第3讲 分式与根式-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

6.数学教科书中这样写道: “我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab +b2叫做完全平方式”,如果一个多项式 不是完全平方式,我们常做如下变形:先 添加一个适当的项,使式子中出现完全 平方式,再减去这个项,使整个式子的值 不变,这种方法叫做配方法.配方法是一 种重要的解决问题的数学方法,不仅可 以将一个看似不能分解的多项式分解因 式,还能解决一些与负数有关的问题或 求代数式最大值、最小值等. 例如:分解因式 x2+2x-3=(x2+2x+1)-4 =(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2) =(x+3)(x-1); 例如求代数式2x2+4x-6的最小值2x2 +4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8. 可知当x=-1时,2x2+4x-6有最小 值,最小值是-8,根据阅读材料中配方 法解决下列问题: (1)分解因式:m2-4m-5= . (2)当a,b为何值时,多项式a2+b2-4a +6b+18有最小值,并求出这个最小值. (3)当a,b为何值时,多项式a2-2ab+ 2b2-2a-4b+30有最小值,并求出这个 最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第3讲 分式与根式 [初中知识回顾] 一、分式 一般地,如果A,B 表示两个整式,并且 B 中含有字母,那么式子AB 叫做分式.当 M≠0时,分式AB 具有下列性质: A B= A×M B×M ;A B= A÷M B÷M. 上述性质被称为分式的基本性质. 二、二次根式 1.定义:一般地,形如 a(a≥0)的式子叫 做二次根式.根号下含有字母、且不能够 开得尽方的式子称为无理式.例如3a+ a2+b+2b,a2+b2等是无理式,而2 x2+ 22x+1 ,x2+ 2xy+y2,a2等是 有理式. 2.二次根式 a2的意义 a2=|a|= a,a≥0, -a,a<0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·31· 第二部分 初中知识拓展精讲 [高中知识衔接] 一、繁分式 像 a b c+d ,m+n+p 2m n+p 这样,分子或分母中又 含有分式的分式叫做繁分式. 二、分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母 (子)有理化.为了进行分母(子)有理化, 需要引入有理化因式的概念.两个含有 二次根式的代数式相乘,如果它们的积 不含有二次根式,我们就说这两个代数 式互为有理化因式,例如2与2,3a与 a,3+6与3-6,23-32与23 +32等等.一般地,a x与 x,a x+ by与a x-by,a x+b与a x-b 互为有理化因式. 分母有理化的方法是分母和分子都乘以 分母的有理化因式,消去分母中的根号 的过程;而分子有理化则是分母和分子 都乘以分子的有理化因式,消去分子中 的根号的过程. 在二次根式的化简与运算过程中,二次 根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算 中要运用公式 a·b= ab(a≥0,b≥ 0);而对于二次根式的除法,通常先写成 分式的形式,然后通过分母有理化进行 运算;二次根式的加减法与多项式的加 减法类似,应在化简的基础上去括号与 合并同类二次根式. 衔接点一 分式 【例1】 化简(m-2mn-n 2 m )÷m 2-n2 m2+mn 的 正确结果是 ( ) A.m-n B.m+n C.1m-n D. 1 m+n 【解析】 原 式=(m 2 m - 2mn-n2 m )÷ (m+n)(m-n) m(m+n) =m 2-2mn+n2 m ÷ m-n m = (m-n)2 m · m m-n =m-n. 【答案】 A [跟踪训练] 1.结合图,观察下列式子: (x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq =x2+(p+q)x+pq 于是有:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x +q). (1)填空:因式分解x2+5x+6=(x+ )(x+ ); (2)化 简:(x 2-x-2 x2-4x+4- 2x+6 x2+x-6 ) ÷ xx-2 ; (3)化简: 1x2+x+ 1 x2+3x+2+ 1 x2+5x+6 + 1x2+7x+12. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·41· 初高中衔接教材 衔接点二 根式化简 【例2】 阅读下面的材料,解答后面提出的 问题: 在二次根式计算中我们常常遇到这样的 情况:(2+3)×(2-3)=1, (5+ 2)×(5- 2)=3,它们的积不 含根号,我们说这两个二次根式互为有 理化因式,其中一个是另一个的有理化 因式.于是,二次根式的除法可以这 样解: 1 3 =1×3 3×3 = 33 , 2+3 2-3 = (2+3)×(2+3) (2-3)×(2+3) =7+43. 像这样通过分子、分母同乘一个式子把 分母中的根号消去的方法,叫做分母有 理化. 解决问题: (1)4+7的一个有理化因式是 . (2)已知x= 3+2 3-2 ,y= 3-2 3+2 ,则1 x +1y= . (3)利用上面所提供的解法,请化简 1 1+2 + 1 2+3 + 1 3+4 + … + 1 98+ 99 + 1 99+ 100 . 【解析】 (1)∵(4+7)(4-7)=16-7 =9, ∴4+7的一个有理化因式是4-7. (2)∵x= 3+2 3-2 , ∴1x= 3-2 3+2 = (3-2)2 (3+2)(3-2) =(3-2)2=5-26, 同理,1 y=5+26 , ∴1x+ 1 y=5-26+5+26=10. (3)原式= 2-1+ 3- 2+…+ 100 - 99=10-1=9. 【答案】 (1)4-7 (2)10 (3)9 [跟踪训练] 2.先 化 简,再 求 值:4a-b+ a+b ba-ab + a-b ba-ab ,其中a=1,b=2. 衔接点三 含未知数的根式的化简 【例3】 计算:32 4x+2 x 9-x 1 x+ 2 x2 (x>0). 【解】 原式=32 ·2 x+2× x3 -x · x x +2× 2x 2 =3 x + 2 x 3 - x + 2x =8 x3 + 2x. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·51· 第二部分 初中知识拓展精讲 [跟踪训练] 3.(1)化简: a a- ab + a a+ ab ; (2)化简: x2+1x2-2 (0<x<1). 1.若式子 x+1+x-2 在实数范围内有意 义,则x的取值范围是 ( ) A.x>-1 B.x≥-1 C.x≥-1且x≠0D.x≤-1且x≠0 2.已知a>b>0,且a2+b2=3ab,则(1a+ 1 b )2÷(1a2- 1 b2 )的值是 ( ) A.5 B.-5 C.55 D.- 5 5 3.已 知 a = 1 2+1 ,求 a 2-2a+1 a-1 - a2+2a+1 a2+a 的值. 4.请仿照例子解题: M x+1+ N x-1= 1-3x x2-1 恒成立,求M、N 的 值. 解:∵ Mx+1+ N x-1= 1-3x x2-1 , ∴M (x-1)+N(x+1) (x+1)(x-1) = 1-3x x2-1 , 则Mx-M+Nx+N(x+1)(x-1) = 1-3x x2-1 , 即 (M+N)x-M+N (x+1)(x-1) = 1-3x x2-1 , 故 M+N=-3 -M+N=1 ,解得 M=-2N=-1 . 请你按照上面的方法解题:若 M x+2+ N x-2= x-8 x2-4 恒成立,求M、N 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·61· 初高中衔接教材 5.我们知道,(2)2=2;(4+3)(4-3)= 42-(3)2=13……如果两个含有二次 根式的非零代数式相乘,它们的积不含 有二次根式,就说这两个非零代数式互 为有理化因式.如4+3与4-3互为有 理化因式,5+2与 5- 2互为有理化 因式. 利用这种方法,可以将分母中含有二次 根式的代数式化为分母是有理数的代数 式,这个过程称为分母有理化.例如:1 2 = 2 2×2 = 22 , 1 3-2 = 3+2(3-2)(3+2) = 3+2 (3)2-22 = 3+2-1 =-3-2. (1)4 5 分母有理化的结果是 ; (2)按 上 面 的 方 法 将 1 7+6 和 1 n+ n+1 分母有理化; (3)利用以上知识计算: 1 1+2 + 1 2+3 + 1 3+4 +…+ 1 2 022+ 2 023 . 6.已 知x,y 为 实 数,且y= x-27- 227-x+13 ,求xy的平方根. 7.我们已经学习了整式、分式和二次根式, 当被除数是一个二次根式,除数是一个 整式时,求得的商就会出现类似 b a 的形 式,我们把形如 b a 的式子称为根分式,例 如 3 2 ,x-1 x 都是根分式. (1)下列式子中① aa2+1 ,② 3 x+1 , ③ a 2+3 2 , 是根分式(填写序号即 可); (2)写出根分式 x-1x-2 中x 的取值范围 ; (3)已知两个根分式M= x 2-6x+7 x-2 , N= 2x-1x-2 . ①若M2-N2=1,求x的值; ②若M2+N2是一个整数,且x为整数, 请直接写出x的值: . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·71· 第二部分 初中知识拓展精讲 8.