精品解析：江苏省无锡市太湖高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

江苏省太湖高级中学高一阶段性检测 数学 2025.05.26 一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. △ABC中，，，，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 或 3. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下: 甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 下列说法中错误的是（ ） A. 甲的射击成绩的第60百分位数为7.5 B. 甲、乙这次射击成绩的平均值相同 C. 这次射击中乙比甲的成绩稳定 D. 甲、乙这次射击成绩的极差相同 4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与所成的角和与所成的角相等 5. 水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中 ，则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设为的外心，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下面四个命题中，真命题为（ ） A. 若复数z满足则; B. 若复数，则; C. 若复数z满足，则或; D. 若复数，则 10. 设正方体的棱长为2，为线段的中点，为线段上的一个动点，则（ ） A. 存在点，使 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与平面所成角为定值 D. 当点与点重合时，平面截正方体的截面面积为 11. 在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. A的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，，则在上的投影向量的坐标为_____. 13. 如图，在扇形AOB中，，m，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为____m2. 14. 已知四边形ABCD中，，，，，将沿AC折起，连接BD，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为_____，此时该三棱锥的外接球的表面积为_____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量、满足，，且. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角. 16. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，航天员叶光富、李聪、李广苏开始了他们的太空征程.为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取n名学生进行了航天知识竞赛，将成绩（满分:150分）整理后分成五组，从左到右依次记为，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知得分在内的频数分别为500，800. （1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值; （2）估计这n名学生成绩的平均数、86%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）. 17. 如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，，M为上一点， （1）求证：； （2）当平面时，求的值． 18. 在△ABC中，点P在边上，，，. （1）求; （2）若的面积是，求. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面是平行四边形，且，，． （1）求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围注：本大题用空间向量作答不给分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省太湖高级中学高一阶段性检测 数学 2025.05.26 一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则即可. 【详解】由题意得，. 故选：B 2. △ABC中，，，，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，即可求解，由三角形内角和即可求解. 【详解】由正弦定理可得，故, 由于，故，故， ， 故选：A 3. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下: 甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 下列说法中错误的是（ ） A. 甲的射击成绩的第60百分位数为7.5 B. 甲、乙这次射击成绩的平均值相同 C. 这次射击中乙比甲的成绩稳定 D. 甲、乙这次射击成绩的极差相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数、平均值、方差、极差的定义分别计算甲、乙的相关数据，进而判断选项. 【详解】对于选项A： 将甲的成绩从小到大排序：4,4,5,7,7,7,8,9,9,10 . 总共10个数字，. 所以第60百分位数是第6项与第7项的平均数，即.所以A正确. 对于选项B： 甲的射击成绩的平均值为：； 乙的射击成绩的平均值为：； 所以甲、乙射击成绩的平均值相同.所以B正确. 对于选项C： 因为甲、乙的平均值相同，则计算甲的方差为： 乙的方差为： 因为，所以乙的成绩比甲稳定，所以C 正确. 对于选项D： 甲的射击成绩的极差为：；乙的射击成绩的极差为：； 所以甲、乙的极差不相同，D错误. 故选：D. 4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与所成的角和与所成的角相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中点线面之间平行和垂直的判定定理以及性质定理，分别判断各选项的正误可得答案. 【详解】A.，， ，存在，使得，此时，则，故A正确. B.，平面与平面没有公共点， ，直线与平面没有公共点，即，故B正确. C. 如图所示，当平面与平面不垂直时，设，平面上存在直线，故C错误. D.，直线与平面所成的角相等，同理，直线与平面所成的角相等， ，与所成的角和与所成的角相等，故D正确. 故选：C. 5. 水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中 ，则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得，,绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积. 【详解】根据“斜二测画法”可得，，， 绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体， 它的表面积为. 故选: 【点睛】本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易. 6. 如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据相似三角形可得，结合平面向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得，所以， 在中，， 即， 即，整理得. 故选：C 7. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知等式切化弦后由三角函数恒等变换变形后由正弦定理化角为边，得边角关系表示出，由平方关系得，再由余弦定理表示，从而可得边的关系，最终三角形面积可表示一个边长函数式，结合二次函数知识可得最大值． 【详解】，，即， ， ， 由正弦定理知，， ，即， ， 由余弦定理知，， 化简得， 面积 ， 当时，有最大值为． 故选：D． 8. 设为的外心，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，即，然后可得的余弦值，利用余弦定理和正弦定理可得. 【详解】设AC中点为M，的外接圆半径为，连接OM，则， ，，即， ， ， ， ， 在中，由正弦定理， 故选：D. 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下面四个命题中，真命题为（ ） A. 若复数z满足则; B. 若复数，则; C. 若复数z满足，则或; D. 若复数，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可逐项判断 【详解】对于A，设复数，则， 故，即或，当，为纯虚数时成立，故A错误； 对于B，设，， ，，即， 又，， 所以，故B正确； 对于C，， 则， 即， 解得或，即或，故C正确； 对于D，，则，例，此时，但，故D错误； 故选：BC. 10. 设正方体的棱长为2，为线段的中点，为线段上的一个动点，则（ ） A. 存在点，使 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与平面所成角为定值 D. 当点与点重合时，平面截正方体的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质即可判断选项A；根据等体积转化求出三棱锥的体积即可判断选项B；根据线面所成角的定义即可判断选项C；作出截面，求出截面面积即可判断选项D. 【详解】在正方体中，∴平面，平面，∴. ∵，，，平面，平面，∴平面. ∵平面，∴. ∴点与点重合时，，故选项A正确； 如图所示，，故选项B正确； 过点作交于点. ∵平面，∴平面， ∴即为直线与平面所成角，. ∵的长度在变化，∴直线与平面所成角不为定值，故选项C错误； 当点与点重合时，取线段的中点，线段的中点，连接，，，，. ∵为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点， ∴，，∴四边形为平行四边形，∴，. 又，，∴四边形为平行四边形，∴，. ∴，，∴四边形为平行四边形. 又，∴四边形为菱形，∴平面截正方体的截面为菱形. 又，∴， 即平面截正方体的截面面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. A的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正弦定理边化角、诱导公式、和差角公式计算可判断A项，结合A项、三角形内角和及锐角三角形计算可判断B项，运用正弦定理将问题转化为三角函数在区间上求值域可判断C项，运用切化弦、差角公式化简式子，由换元法将问题转化为求在上的值域，结合对勾函数的性质求解即可判断D项． 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又因为，所以， 即， 整理得，即 对于A项，因为A、B、C均为锐角，所以，即， 若，则，则，故A项正确； 对于B项，因为，，所以， 因为A、B、C均为锐角，所以，即，解得， 所以A取值范围为，故B项正确， 对于C项，由正弦定理得，， 所以，所以．故C项正确． 对于D项，由A项知，，由B项知，，所以， 所以，， 令，则，所以，， 令，，由对勾函数性质知函数在上单调递增， 又，，所以，即范围为，故D项错误； 故选：ABC． 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，，则在上的投影向量的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律可得，再由投影向量的定义求在上的投影向量的坐标. 【详解】由题设，则， 所以在上的投影向量为. 故答案为： 13. 如图，在扇形AOB中，，m，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为____m2. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据已知及正弦定理求得，再结合差角正弦公式、三角形及扇形面积公式求面积. 【详解】设，则，且， 由，则， 在中，则， 所以，可得，故， 所以，则，且， 故， 所以， ， 扇形面积为， 所以阴影部分面积为. 故答案为： 14. 已知四边形ABCD中，，，，，将沿AC折起，连接BD，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为_____，此时该三棱锥的外接球的表面积为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在平面内计算各个线段的长度，注意到三棱锥体积最大时，平面平面时，可知以为顶点时，点到平面的距离即为点到的高，计算可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积. 【详解】已知四边形中，， ， 易知， 将沿折起，连接，得到三棱锥， 当点到平面的距离最大时，则三棱锥体积最大， 即当平面平面时，三棱锥体积最大， 此时点到平面的距离即为点到的高，是等腰直角三角形， 所以点到的高， 则三棱锥体积的最大值为； 设该三棱锥的外接球的球心为,到平面的距离为， 平面的外接圆的半径为，正弦定理可得， 设求球的半径为,则， 此时该三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量、满足，，且. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的运算性质结合题干中的等式可得出的值，由已知条件得，结合平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可； （2）利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，结合向量夹角的取值范围可得结果. 【小问1详解】 因为向量、满足，，且， 即，解得， 因为，即, 解得. 【小问2详解】 因为， ， 因此. 因为，因此，即与的夹角为. 16. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，航天员叶光富、李聪、李广苏开始了他们的太空征程.为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取n名学生进行了航天知识竞赛，将成绩（满分:150分）整理后分成五组，从左到右依次记为，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知得分在内的频数分别为500，800. （1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值; （2）估计这n名学生成绩的平均数、86%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）. 【答案】（1） （2）平均数为88，第86%分位数为122. 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图以及频数，求得样本容量、的值. （2）首先求出得分在每个区间段的频数，然后利用平均数公式即可求得；求第86%分位数，首先确定得分位置，然后根据百分位数的公式即可求得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可以知道，得分在的频率为， 而得分在的频数为500，所以样本容量为. 因为得分在的频数为800，所以，解得. 因为，所以. 【小问2详解】 得分在的频数分别为： 500，800，，，200. 所以这2000名学生成绩的平均数为： . . 因为的频数和为， 而的频数和为. 所以第86%分位数在区间内. 所以第86%分位数为. 17. 如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，，M为上一点， （1）求证：； （2）当平面时，求的值． 【答案】（1） 取的中点为，连接，如下图： 和均为正三角形， ， 平面，平面， 平面，平面， ； （2）2 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，通过证明线面垂直，得到线线垂直； （2）设，根据已知条件结合线面平行的性质定理得出．利用三角形相似算出，得出，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，先计算出，再利用棱锥的体积公式求出，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，如图，连接交于点，连接． 因为平面，平面，平面平面，所以． ，，， ， ， ，， ， 所以有，所以． 因为，所以有，所以． ， 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， ， ， ， ． 18. 在△ABC中，点P在边上，，，. （1）求; （2）若的面积是，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中运用余弦定理，结合AP+AC＝8可求出，易知即可知； （2）运用三角形面积公式可求得，再由正余弦定理即可求． 【小问1详解】 在中，由余弦定理知：， 而， ， 整理得：，解得， ，故． 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 所以， 解得，则， 即，由， 由正弦定理：，可得． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面是平行四边形，且，，． （1）求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围注：本大题用空间向量作答不给分． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，利用线面垂直得到线线垂直，再进一步证明线面垂直； （2）利用等体积法求出点到平面的距离即可求解； （3）证明出为二面角的平面角，然后进行解三角形即可． 【小问1详解】 过作的垂线于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面， ， 因为，所以， 又平面平面，平面平面， 即平面，又平面， 所以， 又都在平面内，且相交， 平面； 【小问2详解】 平面； ，， ，， ， ， 设点到平面的距离为， 底面是平行四边形， ， ，解得：； 设直线与平面所成角为， ； 【小问3详解】 过点作的垂线交于，过点作的垂线交于，连接， 由（2）知平面， 平面， ，， 平面， ，， ，， 平面， ， 为二面角的平面角， 设，则， 利用等面积法：， ， ， 因为， ， 利用等面积法：， ， ， 在中，， 设，， 因为，所以， 所以二面角的正切值的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $