第1讲 一元二次方程-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

8.阅读理解 材料1:为了研究分式1x 与其分母x的数 量变化关系,小明制作了表格,并得到如 下数据: x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … 1 x … -0.25-0.3-0.5 -1 无意 义 1 0.50.30.25… 从表格数据观察,当x>0时,随着x 的 增大,1 x 的值随之减小,若x 无限增大, 则1 x 无限接近于0;当x<0时,随着x的 增大,1 x 的值随之减小. 材料2:在分子、分母都是整式的情况下, 如果分子的次数低于分母的次数.称这 样的分式为真分式.如果分子的次数不 低于分母的次数,称这样的分式为假 分式. 任何一个假分式都可以化为一个整式与 一个真分式的和. 例如:x+1 x-4= (x-4)+5 x-4 = x-4 x-4+ 5 x-4 =1+ 5x-4. 根据上述材料完成下列问题: (1)当x>0时,随着x 的增大,1+1x 的 值 (增大或减小);当x<0时, 随着x的增大,x+2x 的值 (增大 或减小); (2)当x>1时,随着x 的增大,3x+1x-1 的 值无限接近一个数,请求出这个数; (3)当0<x<2时,请直接写出代数式 2x-1 x-3 的值的范围 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二章 方程与函数 第1讲 一元二次方程 [初中知识回顾] 1.一元二次方程的解法 配方法:先把一元二次方程进行配方,化 成(mx+n)2=r(r≥0)的形式,再用直 接开平方法求解. 公式法:利用一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)的求根公式 x=-b± b 2-4ac 2a 求解. 因式分解法:如果一元二次方程ax2+bx +c=0(a≠0)的等式左边可以分解为两 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·81· 初高中衔接教材 个一次因式的积,那么这两个因式至少 有一个为0,原方程可转化为两个一元一 次方程来解. 2.一元二次方程根的判别式 求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根,用配方法可将其变形为(x+b2a )2 =b 2-4ac 4a2 . 判别式:Δ=b2-4ac. 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根 x1= -b+ b2-4ac 2a , x2= -b- b2-4ac 2a ; 当Δ=0时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=- b 2a ; 当Δ<0时,方程没有实数根. [高中知识衔接] 1.一元二次方程根的判别式的应用. 2.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两个根分别为x1,x2,那么 x1+x2=- b a ,x1x2= c a. 证明:因为一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两个根为x1= -b+ b2-4ac 2a , x2= -b- b2-4ac 2a ,所以x1+x2= -b+ b2-4ac 2a + -b- b2-4ac 2a =-2b2a =- b a , x1x2= -b+b2-4ac 2a ·-b-b 2-4ac 2a = (-b)2-(b2-4ac)2 (2a)2 = 4ac 4a2= c a. [规律方法] 一元二次方程根与系数的 关系由十六世纪的法国数学家韦达发 现,所以通常把此定理称为“韦达定理”. 上述定理成立的前提是Δ≥0. 3.韦达定理的逆定理:若两个实数x1,x2 满足x1+x2=- b a ,x1x2= c a ,则x1,x2 必为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两 个根. 证明:因为由ax2+bx+c=0 得x2+bax+ c a=0 , 所以x2-(x1+x2)x+x1x2=0, 即(x-x1)(x-x2)=0, 故x=x1或x=x2, 因此,x1,x2为方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根. (推论:以两个数x1,x2为根的一元二次 方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2) x+x1x2=0) 衔接点一 一元二次方程根的判别式的 应用 【例1】 已知T=(a+3b)2+(2a+3b) (2a-3b)+a2. (1)化简T; (2)若关于x的方程x2+2ax-ab+1= 0有两个相等的实数根,求T 的值. 【解】 (1)T=(a+3b)2+(2a+3b)(2a- 3b)+a2=a2+6ab+9b2+4a2-9b2+a2 =6a2+6ab. (2)∵关于x的方程x2+2ax-ab+1=0 有两个相等的实数根, ∴Δ=(2a)2-4(-ab+1)=0, ∴a2+ab=1, ∴T=6×1=6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·91· 第二部分 初中知识拓展精讲 [跟踪训练] 1.已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0. (1)求证:无论k 为何值,方程总有实 数根; (2)若等腰三角形一腰长为5,另外两边 长度为该方程的两根,求等腰三角形的 周长. 衔接点二 根与系数的关系 【例2】 若x1,x2是关于x 的一元二次方 程ax2+bx+c=0的两个根,则x1+x2 =-ba ,x1·x2= c a. 现已知一元二次方 程px2+2x+q=0的两根分别为m,n. (1)若m=2,n=-4,求p,q的值; (2)若p=3,q=-1,求 m+mn+n 的值. 【解】 (1)根据题意得2-4=-2p , 2×(-4)=qp , 所以p=1,q=-8. (2)根据m+n=-2p=- 2 3 ,mn=-13 , 所以m+mn+n=m+n+mn =-23- 1 3=-1. [跟踪训练] 2.阅读材料,解答问题: 材料1 为了解方程(x2)2-13x2+36=0,如果 我们把x2 看作一个整体,然后设y= x2,则原方程可化为y2-13y+36=0, 经过运算,原方程的解为x1,2=±2,x3,4 =±3.我们把以上这种解决问题的方法 通常叫做换元法. 材料2 已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2- n-1=0,且m≠n,显然m,n是方程x2 -x-1=0的两个不相等的实数根,由韦 达定理可知m+n=1,mn=-1. 根据上述材料,解决以下问题: (1)直接应用: 方程x4-5x2+6=0的解为 ; (2)间接应用: 已知实数a,b满足:2a4-7a2+1=0, 2b4-7b2+1=0且 a ≠b,求 a4+b4 的值; (3)拓展应用: 已知实数m,n满足:1m4+ 1 m2=7 ,n2-n =7且n>0,求1m4+n 2的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·02· 初高中衔接教材 衔接点三 一元二次方程根的判别式与韦 达定理的综合应用 【例3】 已知关于x 的方程x2+2mx+n =0(m、n是常数)有两个相等的实数根. (1)求证:m2=n; (2)求证:m+n≥-14. 【证明】 (1)∵方程有两个相等的实 数根, ∴Δ=b2-4ac=(2m)2-4n=0, ∴4m2-4n=0,∴m2=n. (2)把n=m2 代入m+n 得m+n=m +m2, ∵m+m2=m2+m+14- 1 4 =(m+12 )2-14 , 而(m+12 )2≥0,∴m+n≥-14. [跟踪训练] 3.已知x1、x2 是关于x 的方程x2+2x+ 2k-4=0两个实数根,并且x1≠x2. (1)求实数k的取值范围; (2)若k为正整数,且该方程的根都是整 数,求k的值; (3)若|x1-x2|=6,求(x1-x2)2+ 3x1x2-5的值. 1.若关于x的一元二次方程-2x2-3x+ n=0有两个不相等的实数根,则n的最 小整数解是 ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 2.已知m,n是方程x2+2 016x+7=0的 两个根,则(m2+2 015m+6)(n2+2 017n+8)= ( ) A.2 008 B.8 002 C.2 009 D.2 020 3.若a,b是一元二次方程x2+2x-2 022 =0的两个实数根,则a2+4a+2b的值 是 . 4.对于实数m、n,定义运算“※”:m※n= mn(m+n).例如:4※2=4×2×(4+2) =48.若x1,x2 是关于x 的一元二次方 程x2-5x+4=0的两个实数根,则x1※ x2= . 