四川省成都嘉祥外国语学校2024-2025学年上学期新七年级分班（奖学金）数学试题

答案与解析 一、1.【答案】B；A；22 【解析】将②代入①，得 ，将$C=B+22$代入①，得$A+B+22=2B$，$A+22=B$，即$B$比$A$长22分米。 【点拨】先根据已知条件列出等式，代入消元，即可求得$A$，$B$的大小关系。 2.【答案】10067 【解析】，，，，，，…，的个位数以$7,9,3,1$四个数为一个周期，$2013÷4=503……1$， 【点拨】每个周期数字之和为$7+9+3+1=20$，共503个周期多一个7。 3.【答案】6 【解析】$240÷60=4$（天），$30÷(1+4)×1=6$（天）。 4.【答案】15 【解析】以$AE$这一边为例，一条边上有3个梯形，共5条边，即可求得共15个梯形。 【点拨】乘法原理：乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积。如果完成一件任务需要分成个步骤进行，做第1步有种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有种方法，……，不管前面步用哪种方法，第步总有种方法，那么完成这件任务共有：种不同的方法。 5.【答案】300 【解析】$40\%×100+20\%a=25\%(100+a)$ 【点拨】浓度的配制问题，两种配制的溶液溶质之和等于目标溶液的溶质。 【考点】浓度问题：将糖溶于水就得到了糖水，糖水甜的程度是由糖与糖水二者质量的比值决定的，糖与糖水质量的比值叫糖水的浓度，这个比值我们将它写成百分数。其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。不光是糖水中存在着浓度，我们日常生活中的盐水、酒精等溶液都存在着浓度的问题。 1.浓度问题相关公式： 溶液=溶质+溶剂 浓度=溶质÷（溶质+溶剂）×100\%$ 2.解决浓度问题常用方法： (1)公式法 (2)根据题意列方程解决浓度问题 (3)十字交叉法：可用于溶液浓度的计算，例如溶液的稀释、浓缩或混合等计算题。 (4)浓度三角法： 6.【答案】70 【解析】根据题意，先分解质因数$9=3×3$，$8=2×2×2$，$6=2×3$，则$9×8×7×6×5×4×3×2×1=(3×3)×(2×2×2)×7×(2×3)×5×(2×2)×3×2×1$，所以可以变换为$9×8×7÷6×5÷4×3×2×1=70$，此时$N$最小，为70。 【考点】分解质因数 概念：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 求最大公因数与最小公倍数一般采用分解质因数法，相同质因数的乘积就是两者的最大公因数；相同质因数的和不同质因数的乘积就是最小公倍数。 7.【答案】 【解析】如题图，连接$PC$，设，，因为$F$是$BC$的三等分点，所以。因为$E$是$AC$的三等分点，所以。又因为，，所以，得将代入①，得a+2a+4a=，则a=，b=， 8.【答案】39 【解析】因为$38²=1444$，$39²=1521$，$1444<1500<1521$，$1500-1444=56$，$1521-1500=21$，$56>21$，即39的平方更接近1500。 【点拨】举出与1500相近的平方数，再与1500相减求出与1500最相近的平方数。 9.【答案】3.3 【解析】因为上坡路与下坡路的长度之比是$8:3$，上坡时的速度是每小时3千米，下坡时的速度是每小时4.5千米，所以。又因为1小时走完全程，所以，，。 【点拨】根据路程与速度比求出上、下坡时间之比。 【考点】上下坡问题：上下坡问题即变速问题（注意：平均速度=总路程÷总时间）。常用方法是把一个往返当作一个整体来看，去时上坡路回来就变下坡路，去时下坡路回来就变上坡路，则上坡路与下坡路的路程相等，即都等于原来的路程。可以将这类题型看作行程、比……的问题来解决。 10.【答案】36 【解析】$1-18\%=82\%$，红笔每支少付：$5×(85\%-82\%)=0.15$（元），黑笔每支少付：$9×(82\%-80\%)=0.18$（元），因为红笔多付的钱=黑笔少付的钱，所以红笔与黑笔数量之比为钱数之比的反比，$0.18:0.15=6:5$，红笔：（支）。 【点拨】总价一定，单价和数量成反比。 11.【答案】5759 【解析】设这三个不同的质数是$a$，$b$，$c$，因为1997个数都为奇数，其中三个数不是1，所以其他1994个数都为1。$1994+a+b+c=abc$。(1)当$a=3$，$b=5$时，$1994+3+5+c=15c$ 14c=2002 c=143 因为143=11×13，所以c不是质数，不符合题意； (2)当a=3，b=7时， 1994+3+7+c=21c 20c=2004 c=100.2 c不为整数，不符合题意； (3)当a=5，b=7时， 1994+5+7+c=35c 34c=2006 c=59 因为59为质数，符合题意，所以a=5，b=7，c=59。 