3.4 一元一次方程的应用 行程问题 课件-2024-2025学年湘教版（2024）七年级数学上册

3.4一元一次方程的应用 --行程问题 情景引入 思考？ 1、刚刚视频中涉及到哪些数学知识？ 2、你知道他们之间的关系吗？ 速度 路程 时间 行程问题中常见的量： 路程(s)、时间(t)、速度(v) 公式：路程=速度✖时间 一、若杰瑞的速度是6米/秒，则它5秒跑了 米． 二、若汤姆的速度是7米/秒，要抓到14米远处正在吃食物而毫无防备的杰瑞需要_____秒． 三、若杰瑞想在4秒钟内抢在汤姆前面吃到放在30米处的奶酪，则它至少每秒钟要跑_____米． 30 2 7.5 小试身手 常见的行程问题类别： 地方 常见的有相遇问题 还有追及问题 相向运动（相遇问题） 相向运动 例1 小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h （1）如果他们同时出发，那么他们经过多少小时相遇？ 一、相遇问题： 小明路程＋小红路程＝两家之间的距离 解:设小明与小红骑车走了x h后相遇， 则 13x + 12x = 20 . 解得 x = 0.8 . 答：经过0.8 h他们两人相遇. 分析：（1）解：设他们经过x小时两车相遇. 速度 时间 路程 小明 13 x 13x 小红 12 x 12x （2）如果小明先走30min，那么小红骑车要多少小时才能与小明相遇？ 速度（km/h） 时间（h） 路程（km） 小明 小红 解：（2）设小红骑车走了t h后与小明相遇， 13 12 (t+0.5) t 13(t+0.5) 12t ﹏ 合作交流 例1 小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h. （2）如果小明先走30min，那么小红骑车要多少小时才能与小明相遇？ 小明 小红 小明先行路程 小红的路程 （小明先行路程＋小明后行路程）＋小红路程＝总路程 小明后行路程 解: 设小红骑车走了t h后与小明相遇 探究新知 则 13(0.5 + t )+12t = 20 解得 t = 0.54 答：小红骑车走0.54h后与小明相遇。 变式1：小明与小红的家相距30km，小明从家里出发骑自行车去小红家，小红从家里出发骑自行车去小明家，已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h.若两人同时出发，相向而行，经过多少时间，两人相距5千米？ 变式2：小明、小红在400米长的环形跑道上练习跑步，小红每秒跑4米，小明每秒跑6米.若两人同时同地反向出发，多长时间两人首次相遇？ 变式1：小明与小红的家相距30km，小明从家里出发骑自行车去小红家，小红从家里出发骑自行车去小明家，已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h.若两人同时出发，相向而行，经过多少时间，两人相距5千米？ 解：设经过x小时两人相距5千米 变式2：小明、小红在400米长的环形跑道上练习跑步，小红每秒跑4米，小明每秒跑6米.若两人同时同地反向出发，多长时间两人首次相遇？ 解：设x秒后两人首次相遇 归纳总结 对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系． 两人从两地出发相向而行的行程问题称为相遇问题． 往往根据路程之和等于总路程列方程．如图所示，甲的行程＋乙的行程＝两地距离． 二、追及问题 例2 小明早晨要在7：20以前赶到距家1000米的学校上学．一天，小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现 他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 变式3：敌我两军相距4km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km时发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？ 解：设战斗是在开始追击后x小时发生的. 根据题意，得(8－5)x＝4－1. 解得 x＝1. 答：战斗是在开始追击后1小时发生的. 探究新知 行程问题 探究： 一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需 4 h，逆水航行时需 5 h. 已知水流速度为 2 km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少? 顺水时 逆水时 船的速度＝船在静水中的速度＋水流速度 船的速度＝船在静水中的速度－水流速度 行船问题 分析： 轮船顺水航行的路程＝轮船逆水航行的路程 解：设轮船在静水中的航行速度为 x km/h. 根据上述等量关系，可列出方程： 去括号，得 4x＋8＝5x－10， 移项，得 4x－5x＝－10－8， 合并同类项，得 －x＝－18， x＝18. 因此，轮船在静水中的航行速度为 18 km/h. 4(x＋2)＝5(x－2). 练一练 1. 汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少 1.5 小时. 已知船在静水的速度为 18 千米/时，水流速度为 2 千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？ 分析：本题是行程问题，故有： 路程 = 平均速度×时间； 时间 = 路程÷平均速度. 但涉及水流速度，必须要掌握： 顺水速度 = 船速+水速；逆水速度 = 船速－水速. 解：设甲、乙两地的距离为 x 千米， 等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间 = 1.5 依题意，得 解方程，得 x = 120 答：甲乙两地之间的距离为 120 千米. 想一想，这道题 是不是只有这一 种解法呢？ 方法一：直接设元法 解：设汽船逆水航行从乙地到甲地需 x 小时， 则汽船顺水航行的距离是 (18+2)(x－1.5) 千米， 逆水航行的距离是 (18 －2)x 千米. 等量关系：汽船顺水航行的距离 = 汽船逆水航行的距离. (18 －2) ×7.5 = 120 答：甲、乙两地距离为 120 千米. 依题意，得： (18+2)(x－1.5) = (18－2)x x = 7.5 解方程，得： 方法二：间接设元法 新知探究 知识点1 追及问题 小明每天早上要在7：50之前赶到距家1 000 m的学校上学.一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他. 想象一下追及的过程，你能用一个图 直观表示问题中各个量之间的关系吗? 追及问题 假设爸爸追上小明用了x分钟. 180x 80×5 80x 追上 爸爸追赶小明时走的路程：180x 小明5 min走的路程：80×5 小明在爸爸追时走的路程：80x 追及问题 假设爸爸追上小明用了x分钟. 180x 80×5 80x 追上 爸爸 小明 【分析】当爸爸追上小明时，两人所行路程相等， 小明走的总时间－爸爸追的时间=5 min. 追及问题 180x 80×5 80x 追上 爸爸 小明 解：(1)设爸爸追上小明用了x min. 根据题意，得 180x=80x＋80×5. 因此，爸爸追上小明用了4 min． 化简，得 100x=400. x=4. 追及问题 (2)爸爸追上小明时，距离学校还有多远？ 180×4 1 000 m ？ 小明每天早上要在7：50之前赶到距家1 000 m的学校上学.一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他. 追及问题 (2)爸爸追上小明时，距离学校还有多远？ 180×4 1 000 m ？ 解：180×4=720(m) 1 000－720=280(m) 所以，爸爸追上小明时，距离学校还有280 m. 归纳： 追及问题 追及问题 (1)对于同向同地不同时的问题 （出发地、追及地相同，出发时间不同） S甲＝S乙先＋S乙后． 对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系． Lavf57.62.100 Lavf57.62.100 $$