5.已知m2-2m-1=0,n2+2n-1=0,且 mn≠1,求mn-m+1n 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·12· 第二部分 初中知识拓展精讲 6.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2+3x +1=0有两个不相等的实数根. (1)求实数k的取值范围; (2)是否存在实数k,使该方程的两个实数 根x1、x2满足x1+x2=5-2x1x2,若存在, 请求出k的值;若不存在,请说明理由. 7.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根 比另一个根大1,那么称这样的方程为 “邻根方程”.例如,一元二次方程x2+x =0的两个根是x1=0,x2=-1,则方程 x2+x=0是“邻根方程”. (1)通过计算,判断下列方程是否是“邻 根方程”: ①x2-x-6=0; ②2x2-23x+1=0. (2)已知关于x的方程x2-(m-1)x-m =0(m是常数)是“邻根方程”,求m的值; (3)若关于x 的方程mx2+nx+2=0 (m,n是常数,m>0)是“邻根方程”,令t =n2-4m2,试求t的最大值. 8.已知关于x的方程x2-(m+n+1)x+ m=0的两个实数根为α、β. (1)求证:α+β=m+n+1,αβ=m; (2)已知点P(α,β)在△ABC的三条边上运 动,且△ABC顶点的坐标分别为A(1,2), B(12 ,1),C(1,1),问是否存在点P,使 m+n=54 ? 若存在,求出点P 的坐标; 若不存在,请说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·22· 初高中衔接教材 7.解析:(1)① aa2+1 不是根分式, ② 3 x+1 不是根分式, ③ a 2+3 2 是根分式. (2)由题意得:x-1≥0且x-2≠0, 解得:x≥1且x≠2, 故x 的取值范围是:x≥1且x≠2. (3)当M= x 2-6x+7 x-2 ,N= 2x-1x-2 时, ①M2-N2=1, (x 2-6x+7 x-2 )2-(2x-1x-2 )2=1, x2-6x+7 (x-2)2 - 2x-1 (x-2)2=1 , x2-8x+8 (x-2)2 =1 , 解得:x=1, 经检验,x=1是原方程的解; ②M2+N2=(x 2-6x+7 x-2 )2+(2x-1x-2 )2 =x 2-6x+7 (x-2)2 + 2x-1 (x-2)2 =x 2-4x+6 (x-2)2 = (x-2)2+2 (x-2)2 =1+ 2(x-2)2 , ∵M2+N2 是一个整数,且x 为整数, ∴ 2(x-2)2 是一个整数, ∴x-2=±1, 解得:x=3或1, 经检验,x=1符合题意. 答案:(1)③ (2)x≥1且x≠2 (3)①见解析 ②1 8.解析:(1)∵当x>0时,1x 随着x 的增大而 减小, ∴随着x 的增大,1+1x 的值减小; ∵当x<0时,2x 随着x 的增大而减小, ∵x+2x =1+ 2 x , ∴随着x 的增大,x+2x 的值减小. (2)∵3x+1x-1= 3(x-1)+4 x-1 =3+ 4 x-1 , ∵当x>1时,4x-1 的值无限接近0, ∴3x+1x-1 的值无限接近3. (3)∵2x-1x-3= 2(x-3)+5 x-3 =2+ 5 x-3 , 又∵0<x<2, ∴-5< 5x-3<- 5 3 , ∴-3<2x-1x-3< 1 3. 答案:(1)减小 减小 (2)见解析 (3)-3<2x-1x-3< 1 3 第二章 方程与函数 第1讲 一元二次方程 【题型衔接】 [跟踪训练] 1.解:(1)证明:Δ=[-(k+2)]2-4×2k =(k-2)2, ∵(k-2)2≥0,即Δ≥0, ∴无论k取任何实数值,方程总有实数根. (2)∵等腰三角形一腰长为5, ∴另外一腰长度为5, ∴方程x2-(k+2)x+2k=0一个根为5, ∴25-5(k+2)+2k=0, 解得k=5, ∴方程为x2-(5+2)x+2×5=0, ∴(x-5)(x-2)=0, 解得x1=5,x2=2, 故△ABC 的周长=5+5+2=12. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·19· 参 考 答 案 2.