阅读理解 材料1:为了研究分式1x 与其分母x的数 量变化关系,小明制作了表格,并得到如 下数据: x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … 1 x … -0.25-0.3-0.5 -1 无意 义 1 0.50.30.25… 从表格数据观察,当x>0时,随着x 的 增大,1 x 的值随之减小,若x 无限增大, 则1 x 无限接近于0;当x<0时,随着x的 增大,1 x 的值随之减小. 材料2:在分子、分母都是整式的情况下, 如果分子的次数低于分母的次数.称这 样的分式为真分式.如果分子的次数不 低于分母的次数,称这样的分式为假 分式. 任何一个假分式都可以化为一个整式与 一个真分式的和. 例如:x+1 x-4= (x-4)+5 x-4 = x-4 x-4+ 5 x-4 =1+ 5x-4. 根据上述材料完成下列问题: (1)当x>0时,随着x 的增大,1+1x 的 值 (增大或减小);当x<0时, 随着x的增大,x+2x 的值 (增大 或减小); (2)当x>1时,随着x 的增大,3x+1x-1 的 值无限接近一个数,请求出这个数; (3)当0<x<2时,请直接写出代数式 2x-1 x-3 的值的范围 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二章 方程与函数 第1讲 一元二次方程 [初中知识回顾] 1.一元二次方程的解法 配方法:先把一元二次方程进行配方,化 成(mx+n)2=r(r≥0)的形式,再用直 接开平方法求解. 公式法:利用一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)的求根公式 x=-b± b 2-4ac 2a 求解. 因式分解法:如果一元二次方程ax2+bx +c=0(a≠0)的等式左边可以分解为两 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·81· 初高中衔接教材 ∴PQ=x-y,PN=EN-EP= S y- S x , ∴ S长方形PQMN S长方形ABCD = (x-y)( S y- S x ) (x+y)( S y+ S x ) = (x-y)( 1 y- 1 x ) (x+y)( 1 y+ 1 x ) = (x-y)2 (x+y)2 =y 2 9y2 =19. 答案:1 9 3.解析:根据题意得:(x-3)(x-5)=x2-8x+ 15=x2+px+q, ∴p=-8,q=15, 则(2p+q)2 022=(-16+15)2 022=1. 答案:1 4.解:(1)3x-12x3=3x(1-4x2) =3x(1+2x)(1-2x). (2)a2-4ab+4b2=a2-2×a×2b+(2b)2 =(a-2b)2. (3)x2-2x-8=(x-4)(x+2). (4)(2x+y)2-(x-2y)2=[(2x+y)+(x- 2y)][(2x+y)-(x-2y)] =(3x-y)(x+3y). 5.解:(1)i3=-i;2i4=2. (2)①(3+i)(3-i)=9-i2=9+1=10. ②(3+i)2=9+i2+6i=9-1+6i=8+6i. (3)∵(x+3y)+3i=(1-x)-yi(x,y 为实 数), ∴-y=3,x+3y=1-x. ∴y=-3,x=5. (4)∵i2=-1, ∴m2+16=m2-16i2=(m+4i)(m-4i). 6.解析:(1)m2-4m-5=m2-4m+4-9 =(m-2)2-9 =(m-2+3)(m-2-3) =(m+1)(m-5). (2)∵a2+b2-4a+6b+18=(a-2)2+(b+ 3)2+5, ∴当a=2,b=-3时,多项式a2+b2-4a+6b +18有最小值5. (3)∵a2-2ab+2b2-2a-4b+30 =a2-2ab+b2-2(a-b)+1+b2-6b+9+20 =(a-b-1)2+(b-3)2+20, ∴当a=4,b=3时,多项式a2-2ab+2b2-2a -4b+30有最小值20. 答案:(1)(m+1)(m-5) (2)(3)见解析 第3讲 分式与根式 【题型衔接】 [跟踪训练] 1.解析:(1)原式=(x+2)(x+3). 故答案为2,3. (2)原式=[ (x-2)(x+1) (x-2)2 - 2(x+3) (x-2)(x+3) ]·x-2 x =(x+1x-2- 2 x-2 )·x-2 x =x-1x-2 ·x-2 x = x-1 x . (3) 原 式 = 1x(x+1) + 1 (x+1)(x+2) + 1(x+2)(x+3) + 1(x+3)(x+4) =1x- 1 x+1+ 1 x+1- 1 x+2+ 1 x+2- 1 x+3+ 1 x+3- 1 x+4 =1x- 1 x+4= 4 x(x+4). 2.解:4a-b+ a+b ba-ab + a-b ba-ab = 4a-b+ 2a ba-ab = 4(a-b)(a+b) + 2a ab(b- a) = 4 ab ab(a-b)(a+b) - 2a (a+b) ab(a+b)(a-b) = -2 ab+b =-2 (ab-b) ab-b2 , ∵a=1,b=2, ∴原式=-2 (2-2) 2-4 =2-2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·98· 参 考 答 案 3.