精品解析：黑龙江省大庆铁人中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

铁人中学2023级高二下学期期中考试 数学试题 试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟. 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题部分 一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 5或3 D. 4或6 【答案】D 【解析】 【分析】运用组合数性质可求得结果. 【详解】因为， 所以或， 解得：或. 故选：D. 2. 函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性，得到，，再由平均变换的几何意义得到，结合图象得到图象在点处的切线的斜率小于，即可求解. 【详解】由题意，根函数的图象， 当时，函数为递增函数，所以， 当时，函数为递减函数，所以， 又由表示两点的连线的斜率， 可得， 因为两点连线的斜率为，由图象知在点处的切线的斜率小于， 所以. 故选：D. 3. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360、253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为（ ）（用数字作答） A. 20 B. 25 C. 30 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】分“凸数”中有0和无0两种情况，结合题意可得“凸数”的总个数. 【详解】由题可得若“凸数”中有0，则0在“凸数”的个位数，剩下两数， 因大小关系限制，相当于从5个中选2个，有种情况； 若“凸数”中没有0，则先从剩下5个数中，选3个，有种可能性， 由于十位数最大，个位数与百位数没有限制，故将3数中最大数放在十位， 剩下两数有2种安排方法，故共有种情况. 则共有种方法. 故选：C 4. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列求，再应用期望的性质求即可. 【详解】由题设， 所以. 故选：C 5. 春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（     ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】对五个区域进行编号，依次分析、、、的布置方案种数，结合分步乘法与分类加法计数原理可得结果. 【详解】如下图所示： 区域有种选择，区域有种选择， 若区域、种同一种花，则区域有种选择，区域有种选择； 若区域、种所种的花不同，则区域有种选择，区域有种选择. 由分步乘法和分类加法计数原理可知，不同的布置方案种数为. 故选：A. 6. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)=（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出事件A和事件AB的概率，再利用条件概率公式即可计算得解. 【详解】依题意，， 因第一次取奇数有5种方法，第二次取3的倍数有3种方法，其中第一次取3，第二次取3和第一次取9，第二次取9重复2种， 则事件AB所含基本事件个数为：，因此得， 由条件概率公式得：， 所以. 故选：B 7. 下列结论不正确的是（    ） A. （为正整数且） B. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 C. 甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 D. 把6个相同的小球分到3个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有10种 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由排列数定义可判断选项正误；对于B，由分步计数原理可判断选项正误；对于C，先排剩下3人，再将甲丙两人插入3人所产生的4个空中，据此可判断选项正误；对于D，相当于在6个球所产生的5个空中，放入2个隔板，使分成3份，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，每个人，都有4种可能的工作安排，则5个人的安排方法共有种可能性，故B正确； 对于C，先安排除了甲丙以外剩下的3人，有种方法，再将甲丙两人，安排进3人排列所产生的空中，有种方法，故共有种方法，故C错误； 对于D，相当于在6个球所产生的5个空中，放入2个隔板，使分成3份，则有种方法，故D正确. 故选：C 8. 已知函数是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论中正确的是（ ） A. 恒成立 B. 当且仅当时， C. 恒成立 D. 当且仅当时， 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，求导后与已知不等式的变形相同，再利用单调性和判断即可. 【详解】因为函数是定义在上的减函数，所以， 又， 所以， 令，则， 则在上单调递增，且， 故时，；时，；时， 则， 所以恒成立. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于能发现已知不等式变形后与构造导数相同. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 对于 的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有 5 项 B. 展开式的各项系数之和为 C. 展开式中的常数项是 15 D. 展开式的各二项式系数之和为 32 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式展开式的性质即可求解A，利用赋值法即可求解B，由二项式系数和的性质即可求解D，根据通项特征即可求解C. 【详解】对于A，，故展开式共有6项，A错误， 对于B，令，则，B正确， 对于C，展开式中的通项是，令，则，故常数项为，C错误， 对于D，展开式的二项式系数和为，D正确， 故选：BD 10. 已知函数.，则（ ） A. 有3个零点 B. 过原点作的切线，有且仅有一条 C. 与交点的横坐标之和为0 D. 在区间上的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数分析函数的性质，可依次判断选项A ，C，D ；通过求过原点作的切线的斜率，可确定切点的数量，从而得到切线的条数，判断选项B的正误. 【详解】函数的定义域为R，. 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 选项A：，所以函数的简图如下： 所以只有2个零点，所以选项A错误； 选项B：过原点作的切线，设切点为，则切线的斜率为. 由选项A中函数的简图可知. 因为，所以，化简得：，解得:. 所以切点唯一，所以过原点作的切线，有且仅有一条.所以选项B正确； 选项C：因为函数，所以. 因为，所以函数的图象关于点中心对称，且过点. 因为函数的图象也关于点中心对称，且过点，所以与交于点，且其它交点关于点中心对称. 所以与交点的横坐标之和为0，所以选项C正确； 选项D：因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 又，所以在区间上的值域为. 所以选项D错误. 故选：BC. 11. 高考数学试题第二题为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（     ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，由题分别计算，可判断选项正误；对于C，由题可得X或Y的可能取值和对应的概率，据此可判断选项正误；对于D，由C选项及方差计算公式可判断选项正误. 【详解】A选项，若，即该题有两个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故； 若，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择2个，故， 故，故A正确； B选项，当，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项， 故； 当，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选择中选择1个，或选择两个错误选项，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个， 故. 因，则，故B错误； C选项，X的可能取值为0，2，3，其中，表示该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故， 故； Y的可能取值为0，4，6，其中，表示该题有2个正确选项，小明选择了2个正确选项，故， 故. 则，故C正确； D选项，， . 则，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷 非选择题部分 三、填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上) 12. 设事件A，B满足，且，则___________. 【答案】##0.375 【解析】 【分析】利用条件概率的性质及计算公式求解即可. 【详解】因为事件A，B满足， 所以， 又， 所以，解得， 所以， 故答案为： 13. 将甲乙丙丁戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有________种不同分配方法． 【答案】 【解析】 【分析】把5人按或分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可得解. 【详解】分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，则先把5人按分组，有种分组方法， 按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 故答案为：. 14. 函数是一个在生物学中常见的型函数，也称为型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数．记为函数的导函数，则下列序号正确的有____ ① ②函数是减函数 ③函数的最大值是 ④ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①对函数求导然后化简即可验证等式成立；②判断导数的符号可验证函数为递增函数；③根据基本不等式的性质可确定导数的最大值；④将化简得到其值为1，然后求和即可验证. 【详解】对于①： ，①正确. 对于②： 因为，所以是增函数，所以②错误. 对于③： 因为， 根据基本不等式的性质可得， 当且仅当即时，等号成立，此时取最小值4， 从而取最大值为，所以③正确. 对于④： . 所以.所以④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题(本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产的电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为． （1）若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件，求取到的电子元件是次品的概率． （2）若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助相互独立事件的概率乘法公式与全概率公式计算即可得； （2）借助全概率公式与条件概率公式计算即可得. 【小问1详解】 记“电子元件分别由甲、乙、丙、丁生产线生产”为事件、、、， “取到的电子元件是次品”为事件， 由题意得， 又， 所以 ； 【小问2详解】 由题意，得， 又， 所以 ， 所以， 故若取到的电子元件是次品，则该电子元件是乙生产线生产的概率为． 16. 设函数，． （1）若在处切线为，求实数的值； （2）是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，由求出，结合，得到，求出的值； （2）求定义域，求导，分，和三种情况，得到函数单调性和最小值，从而得到方程，求出答案. 【小问1详解】 ， 在处切线为，故，解得， 故，所以，所以， 所以； 【小问2详解】 存在，理由如下： 的定义域为，， 当时，在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，解得，舍去. 当时，令得，，令得，， 若，则，故在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，满足要求， 若，则，故在上单调递减， 故，解得，舍去. 综上，. 17. 一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从盒子中一次性随机摸出4个球. （1）求三种颜色的球都被摸出的概率； （2）记摸出的球的颜色种类数为X，求X的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布概率公式分类求解即可； （2）利用超几何概率公式求解，利用第一问求解，剩下的可用概率和为1，来求解即可得分布列，最后用期望公式求解. 【小问1详解】 从盒子中一次性随机摸出4个球，不同的取法共有种， 三种颜色的球都被摸出的不同取法共有种， 故三种颜色的球都被摸出的概率； 【小问2详解】 由题可知，的取值可能为 且， ， 的分布列为 1 2 3 . 18. 已知函数. （1）若，求在上的最大值； （2）若在上恰有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）-1 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数解析式，求导，根据指数函数单调性以及三角函数的性质，可得函数的单调性，可得答案； （2）利用分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性，求得给定区间上的最值，根据方程与函数的关系，可得答案. 【小问1详解】 若，则， 因为当时，，仅当时，“＝”成立， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为. 【小问2详解】 ，令，则， 当时，由，即，得或. 当时，，递增； 当时，，递减； 当时，，递增； ，，，， 因为在上恰有两个零点， 所以直线与曲线（）恰有两个交点， 所以实数a的取值范围为. 19. 某社区为推行普法宣传，举办社区“普法”知识竞赛.有A，B两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从该类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.设选手李华能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，参赛选手能正确回答问题的概率与回答顺序无关. （1）当时，求李华先回答类问题累计得分为100分的概率； （2）若李华先回答类问题累计得分的期望大于先回答类问题累计得分的期望，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由相互独立事件的概率计算公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别求得先回答类问题得分期望以及先回答类问题得分期望，列出不等式，然后代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题知：回答A类问题累计得分为100分的概率： . 【小问2详解】 先回答A类问题累计得分记为变量，的值为0，40，100 ， ， ， ， 先回答B类问题累计得分记为变量，的值为0，60，100 ， ， ， ， 由， 所以， 解得：. 20. 设函数，为实数. （1）当时，求的极值； （2）已知，若在上单调递增，求的最大值； （3）已知，设为的极值点，求的最大值. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导得出其单调性可求出极值； （2）解法一：依题意可得恒成立，构造函数，求出其最小值可得结果；解法二：依题意恒成立，可得，当时对函数进行验证即可； （3）当时由零点存在定理即可得存在使得，可得为的极小值点，构造函数，即可求出的最大值. 【小问1详解】 当时，，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 解法一：由， 若在上单调递增，必有恒成立； 令，有， 当时，由已知在单调递增，但，不合题意； 当时，令，可得， 故函数的减区间为，增区间为，有， 又由函数单调递减，且. 又由，故a的最大值为. 解法二：，依题意恒成立， 所以，故， 因为，所以， 当时，， 设，则 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以 所以满足题意，即的最大值为； 【小问3详解】 当时，易知单调递增. 易知，， 所以存在使得，即，为的极小值点， 所以， 其中， 设，则 整理得 因为，， 所以当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减， 所以，即的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铁人中学2023级高二下学期期中考试 数学试题 试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟. 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题部分 一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 5或3 D. 4或6 2. 函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360、253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为（ ）（用数字作答） A. 20 B. 25 C. 30 D. 40 4. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 5. 春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（     ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)=（　　） A. B. C. D. 7. 下列结论不正确的是（    ） A. （为正整数且） B. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 C. 甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 D. 把6个相同的小球分到3个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有10种 8. 已知函数是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论中正确的是（ ） A. 恒成立 B. 当且仅当时， C. 恒成立 D. 当且仅当时， 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 对于 的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有 5 项 B. 展开式的各项系数之和为 C. 展开式中的常数项是 15 D. 展开式的各二项式系数之和为 32 10. 已知函数.，则（ ） A. 有3个零点 B. 过原点作的切线，有且仅有一条 C. 与交点的横坐标之和为0 D. 在区间上的值域为 11. 高考数学试题第二题为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（     ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题部分 三、填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上) 12. 设事件A，B满足，且，则___________. 13. 将甲乙丙丁戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有________种不同分配方法． 14. 函数是一个在生物学中常见的型函数，也称为型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数．记为函数的导函数，则下列序号正确的有____ ① ②函数是减函数 ③函数的最大值是 ④ 四、解答题(本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产的电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为． （1）若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件，求取到的电子元件是次品的概率． （2）若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率． 16. 设函数，． （1）若在处切线为，求实数的值； （2）是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 17. 一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从盒子中一次性随机摸出4个球. （1）求三种颜色的球都被摸出的概率； （2）记摸出的球的颜色种类数为X，求X的分布列与期望. 18. 已知函数. （1）若，求在上的最大值； （2）若在上恰有两个零点，求实数a的取值范围. 19. 某社区为推行普法宣传，举办社区“普法”知识竞赛.有A，B两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从该类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.设选手李华能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，参赛选手能正确回答问题的概率与回答顺序无关. （1）当时，求李华先回答类问题累计得分为100分的概率； （2）若李华先回答类问题累计得分的期望大于先回答类问题累计得分的期望，求的取值范围. 20. 设函数，为实数. （1）当时，求的极值； （2）已知，若在上单调递增，求的最大值； （3）已知，设为的极值点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $