2025年河南省南阳市镇平县中考数学三模试卷-

2025年河南省南阳市镇平县中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果向东走3km，记作，那么表示(    ) A. 向东走3km B. 向西走3km C. 向南走3km D. 向北走3km 2.如图所示的“中”字，俯视图是(    ) A. B. C. D. 3.DeepSeeK是由幻方量化创立的人工智能公司推出的一系列AI模型.它采用了混合专家架构.比如总参数达6710亿，但每个输入只激活370亿参数，让模型处理复杂任务时又快又灵活.将370亿用科学记数法表示应为(    ) A. B. C. D. 4.图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的简易图，座位AD和座椅靠背AE的夹角，小桌板BC与座位AD平行，小桌板支撑杆AB与桌面BC的夹角，则座椅靠背AE与小桌板支撑杆AB形成的夹角的度数是(    ) A. B. C. D. 5.下列运算一定正确的是(    ) A. B. C. D. 6.我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为(    ) A. B. C. D. 7.如图，点E为矩形ABCD的对角线AC上一点，过点E分别作，，交矩形各边于点F，M，G，N，且四边形BMEF为正方形.我国数学家杨辉曾在此图形中发现一个与正方形BMEF面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长.若，，则BF的长为(    ) A. 2 B. C. 4 D. 8.如图为一节楼梯的示意图，，，米.现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要米. A. B. C. D. 9.如图，在中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点.已知，，则AB的长为(    ) A. B. 6 C. D. 10.如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为(    ) A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如果关于x的一元二次方程□有两个不相等的实数根，那么“□”内的数可以为______写出一个数即可 12.为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是______. 13.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB在x轴的正半轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若正方形OABC的周长为，则k的值为______. 14.如图，在中，，，，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为______结果保留 15.如图，在中，，，，点P是边AB上的动点，沿CP所在的直线折叠，使点A的对应点落在点处.当与的边平行时，线段AP 的长为______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 计算：； 解不等式： 17.本小题9分 近来，由于DeepSeek的横空出世，大语言模型成为人工智能领域的热门话题.有关人员开展了A、B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据为84，86，86，87，88，89；抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据为65，68，69，81，84，85，86，87，87，88，88，94，95，96，96，96，98，98，99， 抽取的对A、B款AI聊天机器人的评分统计表 机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 88 c 根据以上信息，解答下列问题： 上述图表中______，______，______. 根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由写出一条理由即可 在此次测验中，有180人对A款AI聊天机器人进行评分，240人对B款AI聊天机器人进行评分，请估计此次测验中对聊天机器人不满意的人数. 18.本小题9分 如图，已知，按要求完成下列问题. 分别作出的边AB、AC的中点D、E，连接DE并延长DE到点F，使，连接CF，得四边形要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 根据中作图，求证：四边形DBCF是平行四边形. 19.  20.本小题9分 猕猴桃是西安的特色水果.在销售之际某商场分批每周购进箱装猕猴桃，经统计分析发现，在一段时间内，猕猴桃的每周售价元/箱与第x周之间满足二次函数关系：，调查发现，第2周时，售价y为元/箱；第5周时，售价y为元/箱销售初期由于产量小售价逐渐上涨，销售中后期由于产量的增多售价逐渐下降 根据题意求y与x之间的函数关系式；并求第4周时，售价y的值； 若该段时间内每周猕猴桃的进价元/箱与第x周之间满足关系式，且平均每周销售150箱，试求该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为多少？ 21.本小题9分 如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形AMB，开口部分AB与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸鱼缸内无水，使玻璃棒底端恰在弧AMB的中点M处，发现，将玻璃棒竖立起来时，测得 求的度数，并求AB的长； 求弧AMB的长； 若向鱼缸内加水，使水面的宽度为48cm，求鱼缸内水的深度. 22.本小题10分 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”.例如，，都是“纵三倍点”. 下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；填序号 ①； ②； ③ 已知抛物线均为常数与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； 若抛物线是常数，的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数t，使得当时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 23.本小题10分 【发现问题】如图1，是等边三角形，点E在边AC上，连接BE，以BE为边向下作等边三角形BEF，连接 判断AB和CF的位置关系，并说明理由. 探究CF，CE和BC的数量关系. 【问题拓展】 如图2，是等边三角形，点E在边AC上，点D在边BC上，连接DE，以DE为边向下作等边三角形点F在线段BC下方，连接探究CF，CE和CD的数量关系. 如图3，在菱形ABCD中，，，点P为AB的中点，点E为线段BC延长线上一点，连接EP交AC于点F，以EF为边向上作等边三角形EFG，连接若时，请直接写出CG的长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：如果向东走3km表示，那么表示向西走 故选： 此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向东走记为正，则向西走就记为负，直接得出结论即可． 此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 2.【答案】D  【解析】解：从上面看，是一个矩形，矩形的内部靠中间处有两条纵向的实线，靠两侧分别有两条纵向的虚线． 故选： 根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图是解题关键． 3.【答案】B  【解析】解：370亿 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】C  【解析】解：， ， ， ， ， 故选： 根据得，再根据即可得出答案． 此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：A、，原计算错误，故此选项不合题意； B、，原计算错误，故此选项不合题意； C、，原计算正确，故此选项合题意； D、，原计算错误，故此选项不合题意． 故选： 根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断即可． 本题主要考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方以及合并同类项的法则，熟记公式和运算法则是解答本题的关键． 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】 解：因为如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， 所以； 因为如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， 所以 所以根据题意可列方程组 故选： 7.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD是矩形，，，且四边形BMEF为正方形， 四边形AFEN、四边形ENDG、四边形EMCG都是矩形，， 设，， ， 根据矩形和正方形的性质得：，，， ， ， ， ， ， ∽ ， ， ， 将代入，得：，不合题意，舍去， 故选： 依题意得四边形AFEN、四边形ENDG、四边形EMCG都是矩形，，设，，则，根据矩形和正方形的性质得，，，再根据得，证明和相似得，由此可解出，进而可得BF的长． 此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形的面积，理解正方形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的面积的面积公式，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：， 是直角三角形， 在中，，米， 米， 地毯的长度为米． 故选： 理解题意，得到地毯的长度为的长，利用正切定义求得即可求解． 本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：连接EO并延长交于点H，连接AH，过点O作于F，延长OF交于点G，连接OB， 是的直径， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的半径为， ， 于F， ， 根据折叠的性质得，， ， ， ， 故选： 连接EO并延长交于点H，连接AH，过点O作于F，延长OF交于点G，连接OB，根据圆周角定理求出，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，根据折叠的性质得，，再根据勾股定理求解即可． 此题考查了圆周角定理、折叠的性质、垂径定理、解直角三角形等知识，熟练运用圆周角定理、折叠的性质、垂径定理并作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 菱形ABCD， ， ， ， 当点P运动到BC中点时，PO的长为， 故选： 结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到BC中点时，PO的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 11.【答案】答案不唯一  【解析】解：令“□”内的数为m， 则原方程为 因为此方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得， 所以m的值可以是：答案不唯一 故答案为：答案不唯一 利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：将三个小区分别记为A、B、C， 列表如下： A B C A B C 由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种， 所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为 故答案为： 将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可． 此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13.【答案】4  【解析】解：连接AC，交OB于点E， 由条件可知，， 为等腰直角三角形， ， 正方形OABC的周长为， ， ， ， ； 故答案为： 连接AC，交OB于点E，则：，根据正方形的性质，求出A点坐标，待定系数法求出k的值即可． 本题考查反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握以上知识点是关键． 14.【答案】  【解析】解：设各个部分的面积为：、、、、，如图所示， 两个半圆的面积和是：， 的面积是，阴影部分的面积是：， 图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积． ， 所以图中阴影部分的面积为 故答案为： 图中阴影部分的面积为两个半圆的面积-三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可． 本题考查了扇形面积的计算，关键是圆面积公式的熟练掌握． 15.【答案】2或  【解析】【分析】 根据题意，可以分两种情况：①当时，根据平行线的性质和折叠的性质可得，由等角对等边可得；②当时，设交AC于点D，由三角形内角和定理可得，根据折叠的性质可得，，，由平行线的性质得，由三角形内角和定理可得，在中，，，，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可． 