第3讲 一次函数与反比例函数-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

6.2022年北京冬奥会是我国又一次举办的 大型国际奥林匹克运动盛会.为了增加 学生对冬奥会相关知识的了解,某校开 展“冬奥会知识竞赛”活动并计划购买大 小两种型号的吉祥物玩偶作为奖品,已 知大型号的单价比小型号的单价多16 元,且学校用1 950元购买小型号玩偶的 数量是用1 050元购买大型号玩偶数量 的三倍. (1)求两种型号玩偶的单价; (2)为了让更多同学参与竞赛活动,学校 决定购进这两种型号吉祥物玩偶共200 个,但总费用不超过7 120元,求最多可 购买大型号吉祥物玩偶的个数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第3讲 一次函数与反比例函数 [初中知识回顾] 正比例函数 一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的 函数,叫作正比例函数,其中k叫作比例 系数. 一般地,正比例函数y=kx(k 是常数, k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我 们称它为直线y=kx. 一次函数 一般地,形如y=kx+b(k,b 是常数, k≠0)的函数,叫作一次函数.当b=0 时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例 函数是一种特殊的一次函数. 反比例函数 概念:一般地,如果两个变量x,y之间 的对应关系可以表示成y= k x (k为常 数,k≠0)的形式,那么称y 是x 的反 比例函数.反比例函数的自变量x 不 能为零. 图象: [高中知识衔接] 一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0) 的图象及性质: (1)k的正、负决定直线的倾斜方向. ①k>0时,y随x的增大而增大; ②k<0时,y随x的增大而减小. (2)|k|的大小决定直线的倾斜程度,即 |k|越大,直线与x轴相交的锐角度数越 大;|k|越小,直线与x 轴相交的锐角度 数越小. (3)b的正、负决定直线与y轴交点的位置. ①当b>0时,直线与y 轴交于正半 轴上; ②当b<0时,直线与y 轴交于负半 轴上; ③当b=0时,直线经过原点,此时函数 是正比例函数. (4)由于k,b的符号不同,所以直线所经 过的象限也不同. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·72· 第二部分 初中知识拓展精讲 反比例函数y= k x (k为常数,k≠0)的图 象及性质: (1)当k>0时,图象在第一、第三象限, 当x>0时,y 随x 的增大而减小,当x <0时,y随x的增大而减小; 当k<0时,图象在第二、第四象限,当 x>0时,y 随x 的增大而增大,当x<0 时,y随x的增大而增大. (2)图象的两个分支无限接近x 轴和 y轴,但永远不会与x 轴和y 轴相交,我 们把x 轴和y 轴称为双曲线y= k x (k≠0)的渐近线. (3)双曲线y= k x (k≠0)经过点(x,y)和点 (-x,-y),而点(x,y)和点(-x,-y) 关于原点对称,因此,双曲线y= k x (k≠ 0)的图象是以原点为对称中心的中心对 称图形.若正比例函数y=mx 的图象与 反比例函数y= k x (k≠0)的图象交于A, B 两点,则A,B 两点关于原点对称. (4)反比例函数的图象是轴对称图形,其 对称轴为直线y=x或直线y=-x. 衔接点一 正比例函数 【例1】 若y=(m-1)x+m2-1是y 关 于x的正比例函数,如果A(1,a)和B(- 1,b)在该函数的图象上,那么a和b的大 小关系是 ( ) A.a<b B.a>b C.a≤b D.a≥b 【解析】 ∵y=(m-1)x+m2-1是y 关于x的正比例函数, ∴ m-1≠0 m2-1=0 ,解得m=-1, ∴m-1=-1-1=-2<0, ∴y随x的增大而减小. 又∵A(1,a)和B(-1,b)在函数y= (m-1)x+m2-1的图象上,且1>-1, ∴a<b.故选A. 【答案】 A [跟踪训练] 1.若正比例函数的图象经过不同象限的两 点A(a,2)和B(3,b),则一次函数y= ax+b的图象所经过的象限是 ( ) A.一、二、三 B.二、三、四 C.一、二、四 D.一、三、四 衔接点二 一次函数 【例2】 把直线y=-x+4向下平移n个 单位长度后,与直线y=2x-4的交点在 第四象限,则n的取值范围是 ( ) A.2<n<8 B.4<n<6 C.n>8 D.n<6 【解析】 把直线y=-x+4向下平移n 个单位长度所得直线解析式为y=-x+ 4-n, 由 y=2x-4 y=-x+4-n ,得 x=8-n3 y= 4-2n 3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 , ∵平移后的直线y=-x+4-n 与直线 y=2x-4交点在第四象限, ∴ 8-n 3 >0 4-2n 3 <0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得2<n<8,故选A. 【答案】 A [跟踪训练] 2.直线l:y= 1 2x-1 分别交x 轴,y 轴于 A,B 两点, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·82· 初高中衔接教材 (1)求线段AB 的长; (2)如图,将l沿x 轴 正方向平移,分别交 x轴,y 轴于E,F 两 点,分别过点A、点B 向EF 作垂线,垂足 分别为点D、点C,若线段CD 是CF 和 DE 的比例中项,求此时E 点坐标. 衔接点三 反比例函数 【例3】 如图,反比例函数y= 4 x (x>0)的 图象上有一点P,PA⊥x轴于点A,点B 在y轴上,则△PAB 的面积为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】 设P(x,y), ∵点P 在反比例函数y=- 4 x 的图象上, ∴xy=-4. ∵PA⊥x轴, ∴S△PAB= 1 2|xy|= 1 2×4=2. 故选B. 【答案】 B 1.已知正比例函数y=(2m-6)x 的图 象上一点(x0,y0),且 x0 y0 <0,则m 的 取值范围是 ( ) A.m>3 B.m>13 C.m<13 D.m<3 2.如 图,点 A 坐 标 为 (10,0),直线y= 1 3 x与函数y= k x (x> 0)的图象交于点B,连接AB,过点B 作 BC⊥x轴于点C,当AB+BC 的值为最 小时,则k的值为 ( ) A.1615 B. 1610 15 C.3215 D. 3210 15 3.已知原点O 为▱ABCD 对角线AC 的中 点,AB∥x 轴,若点A 在反比例函数y= k1 x (k1>0)图象上,点B 在反比例函数y = k2 x (k2<0)图象上,则以下说法一定正 确的是 . ①点C 在反比例函数y= k1 x 图象上; ②S△OAB= |k1|+|k2| 2 ; ③若▱ABCD 为矩形,则k1+k2=0; ④若▱ABCD 为菱形,∠BAD=60°,则 k1=-3k2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·92· 第二部分 初中知识拓展精讲 4.如图,直线l1 与反比例函数y= 3 x (x> 0)的图象相交于A,B 两点,线段AB 的 中点为点C,过点C 作CD⊥x 轴于点 D.直线l2过原点O 和点C.若直线l2上 存 在 点 P (m,n),满 足 ∠APB = ∠ADB,则m+n的值为 . 5.如图,一次函数y=kx+b的图象是由 y=2x的图象向下平移3个单位长度得 到,一次函数y=kx+b与反比例函数 y= m x 的图象交于A,B 两点,与x 轴、y 轴分别交于点C,D,且ACCD= 2 3. (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)点E 在x 轴上,连接 AE,BE,若 △ABE 的面积为7,求E 点坐标. 6.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x -6与x轴交于点B,与y 轴交于点A, 与双曲线y= a x (x>0)交于点C(4,b), 点P 是双曲线上的动点,横坐标为m(0 <m<4),作PQ∥y 轴交直线AB 于点 Q,连接PO、QO. (1)求a、b的值; (2)求△OPQ 的面积S与m 的函数关系 式,并求S的最大值; (3)当四边形AOPQ 为平行四边形时,连 接PC,并将直线PC 向上平移n个单位 后与反比例函数y= m x (x>0)的图象交 于M、N 两点,与直线AB 交于点T,设 M、N、T 三点的横坐标分别为xM、xN、 xT,是否存在正实数n 使得等式 1 xM + 1 xN =9xT 成立,如果存在,求出n的值,如 果不存在,请说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·03· 初高中衔接教材 系数化为1得:x=-1. 经检验,x=-1是原方程的解. 3.解:设 x2+2x+5=y, 则x2+2x=y2-5, 则原式即:y2-y-2=0, 解得:y1=2,y2=-1(舍去), 则x2+2x=4-5, 即(x+1)2=0, 解得x1=x2=-1. 4.解析:(1)∵AG=3+2=5,GD=12, ∴AD= 52+122=13, ∴ x2+32+ (12-x)2+22的最小值是13. (2)如下图,AC=4,DF=2,CF=10, ∴AG=4+2=6,GD=10, ∴AD= 62+102=2 34, ∴ x2+16 + (10-x)2+4 的 最 小 值 是 2 34. (3)如 下 图,构 造△ABC,CD ⊥AB 于 D, AC=3,BC=4, 设CD=x,则AD= 9-x2,BD= 16-x2, ∴AB= 9-x2+ 16-x2=5, ∵32+42=52, ∴∠ACB=90°, ∴12×3×4= 1 2×5×x , ∴x=2.4, 另外,x=-2.4也满足方程, ∴方程的解是x=±2.4. 答案:(1)13 (2)见解析 (3)见解析 5.解析:(1)由题意可知, a=x1x2, b=x1+x2, ∴a=-12,b=1. (2)由2x+ (n+3)(n-4) 2x+1 =2n-2 , 得2x+1+ (n+3)(n-4) 2x+1 = (n+3)+(n-4), 令2x+1=t, ∴t1=n+3,t2=n-4, 又∵x1<x2, ∴x1= 1 2 (n-5),x2= 1 2 (n+2), ∴ x1+4 2x2+1 = 1 2 (n+3) n+3 = 1 2. 答案:(1)-12 1 (2)见解析 6.解:(1)设小型号玩偶的单价为x 元,则大型号 玩偶的单价为(x+16)元, 根据题意得:1 950 x = 1 050 x+16×3 , 解得:x=26, 经检验,x=26是原分式方程的解,且符合 题意, 则x+16=42, 答:小型号玩偶的单价为26元,大型号玩偶的 单价为42元. (2)设购买大型号吉祥物玩偶m 个, 根据题意得:42m+26(200-m)≤7 120, 解得:m≤120, 答:最多可购买大型号吉祥物玩偶120个. 第3讲 一次函数与反比例函数 【题型衔接】 [跟踪训练] 1.B ∵正比例函数的图象经过不同象限的两点 A(a,2)和(3,b), ∴a<0,b<0, ∴一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四 象限.故选B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·59· 参 考 答 案 2.解:(1)令x=0,则y=-1, ∴B(0,-1), 令y=0,则x=2, ∴A(2,0), ∴AB= 12+22=5. (2)∵BC⊥EF,AD⊥EF, ∴∠BCF=∠EDA=∠AOB=90°, ∴AD∥BC,∠DAE=∠BFC, ∴四边形ABCD 是矩形,△ADE∽△FCB, ∴AD∶CF=DE∶BC,AD=BC, ∴BC2=CF·DE, ∵CD2=CF·DE, ∴BC=CD, ∴四边形ABCD 是正方形, 过点C 作CG⊥OF 于G, ∵∠ABC=∠CGB=∠AOB=90°, ∴∠CBG=∠BAO, ∵AB=BC, ∴△AOB≌△BGC(AAS), ∴CG=OB=1,BG=OA=2, ∴C(1,-3), 过点D 作DH⊥AE 于H, 同理可得,D(3,-2), 设EF:y=kx+b, 将C(1,-3),D(3,-2)代入y=kx+b中, 得 k+b=-3 3k+b=-2 ,解得 k=12 b=-72 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 , ∴直线EF 的解析式为y= 1 2x- 7 2. 令y=0,则y= 1 2x- 7 2=0 , 解得:x=7, ∴E(7,0). 【衔接自测训练】 1.D ∵正比例函数y=(2m-6)x 的图象上一点 (x0,y0),且 x0 y0 <0,∴2m-6<0,∴m<3.故 选D. 2.C 在第一象限内作射线OM,使得OB 平分 ∠AOM,过B 作BD⊥OM 于点D,连接AD, 则BC=BD, ∴AB+BC=AB+BD≥AD, 当点A、B、D 三点依次在同一直线上,且AD⊥ OM 时,AB+BC=AB+BD=AD 的值最小, ∵直线OB 的解析式为:y= 1 3x , ∴可设此时B(b,13b ), 则BC=BD=13b ,OC=b, ∵A(10,0), ∴AC= 10-b, AB= BC2+AC2= 109b 2+10-2 10b, ∵∠ACB=∠ADO=90°,∠BAC=∠OAD, ∴△ABC∽△AOD, ∴ACAD= AB AO ,即 10-b 10 9b 2+10-2 10b+13b = 10 9b 2+10-2 10b 10 , 整理得5b2-9 10b+40=0, 解得b= 10(舍)或b=4 105 , ∴B(4 105 ,4 10 15 ), 把B(4 105 ,4 10 15 )代入y= k x , 得k=3215. 故选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·69· 初高中衔接教材 3.解析:①设点A 的坐标为(m,n), 则点C(-m,-n), 将点A 的坐标代入y= k1 x 得:mn=k1, 而-m(-n)=mn=k1, 所以点C 在反比例函数y= k1 x 图象上,故①正 确,符合题意; ②设点A 的坐标为(m, k1 m ), 则点B 的坐标为( mk2 k1 ,k1 m ), 则S△AOB= 1 2×AB×yA= 1 2 (m- mk2 k1 )× k1 m = k1-k2 2 = |k1|+|k2| 2 , 故②正确,符合题意; ③设点A 的坐标为(m, k1 m ), 则点B 的坐标为( mk2 k1 ,k1 m ), ∵▱ABCD 为矩形,则xA=-xB, 即m=- mk2 k1 , 则k1+k2=0,故③正确,符合题意; ④设点A 的坐标为(m, k1 m ), 则点B 的坐标为( mk2 k1 ,k1 m ), ∵▱ABCD 为菱形,∠BAD=60°, ∴△ABD 为正三角形, 设AB 交y轴于点N, 则在Rt△ONA 中,∠NOA=60°, 则tan∠NOA=ANON=3 , ∴AN=3ON,即m= 3k1 m ; 同理:ON=3BN,即 k1 m=3× m·|k2| k1 , 联立上述两式并整理得:k1=-3k2. 故④正确,符合题意. 答案:①②③④ 4.解析:如图,作△ABD 的外接圆,交直线l2 于 P,连 接 AP,PB,则∠APB=∠ADB 满 足 条件. 由题意得A(1,3),B(3,1), ∵AC=BC, ∴C(2,2), ∵CD⊥x 轴, ∴D(2,0), ∵AD= 12+32= 10,AB= 22+22=22, BD= 12+12=2, ∴AD2=AB2+BD2, ∴△ABD 是直角三角形, ∴BD⊥AB, ∵OC⊥AB,∴OC∥BD, ∵AC=CB, ∴AF=FD, ∴F 是AD 的中点,F(32 ,3 2 ), ∵直线OC 的解析式为y=x, ∴m=n, ∵PF=FA= 102 ,OF=322 , ∴OP=322 - 10 2 , ∴m=32- 5 2 , ∴m=n=32- 5 2 , ∴m+n=3-5,此时P(32- 5 2 ,3 2- 5 2 ), 根据对称性可知,点P 关于点C 的对称点 P'(52+ 5 2 ,5 2+ 5 2 ), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·79· 参 考 答 案 ∴m+n=5+5, 综上所述,m+n的值为5+5或3-5. 答案:5+5或3-5 5.