精品解析：江西省南昌新民外语学校2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题

新民学校2024—2025学年度第二学期第二次月考 高二数学试卷 命题人： 考试范围：一轮复习 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. 12 C. D. 6 5. 若函数对任意有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 若函数（是自然对数的底数）有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. ““是“”的必要不充分条件 B. 若，则的最大值为 C. 若不等式的解集为，则 D. 命题“，使得”的否定为“，使得” 10. 已知，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 11. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列2，4进行构造，第1次得到数列2，6，4；第2次得到数列2，8，6，10，4；…；第次得到数列2，，，，⋯，，4.记，则（ ） A. B. 为偶数 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知，若，则_______． 13. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是________． 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最小值为_______． 四、解答题 15. 求下列函数的定义域 （1） （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 18. 已知数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民学校2024—2025学年度第二学期第二次月考 高二数学试卷 命题人： 考试范围：一轮复习 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集运算求解即可. 【详解】因为集合，，所以. 故选：D. 2. 命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 则是的真子集， ∴， 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】结合换元思想，令即可代入求解. 【详解】令，则. 故选：A 4. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. 12 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用代换1法求最值即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：A. 5. 若函数对任意有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分为常值函数，为二次函数两种情况，分别列出不等式求解即可 【详解】由题意，函数对任意有 （1）当时，成立； （2）当时，函数为二次函数，若满足对任意有，则 综上： 故选：A 6. 已知等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通向公式和等比中项的性质列式求解即可. 【详解】因为等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列， 设的公差为，则，解得， 所以. 故选：B 7. 若函数（是自然对数的底数）有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，则，令，利用导数说明函数的单调性，画出的图象，依题意与有两个交点，即可得解. 【详解】令，则，则， 令，则，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又当时，当时， 所以的图象如下所示： 依题意与有两个交点，则，则. 故选：D 8. 已知函数，满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，函数在上为减函数，所以，即，解得，所以实数a的取值范围是． 故选：D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. ““是“”的必要不充分条件 B. 若，则的最大值为 C. 若不等式的解集为，则 D. 命题“，使得”的否定为“，使得” 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，解不等式，根据两个不等式解集的包含关系，得到A正确；B选项，化简得到，B正确；C选项，由不等式解集得到，，从而得到；D选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】A选项，，解得或，，解得或， 由于或可以推出或，但或不能推出或， 故““是“”的必要不充分条件，A正确； B选项，，故， 当且仅当时，等号成立，故B正确； C选项，由题意得，，故， 则，C错误； D选项，命题“，使得”的否定为“，使得”，D错误. 故选：AB 10. 已知，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件等式，有，可求的范围判断选项A；利用基本不等式求和的最小值判断BCD. 【详解】，由，解得，A正确； ， 当且仅当时，等号成立，而此时不存在，B错误； 由，得，所以， 当且仅当，即时，等号成立，C正确. 由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD. 11. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列2，4进行构造，第1次得到数列2，6，4；第2次得到数列2，8，6，10，4；…；第次得到数列2，，，，⋯，，4.记，则（ ） A. B. 为偶数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过计算求出，，，的值，并且归纳出每一项与前一项的关系，以及的变化，从而运用归纳法得到，之间的关系，以及之间的关系，利用累加法可得，逐项判断即可得答案. 【详解】由题意得： ，此时 ，此时，则，不为偶数，故B不正确； ，此时，故A正确； ，此时 归纳可得，此时，故C正确； 则，，，……， 累加可得 所以，则，即，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知，若，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据分式有意义可得到的值，再根据相等集合以及集合元素的互异性得到的值，即可求得结果. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以． 故答案为：1. 13. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数性质结合不等式恒成立列式计算求参. 【详解】构造函数，其图象开口向上， 因为不等式对任意恒成立， 所以，即，解得，即， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最小值为_______． 【答案】-1 【解析】 【分析】首先对函数求导，利用导数的几何意义求出，然后构造新函数，对其求导判断单调性和最小值，从而求出的最小值. 【详解】对函数求导得：. 因为直线为曲线的一条切线， 设切点为，令，即①. 又②，用①除以②得：. 所以. 所以,所以. 设，则求导得. 当时，，所以，此时在上单调递增； 当时，，所以，此时在上单调递减. 所以，所以的最小值为-1. 故答案为：-1. 四、解答题 15. 求下列函数的定义域 （1） （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 【答案】（1） （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）由解析式有意义可知，，联立求解即可； （2）通过换元法将原函数转化为二次函数，利用二次函数的顶点公式求最小值. （3）采用换元法，将复合函数表达式转化为关于新变量得多项式. 【小问1详解】 由，得且， 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 ，设，则，且. 代入原式得：， 二次函数开口向上，顶点横坐标为，代入得最小值：， 故值域为； 【小问3详解】 ，设，则， 代入右表达式：， 因此，即. 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）化简集合A与B，根据交集的定义求解即可. （2）根据“”是“”的充分不必要条件，得B是A的真子集，由此得出实数a的取值范围． 【小问1详解】 集合， 当时，，所以. 【小问2详解】 由“”是“”的充分不必要条件，得集合B是A的真子集， 而，则或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 17. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用表示，根据二次函数的性质求得正确答案. （2）利用基本不等式求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，，，且， 所以，所以， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最大值为，此时. 所以的最大值为. 【小问2详解】 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 18. 已知数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系结合条件即得； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 由已知可得， 则， 当时，， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知, ， 则， ， 两式作差相减，可得： ， 则. 19. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，由切点和导数的几何意义得到切线斜率，结合点斜式方程得出结果； （2）问题转化成的恒成立问题，可分离参数处理. 【小问1详解】 当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为，又， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ，由题意得，恒成立． 令，则，且在单调递增， 令，解得， 所以当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 所以， 又，当且仅当，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $