s,t)在y=x2+2x+4上, 则Q(-s,-t)在y=4x+n-2 022上, ∴ s2+2s+4=t -4s+n-2 022=-t , ∴n=-t+4s+2 022=-s2+2s+2 018 =-(s-1)2+2 019, 当s=1时,n有最大值2 019, 此时“XC 点”为(1,7)与(-1,-7). (3)设P(x,y)在y=ax2+bx+c上, 则Q(-x,-y)在y=2bx+1上, ∴ y=ax2+bx+c -y=-2bx+1 , 整理得ax2-bx+c+1=0, ∵有且仅存在一组“XC 点”, ∴Δ=b2-4a(c+1)=0,即4ac-b 2 4a =-1 , ∴顶点M 的纵坐标为-1, ∵ax2+bx+c=0, ∴x1+x2=- b a ,x1·x2= c a , ∴AB= (x1+x2)2-4x1x2= 2 a , ∵AB= c 2-2c+6 c , ∴ c 2-2c+6 c = 2 a , ∴ca= c2-2c+6 4 , ∵∠OPA=∠OBP,∠AOP=∠POB, ∴△POA∽△BOP, ∴OP2=OB·OA=x1·x2, ∵P 的横坐标为-t,∴P(-t,-1), ∴t+1=ca= c2-2c+6 4 = 1 4 (c-1)2+54 , ∴当c=1时,t有最小值14. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·301· 参 考 答 案 5.解:(1)由表格中数据的变化趋势可知, ①当0≤x≤9时,y是x 的二次函数, ∵当x=0时,y=0, ∴二次函数的关系式可设为:y=ax2+bx, 由题意可得: a+b=170 9a+3b=450 , 解得: a=-10 b=180 , ∴二次函数关系式为:y=-10x2+180x; ②当9<x≤15时,y=810, ∴y与x 之间的函数关系式为: y= -10x2+180x(0≤x≤9) 810(9<x≤15) . (2)设第x 分钟时的排队人数为w 人, 由题意可得: w=y-40x= -10x2+140x(0≤x≤9) 810-40x(9<x≤15) , ①当0≤x≤9时,w=-10x2+140x =-10(x-7)2+490, ∴当x=7时,w 的最大值=490, ②当9<x≤15时,w=810-40x,w 随x 的增 大而减小, ∴210≤w<450, ∴排队人数最多时是490人, 要全部考生都完成体温检测, 根据题意得:810-40x=0, 解得:x=20.25, 答:排队人数最多时有490人,全部考生都完成 体温检测需要20.25分钟. 第5讲 函数图象的平移 【题型衔接】 [跟踪训练] 1.解:由题意知,△ABC 必为等腰直角三角形,设 平移后的抛物线为y=- 1 3x 2+k, 则C(0,k),A(-k,0),B(k,0), 将(k,0)代入抛物线方程得:0=-13k 2+k, ∴k=0(舍去)或k=3. 所以向上平移3个单位. 2.解:(1)由题意设函数的解析式为 y=a(x-3)2-2, 根据题意得9a-2=52 解得a=12 , 所以函数解析式是y= 1 2 (x-3)2-2. (2)因为a=12>0 ,所以抛物线开口向上, 又因为二次函数的对称轴是直线x=3. 所以当x>3时,y随x 增大而增大, 因为p>q>5>3, 所以m>n. 3.解:∵y=|x2-1|= x2-1,x2-1≥0, -(x2-1),x2-1<0, ∴先将y=x2 的图象向下平移1个单位长度, 得到y=x2-1的图象,再将y=x2-1的图象 在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴 上方即可,具体如图所示. 【衔接自测训练】 1.B 当x=1时,抛物线C1 的顶点坐标为(1,1) ∵C1 和Cn 的顶点的连线平行于直线y=10x, ∴设直线C1Cn 的解析式为y=10x+b,将点 C1 的坐标(1,1)代入,得10+b=1, 解得b=-9, ∴直线C1Cn 的解析式为y=10x-9, 将抛物线Cn 的顶点坐标为(n,n2)代入, 得n2=10n-9, 解得n=1(舍去)或n=9.故选B. 2.C ∵设抛物线的顶点M 的横坐标为m,且在 线段OA 上移动, ∴y=2m(0≤m≤2). ∴当抛物线运动到A 点时,顶点 M 的坐标为 (m,2m), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·401· 初高中衔接教材