2025年广东省深圳市罗湖外语学校中考数学三模试卷

2025年广东省深圳市罗湖外语学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.截至2025年5月16日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已破158亿元，暂列全球影史票房榜前五.“158亿”这个数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如图2所示，平面镜，当光线CD射向镜面OB时，经过两次反射后，光线EF沿平行于CD的方向射出，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，线段AB是的直径，弦，，则等于(    ) A. B. C. D. 7.某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个.两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组(    ) A. B. C. D. 8.如图，将绕顶点A顺时针旋转后，得到，且为BC的中点，则：    A. 1：2 B. 1： C. 1： D. 1：3 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.因式分解：______. 10.江豚素有“水中大熊猫”之称，为了解洞庭湖现有江豚数量，考察队先从湖中捕捞10头江豚并做上标记，然后放归湖内.经过一段时间与群体充分混合后，再从中多次捕捞，并算得平均每32头江豚中有2头有标记，则估计洞庭湖现有江豚数量约为______头. 11.1970年墨西哥“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种足球的原型.其由32块手缝嵌面组成块黑色的正五边形和20块白色的正六边形，这种构造使足球拥有更浑圆更完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中度数为______ 12.如图，▱OABC的边OA在x轴正半轴上，，，点D是AB的中点，双曲线经过点C和点D，则______. 13.如图，在中，，，，AD平分，交BC于点D，点E为边AB上一点，连接CE，交AD于点F，当时，DF的长为______. 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题10分 计算：； 先化简，再求值：，其中 15.本小题8分 某市为强化学生体质健康管理，进一步增强学生的身体素质，某校决定在篮球、足球、排球、乒乓球、游泳选择一门户外运动课程.为了解学生需求，该校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图. 根据以上信息，解答下列问题： 本次调查的学生有______名，并补全条形统计图； 若全校共有1000名学生，则全校选择游泳的学生约有多少人？ 在选择足球的4名学生中，有2名男生2名女生，从这4名同学中随机抽取2名学生，求恰好抽到一名男生一名女生的概率. 16.本小题8分 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作.港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”.某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为然后向后走160米米，到达C处，此时看塔顶A，仰角为，求该主塔的高度. 17.本小题8分 骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要.某商店销售甲、乙两种不同型号的头盗，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同. 求甲、乙两种型号头盔的单价； 某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的乙种型号的头盔的数量不高于甲种型号的3倍，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 18.本小题8分 如图，以AB为直径的交BC于点D，，垂足为 若，求证DE为的切线； 在的条件下，若，，求的半径. 19.本小题9分 在平面直角坐标系xOy中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称. 抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； 当时，求抛物线的表达式； 横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为 ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围. 20.本小题10分 综合与实践 定义：将宽与长的比值为为正整数的矩形称为n阶奇妙矩形. 概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图，这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽与长的比值是______. 操作验证： 用正方形纸片ABCD进行如下操作如图： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE； 第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG； 第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为 试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形. 方法迁移： 用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形.要求：在图中画出折叠示意图并作简要标注. 探究发现： 小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到.他还发现：如图，点E为正方形ABCD边AB上不与端点重合任意一点，连接CE，继续中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值.请写出这个定值，并说明理由. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、选项图形不是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形不是中心对称图形，不符合题意； C、选项图形是中心对称图形，符合题意； D、选项图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选： 根据中心对称图形的定义和图案特点即可解答． 本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是关键． 2.【答案】C  【解析】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选： 根据单项式乘单项式法则、同底数幂的除法法则、合并同类项法则、幂的乘方法则分别计算判断即可． 本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：158亿 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】C  【解析】解：作， ， ， ， ， ， ， ， 故选： 根据题意先作，再利用平行线性质得，继而再利用平行线性质即可得到答案． 本题考查平行线性质，垂直定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选： 按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】【解答】 解：，AB是的直径 ， ， 故选： 【分析】 先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得，然后利用邻补角的定义计算的度数． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理． 7.【答案】A  【解析】解：由题意，得 故选： 等量关系为：生产镜片工人数量+生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系． 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等. 旋转后，，旋转角，可证为等边三角形；再根据，证明为含角的直角三角形，寻找线段与之间的数量关系即可解答. 【解答】 解：根据旋转的性质可知：， 旋转角是，即， 为等边三角形， ， 为BC的中点， ， ， ， 即， ， ， ：： 故选 9.【答案】  【解析】解：， 故答案为： 应用平方差公式进行因式分解即可． 本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 10.