第1讲 乘法公式-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

第二部分 初中知识拓展精讲 第一章 数与式的运算 第1讲 乘法公式 [初中知识回顾] (1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2; (2)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab +b2. [高中知识衔接] (1)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)= a3+b3; (2)立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)= a3-b3; (3)三数和平方公式(a+b+c)2=a2+ b2+c2+2(ab+bc+ac); (4)两数和立方公式(a+b)3=a3+3a2b +3ab2+b3; (5)两数差立方公式(a-b)3=a3-3a2b +3ab2-b3. 衔接点一 平方差公式与完全平方公式的 应用 【例1】 (1)从边长为a的正方形剪掉一个 边长为b的正方形(如图1),然后将剩余 部分拼成一个长方形(如图2). 上述操作能验证的等式是 ; (2)若x2-9y2=12,x+3y=4,求x- 3y的值; (3)计算:(1-1 22 )(1-1 32 )(1-1 42 )…(1- 1 2 0212 )(1- 1 2 0222 ). 【解】 (1)图1阴影部分的面积可以看 作是两个正方形的面积差,即a2-b2,图 2是长为a+b,宽为a-b的长方形,因 此面积为(a+b)(a-b), 由图1、图2阴影部分的面积相等可得, a2-b2=(a+b)(a-b). (2)∵x2-9y2=12, 即(x+3y)(x-3y)=12, 而x+3y=4, ∴x-3y=12÷4=3, 答:x-3y的值为3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·5· 第二部分 初中知识拓展精讲 (3)原式=(1-12 )(1+12 )(1-13 )(1+ 1 3 )(1-14 )(1+14 )…(1- 12 021 )(1+ 1 2 021 )(1- 12 022 )(1+ 12 022 ) =12× 3 2× 2 3× 4 3× 3 4× 5 4× …×2 020 2 021 ×2 022 2 021× 2 021 2 022× 2 023 2 022= 1 2× 2 023 2 022 =2 023 4 044. 【例2】 对于形如x2+2ax+a2 这样的二 次三项式,可以用公式法将它分解成 (x+a)2的形式.但对于二次三项式x2 +2ax-3a2,就不能直接运用公式了.此 时,我们可以在二次三项式x2+2ax- 3a2中先加上一项a2,使它与x2+2ax 的和成为一个完全平方式,再减去a2,整 个式子的值不变,于是有:x2+2ax-3a2 =x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2- (2a)2=(x+3a)(x-a).像这样,先添 一适当项,使式中出现完全平方式,再减 去这个项,使整个式子的值不变的方法 称为“配方法”. (1)利用“配方法”计算x2-2x-8; (2)若a+b=5,ab=3.求(a-b)2的值; (3)已知x是任意实数,试比较x2-6x+ 10与-x2+2x-3的大小,并说明理由. 【解】 (1)x2-2x-8 =x2-2x+1-1-8 =(x-1)2-9=(x-1+3)(x-1-3) =(x+2)(x-4). (2)因为a+b=5,ab=3, 所以a2+b2=(a+b)2-2ab =52-2×3=19, 所以(a-b)2=a2-2ab+b2 =19-2×3=13. (3)x2-6x+10>-x2+2x-3理由: 因为x2-6x+10=x2-6x+9-9+10 =(x-3)2+1≥1,-x2+2x-3=-(x2- 2x+1)+1-3=-(x-1)2-2≤-2, 所以x2-6x+10>-x2+2x-3. [跟踪训练] 1.先阅读材料,再回答问题: 分解因式:(a-b)2-2(a-b)+1 解:设a-b=M,则原式=M2-2M+1 =(M-1)2 再将a-b=M 还原,得到:原式=(a-b -1)2 上述解题中用到的是“整体思想”,它是 数学中常用的一种思想,请你用整体思 想解决下列问题: (1)分解因式:(x+y)(x+y-4)+4 (2)若a为正整数,则(a-1)(a-2)(a-3) (a-4)+1为整数的平方,试说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·6· 初高中衔接教材 衔接点二 立方和(差)公式的应用 【例3】 计算: (1)(4+m)(16-4m+m2); (2)(15m- 1 2n )(1 25m 2+110mn+ 1 4n 2). 【解】 (1)原式=(4+m)(42-4m+m2) =43+m3=64+m3. (2)原式=(15m- 1 2n )[(1 5m )2+15m× 1 2n+ (1 2n )2] =(15m )3-(12n )3 = 1125m 3-18n 3. [跟踪训练] 2.若(x2+mx+n)(x-1)=x3-1,则m+ n等于 ( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 衔接点三 整体代换求值 【例4】 已知x+1x=3 ,求: (1)x2+1x2 ; (2)x3+1x3. 【解】 ∵x+1x=3 ,∴ (1)x2+1x2= (x+1x )2-2 =32-2=7. (2)x3+1x3= (x+1x )(x2-1+1x2 ) =(x+1x )[(x+1x )2-3] =3×(32-3) =18. [跟踪训练] 3.已知a+1a=3 ,求a2+1a2 ,a3+1a3 ,a4+ 1 a4 的值. 1.(1)19a 2-14b 2=(13a+ 1 2b )( ); (2)(4m+ )2=16m2+4m+ . 2.下列式子变形不正确的是 ( ) A.(x-4y)(x2+4xy+16y2)=x3 -64y3 B.(12x-y )3=18x 3-34x 2y+ 3 2xy 2 -y3 C.(2x-3y+z)2=4x2+9y2+z2- 12xy-6yz+4xz D.(x+3)(x2-6x+9)=x3+27 3.有若干张正方形和长方形卡片如图①所 示,其中A 型、B 型卡片分别是边长为 a,b的正方形,C 型卡片是长为a、宽为b 的长方形. 【操作一】 若用A 型卡片1张,B 型卡 片9张,C 型卡片6张拼成一个正方 形,则这个正方形的面积为 , 正方形的边长为 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·7· 第二部分 初中知识拓展精讲 【操作二】 将C 型卡片沿如图①所示虚 线剪开后进行拼图,得到如图②所示的 大正方形和小正方形(阴影部分),则选 取C 型卡片 张,小正方形面积 可表示为 ; 【操作三】 如图③,将2张A 型卡片和2 张B 型卡片无叠合地置于长为2a+b、 宽为a+2b的长方形中,若图②中阴影 部分的面积为4,图③中阴影部分的面积 为15,记每张A 型、B 型、C 型卡片的面 积分别为SA,SB,SC,求SA+SB+SC 的值. 4.计算: (1)(x-3y-4z)2; (2)(2a+1-b)2-(a-b)(a+2b); (3)(a+b)(a2-ab+b2)-(a+b)2; (4)(a-4b)(14a 2+4b2+ab). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·8· 初高中衔接教材 5.已知a+b+c=0,ab+bc+ca=-12 ,求 下列各式的值. (1)a2+b2+c2; (2)a4+b4+c4. 6.设x= 5-12 ,求x4+x2+2x-1的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第2讲 因式分解———十字相乘法 [初中知识回顾] 二次项系数为1的十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数,把二次 三项式分解因式的方法叫做十字相乘 法.对于二次三项式x2+bx+c,若存 在 pq=c p+q=b ,则x2+bx+c=(x+p) (x+q). 要点诠释:(1)在对x2+bx+c分解因式 时,要先从常数项c 的正、负入手,若 c>0,则p、q 同号(若c<0,则p、q 异 号),然后依据一次项系数b的正负再确 定p、q的符号; (2)若x2+bx+c中的b、c为整数时,要 先将c分解成两个整数的积(要考虑到分 解的各种可能),然后看这两个整数之和 能否等于b,直到凑对为止. [高中知识衔接] 二次项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中,如 果二次项系数a可以分解成两个因数之 积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两 个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·9· 第二部分 初中知识拓展精讲 参考答案 第二部分 初中知识拓展精讲 第一章 数与式的运算 第1讲 乘法公式 【题型衔接】 [跟踪训练] 1.解:(1)设M=x+y, 则原式=M(M-4)+4=M2-4M+4 =(M-2)2, 将M=x+y 代入还原可得原式=(x+y- 2)2. (2)原式=(a-1)(a-4)(a-2)(a-3)+1 =(a2-5a+4)(a2-5a+6)+1 令N=a2-5a+4, ∵a为正整数, ∴N=(a-1)(a-4)=a2-5a+4也是整数, 则原式=N(N+2)+1=N2+2N+1 =(N+1)2, ∵N 为整数, ∴原式=(N+1)2 即为整数的平方. 2.D ∵x3-1=(x2+x+1)(x-1),∴m=n= 1,m+n=2. 3.解:a2+1a2= (a+1a )2-2a×1a=3 2-2=7; a3+1a3= (a+1a )(a2-1+1a2 ) =3×(7-1)=18; a4+1a4= (a2+1a2 )2-2a2×1a2=7 2-2=47. 【衔接自测训练】 1.解析:(1)19a 2-14b 2=(13a+ 1 2b )(1 3a- 1 2 b). (2)(4m+12 )2=16m2+2×12×4m+ (1 2 )2. 答案:(1)13a- 1 2b (2)12 1 4 2.D 对于 A,(x-4y)(x2+4xy+16y2)= (x-4y)[x2+x·4y+(4y)2]=x3-(4y)3= x3-64y3,故A正确; 对于B,(12x-y )3=(12x )3-3(12x )2y+3× 1 2xy 2-y3= 1 8x 3-34x 2y+ 3 2xy 2-y3,故 B正确; 对于C,(2x-3y+z)2=[2x+(-3y)+z]2 =(2x)2+(-3y)2+z2+2[2x·(-3y)+ (-3y)z+2xz] =4x2+9y2+z2-12xy-6yz+4xz,故 C 正确; 对于D,x3+27=x3+33=(x+3)(x2-3x+9), 故D不正确. 3.解析:【操作一】 由题意知,正方形的面积为 a2+6ab+9b2, ∵a2+6ab+9b2=(a+3b)2, ∴正方形的边长为a+3b. 【操作二】 由图②知,选取C 型卡片2张,小正 方形面积为:(a-b)2. 【操作三】 由图②得,(a-b)2=4, 即a2-2ab+b2=4,① 由图③得,(2a+b)(a+2b)-2a2-2b2=15, 化简得,ab=3,② 将②代入①得,a2+b2=10, ∴SA+SB+SC=a2+b2+ab=13. 答案:【操作一】 a2+6ab+9b2 a+3b 【操作二】 2 (a-b)2 【操作三】 见解析 4.解:(1)(x-3y-4z)2 =(x-3y)2-8z(x-3y)+(4z)2 =x2-6xy+9y2-8xz+24yz+16z2. (2)(2a+1-b)2-(a-b)(a+2b) =(2a+1)2-2b(2a+1)+b2-a2-2ab+ab +2b2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·78· 参 考 答 案 =4a2+4a+1-4ab-2b+b2-a2-2ab+ab +2b2 =3a2+4a+1-5ab-2b+3b2. (3)(a+b)(a2-ab+b2)-(a+b)2 =a3+b3-(a2+2ab+b2) =a3+b3-a2-2ab-b2. (4)(a-4b)(14a 2+4b2+ab) =14 (a-4b)(a2+16b2+4ab) =14a 3-16b3. 5.解:(1)由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc +2ca,可得a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc +ca)=1. (2)由ab+bc+ca=-12 ,得(ab+bc+ca)2= a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=14 , 所以a2b2+b2c2+c2a2=14-2abc (a+b+c) =14 , 所以a4+b4+c4=(a2+b2+c2)2-2(a2b2+ b2c2+c2a2)=12. 6.解:∵x= 5-12 ,∴x2=3-52 . ∴x2=1-x,x4=(1-x)2=x2-2x+1. ∴原式=(x2-2x+1)+x2+2x-1 =2x2=2×3-52 =3-5. 第2讲 因式分解———十字相乘法 【题型衔接】 [跟踪训练] 1.解:x2-3x-4=x2+(1-4)x+1×(-4) =(x+1)(x-4). 2.解:(1)10x2+x-21=(2x+3)(5x-7). (2)(x2-4x)2+7(x2-4x)+12 =(x2-4x+4)(x2-4x+3) =(x-2)2(x-1)(x-3). 3.解析:(1)4x2-3xy-2y2=4(x2- 3 4xy- 1 2 y2) =4(x2-34xy+ 9 64y 2-12y 2-964y 2) =4[(x-38y )2-4164y 2] =4(x-38y+ 41 8y )(x-38y- 41 8y ) =4(x-3- 418 y )(x-3+ 418 y ). (2)解法一:2x2-3x-1=2(x2-32x- 1 2 ) =2(x2-32x+ 9 16- 9 16- 1 2 ) =2[(x-34 )2-1716 ] =2(x-34+ 17 4 )(x-34- 17 4 ) =2(x-3- 174 )(x-3+ 174 ). 解法二:令2x2-3x-1=0, ∵Δ=(-3)2-4×2×(-1)=9+8=17>0, ∴x1= 3+ 17 4 ,x2= 3- 17 4 , ∴2x2 -3x-1=2(x-3- 174 )(x- 3+ 17 4 ). 答案:(1)4(x-3- 418 y )(x-3+ 418 y ) (2)2(x-3- 174 )(x-3+ 174 ) 【衔接自测训练】 1.B ∵(x-5)(x+n)=x2+(n-5)x-5n, ∴-5n=-10,m=n-5, 解得n=2,m=-3, ∴m+n=-3+2=-1.故选B. 2.解析:∵x2-3xy+2y2=0, ∴(x-y)(x-2y)=0, ∴x=y或x=2y, ∵x>y, ∴x=2y, ∵四个长方形的面积均为S, ∴EP=Sx ,EN=Sy , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·88· 初高中衔接教材