解:(1)原式= a a(a-b) + a a(a+b) = 1 a-b + 1 a+b = (a+b)+(a-b) (a+b)(a-b) =2aa-b. (2)∵0<x<1,∴x-1x<0 , ∴ x2+1x2-2= (x-1x )2 =|x-1x| =1x-x =1-x 2 x . 【衔接自测训练】 1.C ∵x+1≥0且x≠0, ∴x≥-1且x≠0,故选C. 2.B (1a+ 1 b )2÷(1a2- 1 b2 )= (a+b)2 a2b2 ÷ b2-a2 a2b2 = (a+b)2 a2b2 · a 2b2 (b+a)(b-a) =-a+ba-b , ∵a2+b2=3ab, ∴(a+b)2=5ab,(a-b)2=ab, ∵a>b>0, ∴a+b= 5ab,a-b= ab, ∴-a+ba-b=- 5ab ab =- 5abab =- 5 ,故 选B. 3.解:∵a= 1 2+1 = 2-1(2+1)(2-1) =2-1, ∴ a 2-2a+1 a-1 - a2+2a+1 a2+a = (a-1)2 a-1 - (a+1)2 a(a+1) =a-1-1a =2-1-1-(2+1) =2-1-1-2-1 =-3. 4.解:∵ Mx+2+ N x-2= M(x-2)+N(x+2) (x+2)(x-2) = x-8(x+2)(x-2) , ∴M(x-2)+N(x+2)=x-8, ∴(M+N)x-2M+2N=x-8, ∴ M+N=1 -2M+2N=-8 , 解得: M=52 N=-32 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 . 5.解:(1)4 5 = 45 5×5 =455 . 故答案为45 5 . (2) 1 7+6 = 7-6(7+6)(7-6) = 7-67-6 =7-6; 1 n+ n+1 = n+1- n(n+1+ n)(n+1- n) = n+1- nn+1-n = n+1- n. (3) 1 1+2 + 1 2+3 + 1 3+4 + … + 1 2 022+ 2 023 = 2-1+ 3- 2+ 4- 3… 2 023 - 2 022 = 2 023-1. 6.解:由题意得 x-27≥0 27-x≥0 , 解得x=27, 则y= 1 3 , ∴xy=27× 1 3=9 , ∴xy的平方根是±9=±3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·09· 初高中衔接教材 7.解析:(1)① aa2+1 不是根分式, ② 3 x+1 不是根分式, ③ a 2+3 2 是根分式. (2)由题意得:x-1≥0且x-2≠0, 解得:x≥1且x≠2, 故x 的取值范围是:x≥1且x≠2. (3)当M= x 2-6x+7 x-2 ,N= 2x-1x-2 时, ①M2-N2=1, (x 2-6x+7 x-2 )2-(2x-1x-2 )2=1, x2-6x+7 (x-2)2 - 2x-1 (x-2)2=1 , x2-8x+8 (x-2)2 =1 , 解得:x=1, 经检验,x=1是原方程的解; ②M2+N2=(x 2-6x+7 x-2 )2+(2x-1x-2 )2 =x 2-6x+7 (x-2)2 + 2x-1 (x-2)2 =x 2-4x+6 (x-2)2 = (x-2)2+2 (x-2)2 =1+ 2(x-2)2 , ∵M2+N2 是一个整数,且x 为整数, ∴ 2(x-2)2 是一个整数, ∴x-2=±1, 解得:x=3或1, 经检验,x=1符合题意. 答案:(1)③ (2)x≥1且x≠2 (3)①见解析 ②1 8.解析:(1)∵当x>0时,1x 随着x 的增大而 减小, ∴随着x 的增大,1+1x 的值减小; ∵当x<0时,2x 随着x 的增大而减小, ∵x+2x =1+ 2 x , ∴随着x 的增大,x+2x 的值减小. (2)∵3x+1x-1= 3(x-1)+4 x-1 =3+ 4 x-1 , ∵当x>1时,4x-1 的值无限接近0, ∴3x+1x-1 的值无限接近3. (3)∵2x-1x-3= 2(x-3)+5 x-3 =2+ 5 x-3 , 又∵0<x<2, ∴-5< 5x-3<- 5 3 , ∴-3<2x-1x-3< 1 3. 答案:(1)减小 减小 (2)见解析 (3)-3<2x-1x-3< 1 3 第二章 方程与函数 第1讲 一元二次方程 【题型衔接】 [跟踪训练] 1.解:(1)证明:Δ=[-(k+2)]2-4×2k =(k-2)2, ∵(k-2)2≥0,即Δ≥0, ∴无论k取任何实数值,方程总有实数根. (2)∵等腰三角形一腰长为5, ∴另外一腰长度为5, ∴方程x2-(k+2)x+2k=0一个根为5, ∴25-5(k+2)+2k=0, 解得k=5, ∴方程为x2-(5+2)x+2×5=0, ∴(x-5)(x-2)=0, 解得x1=5,x2=2, 故△ABC 的周长=5+5+2=12. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·19· 参 考 答 案