解:(1)∵一次函数y=kx+b的图象由正比例 函数y=2x 的图象向下平移3个单位长度 得到, ∴一次函数表达式为:y=2x-3, 令x=0,则y=-3, ∴D(0,-3), 过点A 作AH⊥x 轴于H, ∵ACCD= 2 3 , ∴AH=2,∴A(52 ,2), ∵反比例函数y= m x 的图象经过点A(52 ,2), ∴m=52×2=5 , ∴反比例函数表达式为y= 5 x. (2)∵ y=2x-3 y= 5 x , 解得: x1=-1 y1=-5 ,x2= 5 2 y2=2 , ∴B(-1,-5), 当y=0时,2x-3=0, ∴x=32 , ∴C(32 ,0), ∵△ABE 的面积为7, ∴S△ACE+S△BCE= 1 2 ·2·CE+12 ·5·CE =7, ∴CE=2, ∵点E 在x 轴上, ∴E(3.5,0)或(-0.5,0). 6.解:(1)∵C(4,b)在直线y=2x-6上, ∴b=2, ∴C(4,2), 将C 点代入y= a x , ∴a=8. (2)∵P 点横坐标为m, ∴P(m,8m ), ∵PQ∥y轴, ∴Q(m,2m-6), ∴PQ=8m-2m+6 , ∴S=12× (8 m-2m+6 )×m =-m2+3m+4=-(m-32 )2+254 , ∴当m=32 时,S 有最大值254. (3)不存在正实数n 使得等式1xM +1xN =9xT 成 立,理由如下: ∵四边形AOPQ 为平行四边形, ∴OA=PQ, 令x=0,则y=-6, ∴A(0,-6), ∴OA=6, ∴8m-2m+6=6 , 解得m=2或m=-2, ∵0<m<4, ∴m=2, ∴P(2,4), 设直线PC 的解析式为y=kx+b, ∴ 2k+b=4 4k+b=2 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·89· 初高中衔接教材 解得 k=-1 b=6 , ∴y=-x+6, ∴平移后的直线解析式为y=-x+6+n, 联立方程组 y=-x+6+n y= 2 x 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 整理得:x2-(6+n)x+2=0, ∴xM+xN=6+n,xM·xN=2, ∴1xM +1xN = xM+xN xN·xM =6+n2 , 联立方程组 y=2x-6 y=-x+6+n , 解得x=4+13n , ∴xT=4+ 1 3n , ∴9xT =9× 312+n= 27 12+n , ∵1xM +1xN =9xT , ∴6+n2 = 27 12+n , 解得n=-9+37或n=-9-37, ∵n是正实数, ∴不存在. 第4讲 二次函数的再研究 【题型衔接】 [跟踪训练] 1.解:(1)将A(-2,0),C(0,6) 代入y=-x2+bx+c, ∴ -4-2b+c=0 c=6 , 解得 b=1 c=6 , ∴y=-x2+x+6. (2)令y=0,则-x2+x+6=0, 解得x=3或x=-2, ∴B(3,0), 设直线BC 的的解析式为y=kx+b, ∴ 3k+b=0 b=6 , 解得 k=-2 b=6 , ∴直线BC 的解析式为y=-2x+6, 设P(m,-m2+m+6),则E(m,-2m+6), ∴PE=-m2+3m, ∵PE∥y轴,PF∥x 轴, ∴∠PFE=∠CBO,∠PEF=∠BCO, ∴△PEF∽△OCB, ∴PF∶PE∶FE=OB∶OC∶BC=1∶2 ∶5, ∴EF=PE× 52= 5 2 (-m2+3m), ∵BE+CF=CB-EF=35- 52 (-m2+ 3m) = 52 (m-32 )2+1558 , ∴当m=32 时,BE+CF 有最小值1558 , 此时P(32 ,21 4 ). (3)∵y=-x2+x+6=-(x- 1 2 )2+254 , 设平移后的抛物线解析式为 y=-(x- 1 2-t )2+254 , ∵平移后抛物线经过Q(-1,0), ∴-(-1-12-t )2+254=0 , 解得t=1或t=-4(舍), ∴平移后的抛物线解析式为 y=-(x- 3 2 )2+254 , 联立方程组 y=-x2+x+6 y=-x2+3x+4 , 解得 x=1 y=6 , ∴D(1,6), 设E(n,-n2+3n+4), ∴DQ2=40,DE2=(n-1)2+(-n2+3n-2)2, QE2=(n+1)2+(-n2+3n+4)2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·99· 参 考 答 案