2025年湖南省株洲市田心中学中考一模数学试题

湖南省株洲市石峰区田心中学2024-2025学年中考一模数学试题 注意事项： 1.本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效. 2.答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚. 3.答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回. 4.本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟。 阅卷人 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 得分 1．下列四个数中，无理数是（　　） A． B．π C．0.12 D．0 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．正五边形 D．正六边形 3．下列运算正确的是（　　） A．a3+a3=a6 B．2（a+1）=2a+1 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a6÷a3=a3 4．如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（　　） A． B． C． D． 5．据中国国家铁路集团统计，2025年1月1日元旦期间，全国铁路发送旅客1150万人次，数据“1150万”用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 6．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，，则等于(　　) A． B． C． D． 7．为了解某校九年级学生中长跑的成绩情况，随机抽取30名学生的中长跑成绩（满分20分）绘制成下表：关于中长跑成绩的统计量中，一定不随，的变化而变化的是（　　） 成绩/分 15 16 17 18 19 20 人数/人 6 8 5 4 A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 8．对于一次函数给出下列结论：；时图象经过一、二四象限；时图象与坐标轴围成的三角形的面积等于；不论为何值，其图象一点经过一个定点．其中，结论正确的有（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 9．如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 10．从，，，，中任取两数作为，，使抛物线的开口向上，对称轴在轴左侧的概率为（　　） A． B． C． D． 阅卷人 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 得分 11．因式分解：　 　． 12．2024年4月23日是第29个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算．小芳这四项的得分依次为85，95，92，88，则她的最后得分是　 　分． 13．如图，正九边形内接于，为正九边形的一边，点为正九边形的一个顶点，则的大小为　 　． 14．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和， 则n的值为． 15．如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于　 　． 16．如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一个动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为　 　． 阅卷人 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 17．计算：． 18．先化简，再求值：，其中． 19．年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 20．某地区为了解 2023 年初中毕业生毕业后的去向， 对部分九年级学生进行了抽样调查， 就九年级学生的四种去向： A． 读普通高中， B． 读职业高中， C． 满 16 周岁后直接进人社会就业， D． 其他， 进行数据统计， 并绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1） 此次调查共调查了　 　名初中毕业生． （2） 将两幅统计图中不完整的部分补充完整． （3）老师想从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用画树状图或列表法求出同时选中甲和乙的概率． 21．已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 22．2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 23．如图，在平行四边形中，连接，为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，． （1）若，求的长； （2）若，求平行四边形的面积． 24．现将抛物线关于直线的对称抛物线记为，关于点中心对称的抛物线记为． （1）当，，，时，求抛物线和的解析式； （2）当，，时，若直线与抛物线，和有且只有4个交点，求的取值范围； （3）当，时，若抛物线的解析式为，请写出抛物线的解析式． 25． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点．过原点，点和点三点作，再过点作的切线，为上一动点，过作轴的垂线．交轴于点，连接，交于点． （1）求证：； （2）连接，，当时，恰好为等腰三角形，求此时的值； （3）连接，，交于点，时，记的面积为．的面积为，求． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A、a3+a3=2a3，错误； B、2（a+1）=2a+2，错误； C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，错误； D、a6÷a3=a3，正确； 故选D． 【分析】根据同类项合并、多项式乘法、完全平方公式和同底数幂的除法计算判断即可． 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠B=70°， ∴∠C=∠B=70°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC=90°， ∴∠EDC=90°-70°=20°. 故答案为：B. 【分析】由平行线的性质“两直线平行内错角相等”可得∠C=∠B，由垂直的定义可得∠DEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余可求解. 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴； 画树状图如下： ∴共有20种等可能结果，其中满足且的结果有2种结果， ∴使抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧的概率为． 故答案为：B． 【分析】首先根据题意得，，然后利用画树状图法列举出所有可能的情况，以及满足条件的结果数，最后利用概率公式求解即可． 11．【答案】 12．【答案】90 13．【答案】20 14．【答案】 15．【答案】 【解析】【解答】解：由已知得，母线长l=AB==5，半径r=BC=3，∴圆锥的侧面积是． 故答案为：15π． 【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，然后根据面动成体可得该圆锥的母线长l=AB，底面圆的半径r=BC=3，从而根据圆锥侧面积公式S=πlr（l为母线长，r为底面圆半径）直接计算即可. 16．