【点拨】本题考查质数与奇数，分类讨论即可。 12.【答案】6 【解析】由8，5两个数字组成的三位数有： -两个8，1个5：588，858，885； -两个5，1个8：558，585，855， $3+3=6$（种）。 【点拨】分类枚举，然后把所有可能性相加即可。 13.【答案】23 【解析】以最极端的状态作为思维出发点，不妨设这7个点分别为，则： -从可分别连，共6条线段。 -从可分别连，共6条线段。 -…… -从可分别连，共6条线段。 因为每条线段在两个端点处各计算了1次，所以7个点之间共连线段：$7×6÷2=21$（条）。 假设这条边，它与其余5个点分别构成5个三角形。 而其他20条边也具有同样性质，所以共产生：$5×21=105$（个）三角形。 不妨设，这个三角形在这三边中共计算了3次，所以这21条边实际构成了$105÷3=35$（个）三角形。 从条件中“7个点之间连接18条线段”可知：我们必须从21条边中删除3条边，且要保证在删除这3条边时“损失”的三角形个数最少。在选取删去的3条边时，由于要使删去的三角形个数最少，所以这3条边本身不能构成三角形，否则就不满足条件，所以不妨删去与这个点相连的6条边中的3条边：，， 删去第1条边——删去：将要损失掉此边与其余5点分别构成的5个三角形：，，，，。 删去第2条边——删去：将要损失掉此边与其余4点分别构成的4个三角形：，，，。 删去第3条边——删去：将要损失掉此边与其余3点分别构成的3个三角形：，，。 这样删去3条边最少要损失掉：$5+4+3=12$（个）三角形。 所以7个点之间连接18条线段，这些线段最多能构成$35-12=23$（个）三角形。 14. 【答案】594 【解析】5的倍数：$1782÷5=356$（个）$\cdots\cdots2$， 6的倍数：$1782÷6=297$（个）， $[5,6]=30$，30的倍数：$1782÷30=59$（个）$\cdots\cdots12$， $356+297-59=594$（张）。 【考点】数的倍数特征： (1)倍数与因数是相互依存的。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 (2)常见数特征： -2的倍数特征：个位上是0,2,4,6,8的数，都能被2整除。 -3的倍数特征：一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。 -5的倍数特征：个位上是0或5的数，都能被5整除。 -7的倍数特征：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7整除，这个数就能被7整除。 -9的倍数特征：一个数各位上的数的和能被9整除，这个数就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 -11的倍数特征：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和之差能被11整除，这个数就能被11整除。 -13的倍数特征：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除，这个数就能被13整除。 -4(或25)的倍数特征：一个数的末两位数能被4(或25)整除，这个数就能被4(或25)整除。 -8(或125)的倍数特征：一个数的末三位数能被8(或125)整除，这个数就能被8(或125)整除。 (3)常用于解决空瓶与实际应用题型中。 15. 【答案】4 【解析】两次亮灯之间相隔$20+40=60$（min）， $60$$min=1$$h$。因为凌晨$5$点最后一次关灯，所以第一次开灯为前一天下午$6$点，到凌晨$5$点共$11$次。 -$7:00$时，时针、分针的最小夹角为$30×5=150°$； -$8:00$时，时针、分针的最小夹角为$30×4=120°$； -$9:00$时，时针、分针的最小夹角为$30×3=90°$； -$10:00$时，时针、分针的最小夹角为$30×2=60°$； 所以第$4$次关灯时，手表的时针与分针首次呈$60$度角。 16. 【答案】$15$ 【解析】每分钟新增的人：$(4×30-5×20)÷(30-20)=2$（份），原有人：$4×30-30×2=60$（份），$60÷(6-2)=15$（分钟）。 【考点】牛吃草问题： 涉及三种量：①原有的草（不变量，简称原草）；②每天长的新草（简称新草，每天新草生长量单位时间内长的草量，不变）；③每头牛每天吃的草（简称每吃量，不变）。这类题目把原有的草与每天长的草量混在一起，考小知识点，使题目出现草的总量每天都在变化（时间变，牛的头数变，牛吃的草量也跟着变），题目出现三个变量与三个不变量。因此量和的策略是“变中抓不变”，解题的关键是找到不变量。用画图和假设先求出每天长的新草，再求出原草，最后求出吃的天数（吃的天数=（原有草量+吃的天数×每天新草量）÷牛的头数）或牛数（牛数=（原有草量+吃的天数×每天新草量）÷吃的天数）。原草=牛的头数×吃草天数-新草量×吃草天数。 二、1. 【考点】裂项消项：用裂项法解题，就是把一个分数拆成两个或两个以上分数相加减的形式，然后求和带差。相互抵消的方法，可大大简化运算，求得结果。首先记住，如果分子是$1$，分母是一个整数，它们能分解成两个连续自然数的乘积，那么就可以进行如下“拆分”。示 2. 3. 4. 5. 三、1.【解析】设食堂原来存面粉$x$千克，则存有大米是$4x$千克。 $4x-80=6(x-80)$ $4x-80=6x-480$ $2x=400$ $x=200$ 大米：$4×200=800$（千克） 粮食店原来存有大米800千克，面粉200千克。 2. 【解析】：现黑兔19-15)×20÷(7-5)=35$（只），原来兔：$35+10=45$（只），原来白兔：$45×5=225$（只）。 【点拨】由和差公式可求现在黑兔只数，进而求原来黑兔、白兔只数。 3. 【解析】：因为跑800m散步需200m14分钟，①跑800m跑步450m14分钟，②×2，得跑800m散步900m28分钟，③-①，得散步700m需14分钟。所以$v_{散}=700÷14=50$（m/min）。跑400m用时：$14-450÷50=5$（min）。 4. 【解析】：设全部为“甲”。因为40分钟，甲、丙第一次相遇，所以，①；又过1分钟，乙、丙第二次相遇，所以，①-②：，。甲、乙同向，追及时间：（秒），再过$200-（40+60）=100秒，甲第一次追上乙。 5. 【解析】：甲、乙工效和：。甲工效：，乙工效：。此时A池水：，B池水：。，。甲管注满A池还需：（h），当甲管注满A池时，B池水量：，乙还需用时：（h）。 【点拨】工作时间一定，工作量和工作效率成正比。 【考点46】工程问题 工程问题研究工作量、工作效率和工作时间三者关系。常把“工作总量”看作单位“1”，工作效率是工作时间的倒数，进而根据三者关系列式：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，合作工作时间=总工作量÷工作效率和。 6. 【解析】：$(45-5)÷2=20$（张），甲还需20+1-18=3（张） 7. 【解析】：$2×14=1008$（人），两个年级共1000人或900人。当有1000人，$1000÷19=53$（辆）；当有900人，$900÷19=53$（辆），都需53辆19座旅游车。五年级比六年级多租7辆，车辆数为奇数。六年级：$(53-7)÷2=23$（辆），人数：$23×19=437$（人）；五年级：$23+7=30$（辆），人数：$30×19=570$（人）。又因14个座位旅游车需72辆，五年级：$570÷14=41$（辆），六年级人数：$(72-41)×14=434$（人）≈430（人）。 8. 【解析】：4犬步=9兔步 1犬步=兔步 犬步：3兔步=2×兔步：3兔步=3：2 15÷（3-2）×3=45（米） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省成都嘉祥外国语学校 2024-2025学年上学期新七年级分班（奖学金）真卷数学试题 （满分：100分　时间：60分钟） 一、填空题（每小题3分，共48分） 1.（找等量关系）有A,B,C三根绳子，A,C的长度之和是B的2倍。如果把C剪去66分米，那么A的长度就是B,C长度之和的一半。A与B相比，______比______长______分米。 2.（周期问题）用表示7×7×7×…×7（n个7相乘）结果的个位数字，如：，，，则______。 3.（工程问题）某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，扣完为止。该工人合同到期后没有拿到报酬，那么他最多出勤______天。 4.（乘法原理）如图，A,B,C,D,E是正五边形各边的中点，那么图中共有______个梯形。 5.（浓度问题）将浓度为40%的100克糖水倒入浓度为20%的a克糖水中，得到浓度为25%的糖水，则a=______。 6.（分解质因数）若将算式9×8×7×6×5×4×3×2×1中的一些“×”改成“÷”，使得计算结果还是自然数，记为N，则N最小是______。 7.（组合图形的面积）如图，三角形ABC的面积为1，D,E为AC的三等分点，F,G为BC的三等分点，那么四边形PECF的面积是______。 8.（完全平方数）一个自然数与它自己相乘，积称为完全平方数。1,4,9,16…是连续的完全平方数，数1500介于两个连续自然数的完全平方数之间，这两个完全平方数中更接近1500的数是______。 9.（上下坡问题）一段路分为上、下坡两段，这两段的长度之比是8:3，已知小青在上坡时每小时走3千米，下坡时每小时走4.5千米，如果1小时刚好走完这段路，这段路共有______千米。 10.（商品问题）小明到商店买红、黑两种笔共66支，红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元。由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价的85%付钱，黑笔按定价的80%付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%，那么他买了红笔______支。 11.（质数与奇数）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积，其中有三个数不是1，而是三个不同的质数。那么，这样的三个质数是______，______，______。 12.（排列组合）小明行李箱锁的密码是由两个数字8与5构成的三位数。某次旅行，小明忘记了密码，他至少要试______次，才能确保打开箱子。 13.（计数原理）在7个点之间连接18条线段，其中每3个点都不在同一条直线上，那么这些线段最多能构成______个三角形。 14.（最小公倍数）我校将1782名学生按0001到1782的顺序编号，在新年联欢会上，编号为5的倍数或6的倍数的同学将得到一张贺年卡，且每人最多得一张，那么联欢会共需准备____张贺年卡。 15.（钟表问题）为节约用电，某地将路灯设置为如下工作模式：每亮灯20分钟就熄灭40分钟。某日小李值夜班，发现路灯共开启11次，凌晨5点最后一次关闭。则第______次关灯时，手表的时针与分针首次呈60度角。 16.（牛吃草问题）某招聘会在入场前若干分钟就开始排队，每分钟来的求职人数一样多，从开始入场到等候入场的队伍消失，同时开4个入口需30分钟，同时开5个入口需20分钟。如果同时打开6个入口，需______分钟。 二、计算题（每小题4分，共20分） 1. 2. 3. 4. 5. 三、解答题（每小题4分，共32分） 1.（找等量关系）原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉80千克后，大米质量是面粉质量的6倍。食堂里原来存有大米、面粉各多少千克？ 2.（和差倍问题）饲养场的白兔只数是黑兔的5倍，后来卖掉了10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍。饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？ 3.（行程问题）李伯伯每天早晨锻炼身体，他第一天跑步800米，散步200米，共用了14分钟；第二天跑步400米，散步450米，也用了14分钟。如果李伯伯跑步的速度和散步的速度保持不变，那么李伯伯散步的速度是每分钟多少米？李伯伯跑步400米要用多少分钟？ 4.（行程问题）甲、乙、丙三人沿着环形跑道从同一起点出发，丙与甲、乙的方向相反。40秒后，甲与丙第一次相遇，又过了1分钟，乙与丙第二次相遇。问再过多少秒，甲将第一次追上乙？ 5.（工程问题）有甲、乙两根水管，分别同时给A,B两个大小相同的水池注水，在相同时间内，甲、乙两管注水量之比是7:5，经过小时，A,B两池中已注水之和恰好是一池水。此后，甲管的注水量提高25\%，乙管的注水量降低30\%，当甲管注满A池时，乙管再经过几小时注满B池？ 6.（最优问题）从六年级（一）班45名同学中选举1名班长，有甲、乙、丙3名候选人，45名同学中每人只能选3名候选人中的1名，不能弃权，当统计了37张选票时，甲得了18张，乙得了5张，如果甲要当选至少还需要得多少张选票？ 7.（差倍问题）我校五、六年级春游的人数都是10的整数倍。如果五、六年级都租用有14个座位的旅游车，则五、六年级需租用这种车72辆；如果都租用19个座位的旅游车，则五年级要比六年级多租用这种车7辆。现在知道五、六年级人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满。问：五、六年级参加这次春游的人数各是多少？ 8.（行程问题）猎犬发现离它15米远的地方有一只奔跑的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑4步的路程兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，猎犬至少要跑多少米才能追上兔子？ 学科网（北京）股份有限公司 $$