本题主要考查折叠的性质、平行线的性质、解直角三角形、勾股定理，理解题意，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键． 【解答】 解：①当时，如图， 根据折叠的性质可得，， ， ， ， ； ②当时，设交AC于点D，如图， 在中，，， ， 根据折叠的性质可得，，，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 综上，线段AP的长为2或 故答案为：2或 16.【答案】；     【解析】解：原式 ， ， ， ， 根据实数的运算法则进行计算即可． 根据解一元一次不等式的步骤进行计算即可． 本题主要考查了解一元一次不等式及实数的运算，熟知实数的运算法则及解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 17.【答案】15，，96；   A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析；   30人．  【解析】解：由题意得：，即， 款的评分非常满意有个，“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， 把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， 中位数， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， 众数和87； 故答案为：15，，96； 款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数为比B款的中位数高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱答案不唯一； 人， 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的人数共有30人． 用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； 通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； 由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． 18.【答案】见解析．  【解析】解：图形如图所示： 证明：，， ，， ， ， ， 四边形DBCF是平行四边形． 作线段AB，AC的垂直平分线，垂足分别为D，E，连接DE并延长DE到点F，使，连接CF，得四边形DBCF； 证明，即可． 本题考查作图-复杂作图，三角形中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 19.【答案】    【解析】  20.【答案】；   该商场第3周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为1800元．  【解析】解：由题意得：把，代入中得： ， 解得：， ； 设总利润为w元， 由题意得： ， ，， ， 当时，w最大元， 该商场第3周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为1800元． 利用待定系数法求二次函数的解析式进行计算，即可解答； 设总利润为w元，然后根据总利润=单个利润总数量进行计算，即可解答． 本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 21.【答案】解：如图，设圆心为O，连接， 点M是的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ，OA平分， ， ， ， ， ， ； ， 的长； 由题意，， ， ， 当AB在点O的下方时， 综上所述，水面的宽度为48cm，鱼缸内水的深度为32cm或  【解析】如图，设圆心为O，连接，证明是等边三角形，解直角三角形求出AB； 利用弧长公式求解； 分水面在圆心的上方或下方，两种情形分别求出MN即可． 本题考查垂径定理，勾股定理，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 22.【答案】①③；   ；   t的值为1或  【解析】解：①由得， 在直线上只有一个“纵三倍点”：； ②由得：，， 反比例函数的图象上有两个“纵三倍点”：，； ③由得：， 二次函数的图象上只有一个“纵三倍点”：； 故答案为：①③； 抛物线均为常数与直线只有一个交点， 方程有两个相等的实数根，即， ， ①， 抛物线与直线交点是“纵三倍点”， ，， ②， 联立①②，得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 抛物线是常数，的图象上有且只有一个“纵三倍点”， 方程有且只有一个实数根， ， ， ， 根据题意，当时，w的最小值恰好等于t， 当，即时，当时，w有最小值， ， 即， 解得：，舍去， 此时不存在常数t，使得当时，w的最小值恰好等于t； 当，即时，w的最小值为1， 即时，w的最小值为1，不符合题意； 当时，， 即， 解得：舍去，， 存在常数，使得当时，w的最小值恰好等于t； 综上所述，t的值为1或 运用“纵三倍点”的概念作答即可； 由题意得方程有两个相等的实数根，即，可得①，再由抛物线与直线交点是“纵三倍点”，②，联立方程组求解即可； 由抛物线是常数，的图象上有且只有一个“纵三倍点”，可得方程有且只有一个实数根，得出，进而可得，再运用二次函数的性质即可求得答案． 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，点的坐标和二次函数的最值，新定义“纵三倍点”的理解和运用，能够理根据题干当中的定义灵活运用二次函数的相关知识是解答本题的关键． 23.【答案】，理由见解答；   ，理由见解答；   ，理由见解答；   CG的长为  【解析】解：， 理由：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 理由：由得≌， ， ，， ， 理由：如图2，作交AC于点H， 和都是等边三角形， ，，，，， 是等边三角形，， ， 在和中， ， ≌， ， ， 的长为3， 理由：如图3，作交BC于点R，交AC于点Q， 点E为线段BC延长线上一点， ， 四边边形ABCD是菱形，，，点P为AB的中点， ，， 是等边三角形， ，，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 的长为 由等边三角形的性质得，，，推导出，可根据“SAS”证明≌，得，则，所以，则； 由全等三角形的性质得，因为，所以； 作交AC于点H，由，，，，，证明是等边三角形，，则，可根据“SAS”证明≌，得，则，所以； 作交BC于点R，交AC于点Q，则，由菱形的性质得，因为，点P为AB的中点，所以是等边三角形，，可证明是等边三角形，则，推导出，再证明≌，得，再证明是等边三角形，则，再证明≌，得 此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$