解析:(1)令y=x2,则有y2-5y+6=0, ∴(y-2)(y-3)=0, ∴y1=2,y2=3, ∴x2=2或3, ∴x1=2,x2=-2,x3=3,x4=-3. (2)∵a≠b, ∴a2≠b2 或a2=b2, 当a2≠b2 时,令a2=m,b2=n. ∴m≠n,则2m2-7m+1=0,2n2-7n+1=0, ∴m,n 是方程2x2-7x+1=0的两个不相等 的实数根, ∴ m+n=72 mn=12 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 , 此时a4+b4=m2+n2=(m+n)2-2mn=454. ②当a2=b2(a=-b)时,a2=b2=7± 414 , 此时a4+b4=2a4=2(a2)2=45±7414 , 综上所述,a4+b4=454 或45±741 4 . (3)令1m2=a ,-n=b, 则a2+a-7=0,b2+b-7=0, ∵n>0, ∴1m2 ≠-n,即a≠b, ∴a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实 数根, ∴ a+b=-1 ab=-7 , 故1 m4+n 2=a2+b2=(a+b)2-2ab=15. 答案:(1)x1= 2,x2=- 2,x3= 3,x4= -3 (2)见解析 (3)见解析 3.解:(1)依题意得Δ=22-4(2k-4)>0, 解得:k<52. (2)因为k<52 且k为正整数, 所以k=1或2, 当k=1时,方程化为x2+2x-2=0,Δ=12,此 方程无整数根,故k=1舍去; 当k=2时,方程化为x2+2x=0 解得x1=0,x2=-2, 故所求k的值为2. (3)∵x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k-4= 0两个实数根, ∴x1+x2=-2,x1·x2=2k-4, ∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·x2 =4-4(2k-4)=20-8k, ∵|x1-x2|=6, ∴20-8k=36, ∴k=-2, ∴x1·x2=2×(-2)-4=-8, ∴(x1-x2)2+3x1x2-5=36+3×(-8)-5 =7. 【衔接自测训练】 1.B ∵关于x 的一元二次方程-2x2-3x+n= 0有两个不相等的实数根, ∴Δ=9+8n>0, 解得:n>-98 , 则n的最小整数解为-1.故选B. 2.A ∵m,n 是方程x2+2 016x+7=0的两 个根, ∴m2+2 016m+7=0,n2+2 016n+7=0, m+n=-2 016,mn=7, ∴m2+2 015m+m+7=0, n2+2 017n-n+7=0, ∴m2+2 015m=-m-7,n2+2 017n=n-7, ∴(m2+2 015m+6)(n2+2 017n+8) =(-m-7+6)(n-7+8) =(-m-1)(n+1) =-mn-m-n-1 =-7+2 016-1 =2 008,故选A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·29· 初高中衔接教材 3.解析:∵a,b是一元二次方程x2+2x-2 022= 0的两个实数根, ∴a2+2a-2 022=0,a+b=-2, ∴a2+2a=2 022,2a+2b=-4, ∴a2+4a+2b=(a2+2a)+(2a+2b) =2 022-4=2 018. 答案:2018 4.解析:∵x1,x2 是关于x 的一元二次方程x2- 5x+4=0的两个实数根, ∴x1+x2=5,x1x2=4, ∴x1※x2=x1x2(x1+x2)=4×5=20. 答案:20 5.解:由n2+2n-1=0得(1n )2-2(1n )-1=0, ∴m、1n 是方程x2-2x-1=0的两个实数根, ∴m+1n=2 ,m·1n=-1 , 则mn-m+1 n =m+ 1 n- m n=2+1=3. 6.解:(1)∵关于x 的一元二次方程(k-1)x2+ 3x+1=0有两个不相等的实数根, ∴Δ>0,且k-1≠0, ∴ 9-4(k-1)>0 k-1≠0 , 解得k<134 且k≠1. (2)存在实数k,使该方程的两个实数根x1、x2 满足x1+x2=5-2x1x2,理由如下: 若x1、x2 是(k-1)x2+3x+1=0的两个实数 根,则x1+x2=- 3 k-1 ,x1·x2= 1 k-1 , ∵x1+x2=5-2x1x2, ∴- 3k-1=5- 2 k-1 ,解得k=45 , ∵45< 13 4 , ∴k=45 时,(k-1)x2+3x+1=0有两个实 数根, ∴存在实数k=45 ,使该方程的两个实数根x1、 x2 满足x1+x2=5-2x1x2. 7.解:(1)①解方程x2-x-6=0 得:x=3或x=-2, ∵3-(-2)=5, ∴x2-x-6=0不是“邻根方程”; ②解方程2x2-23x+1=0 得:x=23± 12-84 = 3±1 2 , ∵ 3+12 - 3-1 2 =1 , ∴x2-x-6=0是“邻根方程”. (2)由方程x2-(m-1)x-m=0 解得:x=m 或x=-1, 由于方程x2-(m-1)x-m=0(m 是常数)是 “邻根方程”, 则m-(-1)=1或-1-m=1, 解得m=0或-2. (3)解方程mx2+nx+2=0 得:x=-n± n 2-8m 2m , ∵关于x 的方程mx2+nx+2=0(m,n 是常 数,m>0)是“邻根方程”, ∴-n+ n 2-8m 2m - -n- n2-8m 2m =1 , ∴n2=m2+8m, ∵t=n2-4m2, ∴t=-3m2+8m=-3(m-43 )2+163 , ∴当m=43 时,t有最大值163. 8.解:(1)证明:∵α、β为方程x2-(m+n+1)x+ m=0(n≥0)的两个实数根, ∴Δ=(m+n+1)2-4m=(m+n-1)2+4n ≥0, 且α+β=m+n+1,αβ=n, ∴m=αβ,n=α+β-m-1=α+β-αβ-1. (2)若使m+n=54 成立, 只需α+β=m+n+1= 9 4 , ①当点M(α,β)在BC 边上运动时, 由B(12 ,1),C(1,1), 得1 2≤α≤1 ,β=1, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·39· 参 考 答 案 而α=94-β= 9 4-1= 5 4>1 , 故在BC边上存在满足条件的点,其坐标为(54 ,1) 所以不符合题意,舍去; 即在BC 边上不存在满足条件的点; ②当点M(α,β)在AC 边上运动时, 由A(1,2),C(1,1), 得α=1,1≤β≤2, 此时β= 9 4-α= 9 4-1= 5 4 , 又因为1<54<2 ,故在AC 边上存在满足条件 的点,其坐标为(1,54 ); ③当点M(α,β)在AB 边上运动时, 由A(1,2),B(12 ,1), 得1 2≤α≤1 ,1≤β≤2, 由平面几何知识得1-α 1-12 =2-12-β , 于是β=2α, 由 β=2α α+β= 9 4 解得α=34,β=32, 又因为1 2< 3 4<1 ,1<32<2 , 故在 AB 边上存在满足条件的点,其坐标为 (3 4 ,3 2 ). 综上所述,当点M(α,β)在△ABC 的三条边上 运动时,存在点(1,54 )和点(3 4 ,3 2 ),使m+n= 5 4 成立. 第2讲 分式方程与根式方程 【题型衔接】 [跟踪训练] 1.解:去分母得:x2-1-x(x+1)=-2x, 解得:x=1, 检验:把x=1代入得:(x+1)(x-1)=0, ∴x=1是增根,分式方程无解. 2.解:x+1=1- 2x-5,平方,得 x+1=1-2 2x-5+2x-5, 2 2x-5=x-5,再平方,得 8x-20=x2-10x+25 x2-18x+45=0, 解得x1=3,x2=15, 经检验:x1=3,x2=15都是原方程的增根, ∴原方程无解. 3.解:(1)设每辆A 级车的成本为x 元,则每辆B 级车的成本为(1-20%)x 元, 由题意得:1 500 000 x = 1 500 000 (1-20%)x-750 , 解得:x=500, 经检验,x=500是原方程的解,且符合题意, 则(1-20%)x=0.8×500=400, 答:每辆A 级车的成本为500元,每辆B 级车 的成本为400元. (2)500×(1+20%)=600(辆), 400×(1+20%)=480(辆), 设投放A 级车a辆,则投放B 级车1.5a辆, 由题意得:(600-50)a+(480-40)×1.5a≤ 4 840 000, 解得:a≤4 000, 答:投放A 级车最多4 000辆. 【衔接自测训练】 1.解:去分母得:3x-1-(2x-1)(x+1)=x2 -1, 整理得:3x2-2x-1=0, 解得:x1=1,x2=- 1 3 , 检验:把x=1代入得:(x+1)(x-1)=0, 把x=-13 代入得:(x+1)(x-1)≠0, ∴x1=1是原方程的增根,x2=- 1 3 是原方程 的根, 则原方程的根是x=-13. 2.解:方程两边同乘x(x-2)得: 2x2-(x-3)=2x(x-2), 去括号得:2x2-x+3=2x2-4x, 移项合并得:3x=-3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·49· 初高中衔接教材