第2讲 因式分解——十字相乘法-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

5.已知a+b+c=0,ab+bc+ca=-12 ,求 下列各式的值. (1)a2+b2+c2; (2)a4+b4+c4. 6.设x= 5-12 ,求x4+x2+2x-1的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第2讲 因式分解———十字相乘法 [初中知识回顾] 二次项系数为1的十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数,把二次 三项式分解因式的方法叫做十字相乘 法.对于二次三项式x2+bx+c,若存 在 pq=c p+q=b ,则x2+bx+c=(x+p) (x+q). 要点诠释:(1)在对x2+bx+c分解因式 时,要先从常数项c 的正、负入手,若 c>0,则p、q 同号(若c<0,则p、q 异 号),然后依据一次项系数b的正负再确 定p、q的符号; (2)若x2+bx+c中的b、c为整数时,要 先将c分解成两个整数的积(要考虑到分 解的各种可能),然后看这两个整数之和 能否等于b,直到凑对为止. [高中知识衔接] 二次项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中,如 果二次项系数a可以分解成两个因数之 积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两 个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·9· 第二部分 初中知识拓展精讲 排列如下: 按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+ a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx +c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b, 那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x+c1与a2x+c2之积,即ax2+bx+ c=(a1x+c1)(a2x+c2). 要点诠释:(1)分解思路为“看两端,凑 中间” (2)二次项系数a一般都化为正数,如果 是负数,则提出负号,分解括号里面的二 次三项式,最后结果不要忘记把提出的 负号添上. 衔接点一 二项式系数为1的十字相乘法 【例1】 分解因式:(1)x2-7x+12; (2)x2-3x+2. 【解】 (1)x2-7x+12=x2+(-4-3) x+(-4)×(-3)=(x-4)(x-3). (2)x2-3x+2=(x-2)(x-1). [跟踪训练] 1.阅读材料: 由多项式乘法:(x+a)(x+b)=x2+(a +b)x+ab,将该式从右到左使用,即可 得到“十字相乘法”进行因式分解的公 式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 示例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+ 3)x+2×3=(x+2)(x+3). 请用上述方法分解因式: x2-3x-4. 衔接点二 二项式系数不为1的十字相 乘法 【例2】 提出问题:你能把多项式x2+5x+6 因式分解吗? 探究问题:如图1所示,设a,b为常数, 由面积相等可得:(x+a)(x+b)=x2+ ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab,将该 式从右到左使用,就可以对形如x2+(a +b)x+ab的多项式进行因式分解即x2 +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).观察 多项式x2+(a+b)x+ab的特征是二次 项系数为1,常数项为两数之积,一次项 为两数之和. 解决问题:x2+5x+6=x2+(2+3)x+ 2×3=(x+3)(x+2). 运用结论: (1)基础运用:把多项式x2+4x-21进 行因式分解. (2)知识迁移:对于多项式4x2-4x-15 进行因式分解还可以这样思考: 将二次项4x2分解成如图2所示中的两 个2x的积,再将常数项-15分解成-5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·01· 初高中衔接教材 与3的乘积,图中的对角线上的乘积的 和为-4x,就是4x2-4x-15的一次项, 所以有4x2-4x-15=(2x-5)(2x+ 3).这种分解因式的方法叫做“十字相乘 法”. 请用十字相乘法进行因式分解:①3x2- 19x-14;②6a2-13ab+6b2. 【解】 ①原式=(3x+2)(x-7). ②原式=(2a-3b)(3a-2b). [跟踪训练] 2.分解因式:(1)10x2+x-21; (2)(x2-4x)2+7(x2-4x)+12. 衔接点三 求根公式法分解因式 【例3】 (1)在实数范围内因式分解:2x2- 4x+1= . (2)在实数范围内分解因式:-x2+2x+4 = . 【解析】 (1)2x2-4x+1=0的两个根 分别是x1= 2+2 2 或x2= 2-2 2 , ∴2x2-4x+1=2(x-2+22 )(x- 2-2 2 ). (2)-x2+2x+4=-(x2-2x-4) =-[(x2-2x+1)-5] =-[(x-1)2-(5)2] =-(x-1+5)(x-1-5). 