第2讲 分式方程与根式方程-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

第2讲 分式方程与根式方程 [初中知识回顾] 分式方程 1.定义:分母中含有未知数的方程叫做分 式方程. 2.去分母法解分式方程的一般步骤:①把 各分式的分母因式分解(若题中已分解 好了,这一步可以省去),找出最简公分 母;②方程两边同时乘以最简公分母,将 分式方程转化为整式方程;③解整式方 程;④验根. 3.换元法解分式方程的一般步骤:①设辅 助未知数,并将原方程化为只含辅助未 知数的新方程;②解关于辅助未知数的 新方程;③通过所求得的辅助未知数的 值求出原方程的解;④验根. 4.验根的方法:①将求得的解代入原方程 分母,使分母为零的解为增根;②将求得 的解代入原方程,看左、右是否相等,使 方程左、右相等的解为原方程的解. 根式方程 1.定义:最简方程的根号内含有未知数的 方程叫做根式方程. 2.两边平方法解根式方程的一般步骤: ①移项,使方程中含有未知数的根式比 较均衡地分布在等号两边;②方程两边 同时平方,化简,得到有理方程;③解有 理方程;④验根. 3.验根:将求得的解代入原方程,看左、右 是否相等,使方程左、右相等的解为原方 程的解. [高中知识衔接] 分式方程 1.去分母法解可化为一元一次方程且分式 不止两个的分式方程; 2.去分母法和换元法解可化为一元二次方 程的分式方程; 3.解可化为简单高次方程的分式方程; 4.分式方程的实际应用. 根式方程 1.两边平方法解两个根式的根式方程; 2.换元法解根式方程; 3.根式方程的实际应用. 衔接点一 分式方程的解法 【例1】 解分式方程:xx-2+1= 3 2-x. 【解】 去分母得x+x-2=-3, 解得x=-12 , 经检验,x=-12 是原方程的根. [跟踪训练] 1.解分式方程:1- xx-1= 2x 1-x2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·32· 第二部分 初中知识拓展精讲 衔接点二 根式方程的解法 【例2】 解方程:x- 2x+1=1. 【解】 移项得 2x+1=x-1, 两边平方得2x+1=(x-1)2, x2-4x=0, 解得x1=0,x2=4, 经检验x=0不是原方程的解,x=4是 原方程的解, 即原方程的解是x=4. [跟踪训练] 2.解方程:x+1+ 2x-5=1. 衔接点三 分式方程和根式方程的实际 应用 【例3】 列方程(组)解决下列问题: 2022年4月16日上午,神舟十三号载人 飞船返回舱安全降落,三名航天员翟志 刚、王亚平和叶光富顺利返回地球.航天 爱好者小宇、小文和亿万观众通过直播 见证了“太空出差三人组”平安重回祖国 的激动时刻,适逢4月23日又是“世界读 书日”,他们便相约购入同一套与航天相 关的书籍进行阅读.该套书籍分为上、下 两册,其中上册的页数比下册的页数多 32页,小宇计划每天读30页,正好可以 24天读完整套书籍. (1)求该套书籍的上册共有多少页? (2)小宇和小文同一天开始阅读这套书 籍,小宇按计划阅读了12天后,从第13 天开始每天的阅读页数为小文每天阅读 页数的9 10 ,结果比小文晚4天读完该套 书籍,求小文每天阅读多少页? 【解】 (1)设该套书籍的上册共有x 页, 则该套书籍的下册共有(x-32)页, 依题意得x+(x-32)=30×24, 解得x=376. 答:该套书籍的上册共有376页. (2)设小文每天阅读y页,则小宇从第13 天开始每天阅读9 10y 页, 依题意得 12+30×24-30×129 10y -30×24y =4 , 解得y=40, 经检验,y=40是原方程的解,且符合 题意. 答:小文每天阅读40页. [跟踪训练] 3.每到春末夏初时节,哈尔滨街头就会出 现各种共享单车,共享单车解决了市民 出行的“最后一公里”的难题,极大方便 广大市民.“橙风单车”公司已投放A 级、 B 级两种单车,每辆B 级车成本比每辆 A 级车成本少20%,公司投入150万元 的B 级车的数量比同样投入150万元的 A 级车的数量多750辆. (1)求每辆A 级车、B 级车的成本分别是 多少元? (2)2022年“橙风单车”公司继续投放共 享单车,但随着原材料的上涨,A、B 两种 单车的成本都随之上涨20%,同时政府 为了鼓励单车的投放,每辆A、B 级单车 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·42· 初高中衔接教材 分别给予50元、40元的补贴,公司计划 今年投放B 级车数量是A 级车数量的 1.5倍,总投入不超过484万元,求投放 A 级车最多多少辆? 1.解方程:3x-1x2-1- 2x-1 x-1=1. 2.解方程:2xx-2- x-3 x2-2x=2. 3.解方程:x2+2x+3- x2+2x+5=0. 4.“数形结合”和“建模思想”是数学中的两 个很重要的思想方法,先阅读以下材料, 然后解答后面的问题. 例:求代数式 x2+32+ (12-x)2+22 的最小值. 分析: x2+32和 (12-x)2+22 是勾 股定理的形式,x2+32是直角边分别是 x 和 3 的 直 角 三 角 形 的 斜 边, (12-x)2+22是直角边分别是12-x 和2的直角三角形的斜边,因此,我们构 造两个直角三角形△ABC 和△DEF,并 使直角边BC 和EF 在同一直线上(图 1),向右平移直角三角形ABC 使点B 和 E 重合(图2),这时CF=x+12-x= 12,AC=3,DF=2,问题就变成“点B 在 线段CF 的何处时,AB+DB 最短?”根 据两点间线段最短,得到线段AD 就是 它们的最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·52· 第二部分 初中知识拓展精讲 小结:本 题 利 用 代 数 式 x2+32 + (12-x)2+22的形式特点,把它转化为 两个直角三角形的问题,从而利用已学 过的几何知识来解决这个代数问题,这 就是建模思想与数形结合思想.回答下 面问题: (1)代数式 x2+32+ (12-x)2+22的 最小值为 ; (2)变 式 训 练:求 代 数 式 x2+16+ (10-x)2+4的最小值; (3)拓 展 练 习:解 方 程 9-x2 + 16-x2=5(利用几何方法解答). 5.【建构模型】 对于两个不等的非零实数m,n,若分式 (x-m)(x-n) x 的值为零,则x=m 或 x=n. 又因为 (x-m)(x-n) x =x 2-(m+n)x+mn x =x+mnx - (m+n), 所以关于x的方程x+mnx =m+n 有两 个解,分别为x1=m,x2=n. 【应用模型】 利用上面的结论解答下列问题: (1)方程x+ax=b 的两个解分别为x1= -3,x2=4,则 a= ,b= ; (2)关于x 的方程2x+ (n+3)(n-4) 2x+1 = 2n-2的两个解分别为x1,x2(x1<x2), 求 x1+4 2x2+1 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·62· 初高中衔接教材 6.2022年北京冬奥会是我国又一次举办的 大型国际奥林匹克运动盛会.为了增加 学生对冬奥会相关知识的了解,某校开 展“冬奥会知识竞赛”活动并计划购买大 小两种型号的吉祥物玩偶作为奖品,已 知大型号的单价比小型号的单价多16 元,且学校用1 950元购买小型号玩偶的 数量是用1 050元购买大型号玩偶数量 的三倍. (1)求两种型号玩偶的单价; (2)为了让更多同学参与竞赛活动,学校 决定购进这两种型号吉祥物玩偶共200 个,但总费用不超过7 120元,求最多可 购买大型号吉祥物玩偶的个数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第3讲 一次函数与反比例函数 [初中知识回顾] 正比例函数 一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的 函数,叫作正比例函数,其中k叫作比例 系数. 一般地,正比例函数y=kx(k 是常数, k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我 们称它为直线y=kx. 一次函数 一般地,形如y=kx+b(k,b 是常数, k≠0)的函数,叫作一次函数.当b=0 时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例 函数是一种特殊的一次函数. 反比例函数 概念:一般地,如果两个变量x,y之间 的对应关系可以表示成y= k x (k为常 数,k≠0)的形式,那么称y 是x 的反 比例函数.反比例函数的自变量x 不 能为零. 图象: [高中知识衔接] 一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0) 的图象及性质: (1)k的正、负决定直线的倾斜方向. ①k>0时,y随x的增大而增大; ②k<0时,y随x的增大而减小. (2)|k|的大小决定直线的倾斜程度,即 |k|越大,直线与x轴相交的锐角度数越 大;|k|越小,直线与x 轴相交的锐角度 数越小. (3)b的正、负决定直线与y轴交点的位置. ①当b>0时,直线与y 轴交于正半 轴上; ②当b<0时,直线与y 轴交于负半 轴上; ③当b=0时,直线经过原点,此时函数 是正比例函数. (4)由于k,b的符号不同,所以直线所经 过的象限也不同. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·72· 第二部分 初中知识拓展精讲 而α=94-β= 9 4-1= 5 4>1 , 故在BC边上存在满足条件的点,其坐标为(54 ,1) 所以不符合题意,舍去; 即在BC 边上不存在满足条件的点; ②当点M(α,β)在AC 边上运动时, 由A(1,2),C(1,1), 得α=1,1≤β≤2, 此时β= 9 4-α= 9 4-1= 5 4 , 又因为1<54<2 ,故在AC 边上存在满足条件 的点,其坐标为(1,54 ); ③当点M(α,β)在AB 边上运动时, 由A(1,2),B(12 ,1), 得1 2≤α≤1 ,1≤β≤2, 由平面几何知识得1-α 1-12 =2-12-β , 于是β=2α, 由 β=2α α+β= 9 4 解得α=34,β=32, 又因为1 2< 3 4<1 ,1<32<2 , 故在 AB 边上存在满足条件的点,其坐标为 (3 4 ,3 2 ). 综上所述,当点M(α,β)在△ABC 的三条边上 运动时,存在点(1,54 )和点(3 4 ,3 2 ),使m+n= 5 4 成立. 第2讲 分式方程与根式方程 【题型衔接】 [跟踪训练] 1.解:去分母得:x2-1-x(x+1)=-2x, 解得:x=1, 检验:把x=1代入得:(x+1)(x-1)=0, ∴x=1是增根,分式方程无解. 2.解:x+1=1- 2x-5,平方,得 x+1=1-2 2x-5+2x-5, 2 2x-5=x-5,再平方,得 8x-20=x2-10x+25 x2-18x+45=0, 解得x1=3,x2=15, 经检验:x1=3,x2=15都是原方程的增根, ∴原方程无解. 3.解:(1)设每辆A 级车的成本为x 元,则每辆B 级车的成本为(1-20%)x 元, 由题意得:1 500 000 x = 1 500 000 (1-20%)x-750 , 解得:x=500, 经检验,x=500是原方程的解,且符合题意, 则(1-20%)x=0.8×500=400, 答:每辆A 级车的成本为500元,每辆B 级车 的成本为400元. (2)500×(1+20%)=600(辆), 400×(1+20%)=480(辆), 设投放A 级车a辆,则投放B 级车1.5a辆, 由题意得:(600-50)a+(480-40)×1.5a≤ 4 840 000, 解得:a≤4 000, 答:投放A 级车最多4 000辆. 【衔接自测训练】 1.解:去分母得:3x-1-(2x-1)(x+1)=x2 -1, 整理得:3x2-2x-1=0, 解得:x1=1,x2=- 1 3 , 检验:把x=1代入得:(x+1)(x-1)=0, 把x=-13 代入得:(x+1)(x-1)≠0, ∴x1=1是原方程的增根,x2=- 1 3 是原方程 的根, 则原方程的根是x=-13. 2.解:方程两边同乘x(x-2)得: 2x2-(x-3)=2x(x-2), 去括号得:2x2-x+3=2x2-4x, 移项合并得:3x=-3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·49· 初高中衔接教材 系数化为1得:x=-1. 经检验,x=-1是原方程的解. 3.解:设 x2+2x+5=y, 则x2+2x=y2-5, 则原式即:y2-y-2=0, 解得:y1=2,y2=-1(舍去), 则x2+2x=4-5, 即(x+1)2=0, 解得x1=x2=-1. 4.解析:(1)∵AG=3+2=5,GD=12, ∴AD= 52+122=13, ∴ x2+32+ (12-x)2+22的最小值是13. (2)如下图,AC=4,DF=2,CF=10, ∴AG=4+2=6,GD=10, ∴AD= 62+102=2 34, ∴ x2+16 + (10-x)2+4 的 最 小 值 是 2 34. (3)如 下 图,构 造△ABC,CD ⊥AB 于 D, AC=3,BC=4, 设CD=x,则AD= 9-x2,BD= 16-x2, ∴AB= 9-x2+ 16-x2=5, ∵32+42=52, ∴∠ACB=90°, ∴12×3×4= 1 2×5×x , ∴x=2.4, 另外,x=-2.4也满足方程, ∴方程的解是x=±2.4. 答案:(1)13 (2)见解析 (3)见解析 5.解析:(1)由题意可知, a=x1x2, b=x1+x2, ∴a=-12,b=1. (2)由2x+ (n+3)(n-4) 2x+1 =2n-2 , 得2x+1+ (n+3)(n-4) 2x+1 = (n+3)+(n-4), 令2x+1=t, ∴t1=n+3,t2=n-4, 又∵x1<x2, ∴x1= 1 2 (n-5),x2= 1 2 (n+2), ∴ x1+4 2x2+1 = 1 2 (n+3) n+3 = 1 2. 答案:(1)-12 1 (2)见解析 6.解:(1)设小型号玩偶的单价为x 元,则大型号 玩偶的单价为(x+16)元, 根据题意得:1 950 x = 1 050 x+16×3 , 解得:x=26, 经检验,x=26是原分式方程的解,且符合 题意, 则x+16=42, 答:小型号玩偶的单价为26元,大型号玩偶的 单价为42元. (2)设购买大型号吉祥物玩偶m 个, 根据题意得:42m+26(200-m)≤7 120, 解得:m≤120, 答:最多可购买大型号吉祥物玩偶120个. 第3讲 一次函数与反比例函数 【题型衔接】 [跟踪训练] 1.B ∵正比例函数的图象经过不同象限的两点 A(a,2)和(3,b), ∴a<0,b<0, ∴一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四 象限.故选B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·59· 参 考 答 案