【答案】160  【解析】解：根据题意得： 头， 答：估计洞庭湖现有江豚数量约为160头． 根据题意先求出有标记的鱼占的百分比，再根据共有10条鱼做上标记，根据所占比例即可解答． 此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想． 11.【答案】132  【解析】解：如图所示： 正五边形的每个内角为：， 正六边形的每个内角为：， ，， ， ， 故答案为： 先分别求出正五边形和正六边形的每个外角的度数，再根据这个外角与它相邻的内角是邻补角，求出每个内角，从而求出和，最后根据，求出即可． 本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是结合图形理解正六边形的内角、正五边形的内角与的和是 12.【答案】  【解析】解：作于M， 设C的横坐标为m， ， ， ， ， 四边形OABC是平行四边形，， ， ， ， 点D是AB的中点， ， 双曲线经过点C和点D， ， 解得或舍去， ， 故答案为： 作于M，设C的横坐标为m，根据题意得到，，，由双曲线经过点C和点D，即可得到，解得 本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形求出C的坐标是解此题的关键． 13.【答案】  【解析】解：如图，过点D作交于点N，过点A作交CE的延长线于点M， 在直角三角形ABC中，，，， 由勾股定理得：， 平分，， ， 根据三角形面积公式可得， 即， ， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：， ， ， ∽， ， ， 同理可得∽， ， ， 故答案为： 过点D作交于点N，过点A作交CE的延长线于点M，先利用角平分线的性质和三角形面积公式求得CD，再证明∽，求得MA，最后利用∽即可解答． 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 14.【答案】； ，  【解析】 ； ， 当时，原式 先化简，然后计算加减法即可； 先把题目中的式子化简，再将x的值代入计算即可． 本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 15.【答案】40  【解析】解：本次调查的学生有：名， 选择乒乓球的学生人数为：名， 故答案为：40， 补全条形统计图如下： 人， 答：全校选择游泳的学生约有500人； 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生一名女生的结果有8种， 恰好抽到一名男生一名女生的概率为 由选择足球的学生人数除以所占是百分比得出本次调查的学生人数，即可解决问题； 由全校共有学生人数乘以选择游泳的学生人数所占的比例即可； 画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生一名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可． 本题考查了列表法与树状图法以及扇形统计图和条形统计图等知识．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 16.【答案】该主塔的高度是米．  【解析】解：过点A作，垂足为D， 由题意得：，， 是的一个外角， ， ， 米， 在中，米， 该主塔的高度是米． 过点A作，垂足为D，根据题意可得：，，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得米，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17.【答案】甲种型号头盔的单价是40元，乙种型号头盔的单价是30元；   为使购买头盔的总费用最小，应购买75个甲种型号的头盔，225个乙种型号的头盔，最少费用为9750元．  【解析】设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种型号头盔的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：甲种型号头盔的单价是40元，乙种型号头盔的单价是30元； 设购买m个甲种型号的头盔，则购买个乙种型号的头盔， 根据题意得：， 解得：， 设该企业购买甲、乙两种头盔共花费w元， 则， ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最小值，最小值， 此时， 答：为使购买头盔的总费用最小，应购买75个甲种型号的头盔，225个乙种型号的头盔，最少费用为9750元． 设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种型号头盔的单价是元，根据用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同，列出分式方程，解方程即可； 设购买m个甲种型号的头盔，则购买个乙种型号的头盔，根据购买的乙种型号的头盔的数量不高于甲种型号的3倍，列出一元一次不等式，解得再设该企业购买甲、乙两种头盔共花费w元，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 18.【答案】见解析；   的半径为  【解析】证明：为直径， ， ， ， 连接OD， ， 是的中位线， ， ， ， 是的半径， 为的切线； 解：，，， ， ， ，， ， ， ∽， ， ， ， 的半径为 根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，连接OD，根据三角形中位线定理得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； 根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题考查切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 19.【答案】，1；   ；   ①，，共3个；②或  【解析】二次函数， 对称轴为直线， 令，则， 图象与y轴的交点坐标为； 故答案为：，1； 抛物线G：， 抛物线：， 即， 当时，； ①当时，则抛物线G：， 顶点为， 图象与y轴的交点坐标为， 区域W内的整点有，，共3个； ②当时，如图1， 抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点， 解得：， 结合①可得：； 当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点． 经过点时，， 解得：， 经过点时，， 解得：， ， 故如果区域W内恰有5个整点，则或 利用对称轴公式以及y轴上点的坐标特征求得即可； 根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得出答案； ①根据图象即可求得； ②时，抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点，结合①即可得出；当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点，结合图象即可求得，从而求得如果区域W内恰有5个整点，则或 本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 20.【答案】解：； 证明：如图1， 延长CG，交BA的延长线于点R， 四边形ABCD是正方形， ，，， ，∽， ， 由折叠得， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， 矩形GDCK是1阶奇妙矩形； 如图2， 第一步：对折正方形纸片，折痕为MN； 第二步：对折矩形ADMN，折痕为EF，将正方形展开； 第三步：连接CE，折叠纸片，使CD落在CE上，点D落在H点，折痕为CG； 第四步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为 则矩形GDCK是2阶奇妙矩形； 解：如图3， 四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值是定值，理由如下： 延长CG，交BA的延长线于点R， 设，设，则， 同理可得：，， ， ， ， 四边形CDGK的周长， ， 四边形AGHE的周长， 四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值是  【解析】解：当时，， 故答案为：； 见答案； 见答案； 见答案． 将代入求得结果； 延长CG，交BA的延长线于点R，可证得∽，从而，可证得，进而设，则，，进而得出，从而求得，进一步得出结论； 依次对折正方形纸片，折痕为MN；对折矩形ADMN，折痕为EF，将正方形展开；连接CE，折叠纸片，使CD落在CE上，点D落在H点，折痕为CG；过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为则矩形GDCK是2阶奇妙矩形； 延长CG，交BA的延长线于点R，设，设，则，同理求得，，从而得出，进而，进而表示出四边形CDGK的周长和四边形AGHE的周长，进一步得出结果． 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$