【答案】 (1)2(x-2+22 )(x-2-22 ) (2)-(x-1+5)(x-1-5) [跟踪训练] 3.(1)在实数范围内因式分解:4x2-3xy- 2y2= . (2)在实数范围内因式分解:2x2-3x-1 = . 1.若x2+mx-10=(x-5)(x+n),则m +n的值为 ( ) A.5 B.-1 C.-5 D.1 2.如图,标号为①、②、③、④的长方形不 重叠地围成长方形PQMN.已知①和② 能够重合,③和④能够重合,这四个长方 形的面积均为S,AE=x,DE=y,且x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·11· 第二部分 初中知识拓展精讲 >y.若代数式x2-3xy+2y2 的值为 0,则 S长方形PQMN S长方形ABCD = . 3.已知二次三项式x2+px+q因式分解的 结果是(x-3)(x-5),则(2p+q)2 022= . 4.分解因式: (1)3x-12x3; (2)a2-4ab+4b2; (3)x2-2x-8; (4)(2x+y)2-(x-2y)2. 5.阅读理解题: 定义:如果一个数的平方等于-1,记为 i2=-1,这个数i叫做虚数单位,把形如 a+bi(a,b为实数)的数叫做复数,其中 a叫做这个复数的实部,b叫做这个复数 的虚部,它的加、减、乘法运算与整式的 加、减、乘法运算类似. 例如计算:(2-i)+(5+3i)=(2+5)+ (-1+3)i=7+2i; (1+i)×(2-i)=1×2-i+2×i-i2= 2+(-1+2)i+1=3+i; 根据以上信息,完成下列问题: (1)填空:i3= ;2i4= ; (2)计算:①(3+i)(3-i);②(3+i)2; (3)若两个复数相等,则它们的实部和虚 部必须分别相等,完成下列问题: 已知:(x+3y)+3i=(1-x)-yi.(x,y 为实数),求x,y的值; (4)试一试:请你参照i2=-1这一知识 点,将m2+16(m 为实数)因式分解成两 个复数的积. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·21· 初高中衔接教材 6.数学教科书中这样写道: “我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab +b2叫做完全平方式”,如果一个多项式 不是完全平方式,我们常做如下变形:先 添加一个适当的项,使式子中出现完全 平方式,再减去这个项,使整个式子的值 不变,这种方法叫做配方法.配方法是一 种重要的解决问题的数学方法,不仅可 以将一个看似不能分解的多项式分解因 式,还能解决一些与负数有关的问题或 求代数式最大值、最小值等. 例如:分解因式 x2+2x-3=(x2+2x+1)-4 =(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2) =(x+3)(x-1); 例如求代数式2x2+4x-6的最小值2x2 +4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8. 可知当x=-1时,2x2+4x-6有最小 值,最小值是-8,根据阅读材料中配方 法解决下列问题: (1)分解因式:m2-4m-5= . (2)当a,b为何值时,多项式a2+b2-4a +6b+18有最小值,并求出这个最小值. (3)当a,b为何值时,多项式a2-2ab+ 2b2-2a-4b+30有最小值,并求出这个 最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第3讲 分式与根式 [初中知识回顾] 一、分式 一般地,如果A,B 表示两个整式,并且 B 中含有字母,那么式子AB 叫做分式.当 M≠0时,分式AB 具有下列性质: A B= A×M B×M ;A B= A÷M B÷M. 上述性质被称为分式的基本性质. 二、二次根式 1.定义:一般地,形如 a(a≥0)的式子叫 做二次根式.根号下含有字母、且不能够 开得尽方的式子称为无理式.例如3a+ a2+b+2b,a2+b2等是无理式,而2 x2+ 22x+1 ,x2+ 2xy+y2,a2等是 有理式. 2.二次根式 a2的意义 a2=|a|= a,a≥0, -a,a<0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·31· 第二部分 初中知识拓展精讲 =4a2+4a+1-4ab-2b+b2-a2-2ab+ab +2b2 =3a2+4a+1-5ab-2b+3b2. (3)(a+b)(a2-ab+b2)-(a+b)2 =a3+b3-(a2+2ab+b2) =a3+b3-a2-2ab-b2. (4)(a-4b)(14a 2+4b2+ab) =14 (a-4b)(a2+16b2+4ab) =14a 3-16b3. 5.解:(1)由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc +2ca,可得a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc +ca)=1. (2)由ab+bc+ca=-12 ,得(ab+bc+ca)2= a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=14 , 所以a2b2+b2c2+c2a2=14-2abc (a+b+c) =14 , 所以a4+b4+c4=(a2+b2+c2)2-2(a2b2+ b2c2+c2a2)=12. 6.解:∵x= 5-12 ,∴x2=3-52 . ∴x2=1-x,x4=(1-x)2=x2-2x+1. ∴原式=(x2-2x+1)+x2+2x-1 =2x2=2×3-52 =3-5. 第2讲 因式分解———十字相乘法 【题型衔接】 [跟踪训练] 1.解:x2-3x-4=x2+(1-4)x+1×(-4) =(x+1)(x-4). 2.解:(1)10x2+x-21=(2x+3)(5x-7). (2)(x2-4x)2+7(x2-4x)+12 =(x2-4x+4)(x2-4x+3) =(x-2)2(x-1)(x-3). 3.解析:(1)4x2-3xy-2y2=4(x2- 3 4xy- 1 2 y2) =4(x2-34xy+ 9 64y 2-12y 2-964y 2) =4[(x-38y )2-4164y 2] =4(x-38y+ 41 8y )(x-38y- 41 8y ) =4(x-3- 418 y )(x-3+ 418 y ). (2)解法一:2x2-3x-1=2(x2-32x- 1 2 ) =2(x2-32x+ 9 16- 9 16- 1 2 ) =2[(x-34 )2-1716 ] =2(x-34+ 17 4 )(x-34- 17 4 ) =2(x-3- 174 )(x-3+ 174 ). 解法二:令2x2-3x-1=0, ∵Δ=(-3)2-4×2×(-1)=9+8=17>0, ∴x1= 3+ 17 4 ,x2= 3- 17 4 , ∴2x2 -3x-1=2(x-3- 174 )(x- 3+ 17 4 ). 答案:(1)4(x-3- 418 y )(x-3+ 418 y ) (2)2(x-3- 174 )(x-3+ 174 ) 【衔接自测训练】 1.B ∵(x-5)(x+n)=x2+(n-5)x-5n, ∴-5n=-10,m=n-5, 解得n=2,m=-3, ∴m+n=-3+2=-1.故选B. 2.解析:∵x2-3xy+2y2=0, ∴(x-y)(x-2y)=0, ∴x=y或x=2y, ∵x>y, ∴x=2y, ∵四个长方形的面积均为S, ∴EP=Sx ,EN=Sy , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·88· 初高中衔接教材 ∴PQ=x-y,PN=EN-EP= S y- S x , ∴ S长方形PQMN S长方形ABCD = (x-y)( S y- S x ) (x+y)( S y+ S x ) = (x-y)( 1 y- 1 x ) (x+y)( 1 y+ 1 x ) = (x-y)2 (x+y)2 =y 2 9y2 =19. 答案:1 9 3.解析:根据题意得:(x-3)(x-5)=x2-8x+ 15=x2+px+q, ∴p=-8,q=15, 则(2p+q)2 022=(-16+15)2 022=1. 答案:1 4.解:(1)3x-12x3=3x(1-4x2) =3x(1+2x)(1-2x). (2)a2-4ab+4b2=a2-2×a×2b+(2b)2 =(a-2b)2. (3)x2-2x-8=(x-4)(x+2). (4)(2x+y)2-(x-2y)2=[(2x+y)+(x- 2y)][(2x+y)-(x-2y)] =(3x-y)(x+3y). 5.解:(1)i3=-i;2i4=2. (2)①(3+i)(3-i)=9-i2=9+1=10. ②(3+i)2=9+i2+6i=9-1+6i=8+6i. (3)∵(x+3y)+3i=(1-x)-yi(x,y 为实 数), ∴-y=3,x+3y=1-x. ∴y=-3,x=5. (4)∵i2=-1, ∴m2+16=m2-16i2=(m+4i)(m-4i). 6.解析:(1)m2-4m-5=m2-4m+4-9 =(m-2)2-9 =(m-2+3)(m-2-3) =(m+1)(m-5). (2)∵a2+b2-4a+6b+18=(a-2)2+(b+ 3)2+5, ∴当a=2,b=-3时,多项式a2+b2-4a+6b +18有最小值5. (3)∵a2-2ab+2b2-2a-4b+30 =a2-2ab+b2-2(a-b)+1+b2-6b+9+20 =(a-b-1)2+(b-3)2+20, ∴当a=4,b=3时,多项式a2-2ab+2b2-2a -4b+30有最小值20. 答案:(1)(m+1)(m-5) (2)(3)见解析 第3讲 分式与根式 【题型衔接】 [跟踪训练] 1.解析:(1)原式=(x+2)(x+3). 故答案为2,3. (2)原式=[ (x-2)(x+1) (x-2)2 - 2(x+3) (x-2)(x+3) ]·x-2 x =(x+1x-2- 2 x-2 )·x-2 x =x-1x-2 ·x-2 x = x-1 x . (3) 原 式 = 1x(x+1) + 1 (x+1)(x+2) + 1(x+2)(x+3) + 1(x+3)(x+4) =1x- 1 x+1+ 1 x+1- 1 x+2+ 1 x+2- 1 x+3+ 1 x+3- 1 x+4 =1x- 1 x+4= 4 x(x+4). 2.解:4a-b+ a+b ba-ab + a-b ba-ab = 4a-b+ 2a ba-ab = 4(a-b)(a+b) + 2a ab(b- a) = 4 ab ab(a-b)(a+b) - 2a (a+b) ab(a+b)(a-b) = -2 ab+b =-2 (ab-b) ab-b2 , ∵a=1,b=2, ∴原式=-2 (2-2) 2-4 =2-2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·98· 参 考 答 案