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：过点作于点，轴于点，如图， ∴∠BNC=∠BNO=∠BMO=∠MON=90°， ∴∠NBC=90°－∠NCB=45°=∠NCB，且四边形OMBN为矩形， ∴OM=BN=CN，ON=BM. 是等腰直角三角形， ，， ∵∠POA=∠AMB=90°， ， ， ， ， ， ， ∵， 故答案为：． 【分析】过点作于点，轴于点，证明∠NBC=∠NCB，四边形OMBN为矩形，可得OM=BN=CN，ON=BM.证明△APO≌△BAM，可得得，OA=BM，于是可得ON=BM=OA=3，然后根据即可求解． 17．【答案】解：原式 . 【解析】【分析】利用负整数指数幂，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，二次根式的性质计算，然后加减解题即可. 18．【答案】解：原式 ； 当时，． 【解析】【分析】先利用平方差公式和多项式乘多项式法则化简整式，再将代入化简后的式子计算即可． 19．【答案】（1）解：，，， . （2）解：，，， ， ，， ， ， ， 飞船从处到处的平均速度． 【解析】【分析】（1）利用直角三角形中度角的直角边等于斜边的一半求解； （2）先利用特殊角的三角函数求出OC，OB，再利用AB=OB-OA，求出AB，再求出飞船从处到处的平均速度． 20．【答案】（1）100 （2）解：100×30%=30（人） 1－40%－30%－5%=25%. 故补全条形统计图和全扇形统计图如图： （3）解：根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的结果数有2种，故概率为 ． 【解析】【解答】解：（1）40÷40%=100（人） 故答案为：100. 【分析】（1）用A组的人数÷对应所占的百分比，即可得到调查的总人数； （2）用总人数×B组所占的百分比，可得到B组的人数；用1－其他各组的百分比可得C组所占的百分比；据此即可补全条形统计图和频数分布直方图； （3）画树状图得到所有可能的结果数，以及恰好选中甲和乙的结果数，再利用概率公式计算即可. 21．【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）首先根据等式的性质得出，再根据SAS即可证得； （2）根据，可得，再根据三角形外角的性质即可得出． 22．【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）至少购进5台A型智能机器人． 23．【答案】（1）解：∵， ∴， ∵BG+DG=BD=20， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，. ∵，可设DF=3x，FC=2x， ∴， ∵， ∴，即， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，结合BG+DG=BD=20，即可求出的长； （2）根据平行四边形的性质得出，，，继而可得出，，.设DF=3x，FC=2x，可得AB=CD=5x。由可计算出DM和CM的值，由可得，于是可得，由得，最后根据即可求解． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 24．【答案】（1）解：当，，，时， ∴， ∴顶点坐标为； ∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为， 则抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， ∴抛物线的解析式为； ∵关于点中心对称的抛物线记为， 则抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， ​​​​​​∴抛物线的解析式为； （2）解：当，，时， ∴，顶点坐标为（2，﹣1）. ∴顶点坐标（2，﹣1）关于直线对称的点坐标为（2，2m+1），关于点（0，m）对称的点坐标为（﹣2，2m+1）. ，，. ∵ 直线与抛物线，和有且只有4个交点， ∴和有两个交点A，B（点A在点B左侧），且交点的纵坐标为m，直线与抛物线另外两个交点C，D（点C在点D左侧）， ∴，， ∴，，， ∴m>﹣1，，，，， 可画图如下： 或 ∵，即， 可得：m≠3. ​​​​​故直线与抛物线，和有且只有4个交点时，的取值范围为或． （3）解：当，时， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∵与关于直线 对称， ∴，，， ∴与关于点中心对称， ∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， ∴抛物线的解析式为． 【解析】【分析】（1）首先将a，b，c的值代入并配方得到，然后根据轴对称和关于点对称的性质分别求出抛物线和的顶点坐标和二次项系数，即可得到和的解析式； （2）根据题意分别求出，和的解析式，再根据直线与抛物线，和有且只有4个交点，可得和有两个交点A，B（点A在点B左侧），且交点的纵坐标为m，直线与抛物线另外两个交点C，D（点C在点D左侧），根据交点个数得，，；分别表示出A，B，C和D四点的横坐标，并画出图形，再根据点A和点D不重合，可再确定一个m的取值范围，即可得到答案. （3）首先配方得到，求出抛物线的顶点坐标为，然后配方得到抛物线的解析式为，求出，，，进而求解即可． （1）解：当，，，时， ∴， ∴顶点坐标为； ∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为， ∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， ∴抛物线的解析式为； ∵关于点中心对称的抛物线记为， ∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当，，时， ∴， 如图所示，当时，直线与抛物线，和没有交点； 如图所示，当时，直线与抛物线，和有2个交点； 如图所示，当时，直线与抛物线，和有4个交点； 如图所示，当时，直线与抛物线，和有3个交点； 如图所示，当时，直线与抛物线，和有4个交点； 综上所述，若直线与抛物线，和有且只有4个交点，的取值范围为或． （3）解：当，时， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为， ∴，，， 如图所示， ∵关于点中心对称的抛物线记为， ∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， ∴抛物线的解析式为． 25．【答案】（1）证明：∵为切线， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①当时，． ∵， ∴， ∴， ，，即； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴，， 过点A作， ∵， ∴为等腰直角三角形， ，即； ③当时，， 则是等腰直角三角形， ∴． ∴ ∴ 即，（舍去）， 综上所述：或． （3）解：过点P作于H，；过点A作于点N， ∵， 设， 设， ∵为直径 ∴， ∵， ∴， ∴， 又 ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 则， ∴， ∵， ∴为中位线， ∴． ∴． 【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到：，然后根据同角的补角相等即可求证； （2）根据题意可知需分3种情况讨论，①当时，，利用圆周角定理和等腰直角三角形的判定和性质即可求解；②当时，利用圆周角定理和全等三角形的性质求出，过点A作，利用等腰直角三角形的性质、矩形的判定和性质即可求解；，③当时，则是等腰直角三角形，，即可求解； （3）过点P作于H，；过点A作于点N，设，则，，根据相似三角形的性质得到：，据此列出方程：，则，再证明，则，进而求出CF和PF的长度，最后根据三角形中位线定理和三角形面积计算公式计算即可. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$