专题02 集合间的基本关系四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高一必修第一册

专题02集合间的基本关系四大常考题型 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 题型二：由集合间的关系求参数的范围 题型三：根据两集合相等求参数 题型四：空集的性质 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 1．已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 3．满足关系⫋的集合的个数为 . 4．设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 5．已知集合满足，则不同的的个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．已知集合，则的子集个数为 . 7．若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 . 8．设集合，则集合的子集个数为（   ） A．16 B．15 C．8 D．7 9．若集合 则的真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．25 D．24 10．已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 题型二：由集合间的关系求参数的范围 11．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 13．已知集合，．若，则m的取值范围是 ． 14．设集合，，若，则（   ） A．2 B．1 C．0 D．-1 15．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 17．若集合，且，则满足要求的实数组成的集合为 . 18．设， ，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．已知集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．已知全集，集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若集合不是的子集，求实数的取值范围. 题型三：根据两集合相等求参数 21．（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 22．已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 23．已知集合，集合，且． (1)若时，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若，且实数的所有可能值构成的集合为，集合中恰有2个元素，求实数的取值范围． 24．已知 (1)若，分别求的值.； (2)若，用列举法表示集合. 25．已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 26．已知集合A有三个元素：，，，集合B也有三个元素：0，1，x. (1)若，求a的值； (2)若，求实数x的值； (3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？ 27．已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 28．已知集合，，且，则集合 . 29．已知集合，且，则 . 30．已知.若，则 . 题型四：空集的性质 31．若集合，则实数a的取值范围是 . 32．已知或，，若B⊆A，则实数a的取值范围为 ． 33．已知集合，集合非空，若，则的取值范围是 ； 34．设集合，若，则实数的取值范围是 . 35．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 36．已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 37．已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 38．已知集合. （1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围； （2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值. 39．若集合有且仅有2个子集，求实数的值. 40．已知集合． （1）若是空集，求实数的取值范围； （2）若中只有一个元素，求实数的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02集合间的基本关系四大常考题型 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 题型二：由集合间的关系求参数的范围 题型三：根据两集合相等求参数 题型四：空集的性质 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 1．已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，联立方程组，求得集合中的元素个数，进而的集合的子集的个数，得到答案. 【详解】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 2．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数. 【详解】因为， 故子集个数为， 故选：C. 3．满足关系⫋的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】利用子集和真子集的定义求解. 【详解】解：由题意得：集合A中一定含有1，2，3，可能含有0，4，5，但不同时含有0，4，5， 所以集合A的个数为：， 故答案为：7 4．设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的含义得到集合的元素，然后求非空子集个数即可 【详解】要使，，则，故B中含有三个元素， 所以B的非空子集有，，，，，，共7个． 故选：C. 5．已知集合满足，则不同的的个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】列举出满足要求的集合，得到答案. 【详解】由可得， ，故不同的的个数为. 故选：C 6．已知集合，则的子集个数为 . 【答案】4 【分析】利用子集概念列举出即可得到答案. 【详解】集合,则集合的子集有： 所以集合的子集个数有个. 故答案为：4. 7．若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 . 【答案】15 【分析】根据题意可求得所求集合即由1，，“3和”，“2和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集，然后利用公式可求得结果. 【详解】因为，；，；，；，， 这样所求集合即由1，，“3和”，“2和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集. 所以满足条件的集合的个数为. 故答案为：15 8．设集合，则集合的子集个数为（   ） A．16 B．15 C．8 D．7 【答案】C 【分析】先求出集合的元素，再根据子集为个，其中为元素个数，即可求解. 【详解】因为，,所以， 因此集合的子集个数为， 故选：C． 9．若集合 则的真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．25 D．24 【答案】B 【分析】根据真子集个数的计算公式运算即可. 【详解】集合共有5个元素， 所以集合共有个真子集. 故选：B 10．已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】先根据题意求出集合，然后利用公式可求出其子集的个数. 【详解】因为，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 所以集合的子集个数为. 故选：B 题型二：由集合间的关系求参数的范围 11．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，因为，即集合是集合的子集，所以. 故选：D. 12．若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】由题，要使取最大值，则a取，c取，b取，据此可得答案. 【详解】因，要使最大， 则a取，c取，b取，则. 故选：C. 13．已知集合，．若，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由题意及可得答案. 【详解】因，，，则或. 故答案为：或 14．设集合，，若，则（   ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】D 【分析】由求解并验证即可； 【详解】由题意可得：，解得：或， 当时，，，不符合舍去， 当时，，，符合， 故 ， 故选：D 15．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系列不等式，解不等式可得结论. 【详解】由，得， 解得且， 故实数的取值范围是． 故选：C． 16．已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系直接求出范围. 【详解】集合，，，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 17．若集合，且，则满足要求的实数组成的集合为 . 【答案】 【分析】由可得或，分别列方程求即可. 【详解】，， 所以或， 当时，且，故； 当时，，解得或； 综上所述：实数组成的集合为. 故答案为：. 18．设， ，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的包含关系可得，求解即可. 【详解】由，，， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：B. 19．已知集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用子集思想来确定端点值的取值范围，注意考虑空集也是任意非空集合的真子集. 【详解】由，可知：或， 解得：或，所以的取值范围是， 故选：C. 20．已知全集，集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若集合不是的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1)或.(2). 【分析】(1)理解补集的定义，并找到补集，推出，注意分析时分类讨论，(2)找到的取值范围，然后取补集. 【详解】（1）由题意，得集合或. 因为，所以. 当，即，也即时，符合题意； 当，即时，由，得或，解得. 综上，实数a的取值范围是或. （2）由（1）知，若， 当，即时，符合题意； 当时，需满足解得. 所以时，. 所以当集合不是的子集时，，即实数a的取值范围是. 题型三：根据两集合相等求参数 21．（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）根据相等集合的概念可得或，解之，结合集合元素的性质即可求解； （2）易知，根据集合间的包含关系画出数轴，结合数轴建立不等式，解之即可求解. 【详解】（1）由已知，得或. 当时，解得或； 当时，解得或. 又由集合中元素的互异性，得或. （2）因为，所以，利用数轴表示，如图所示， 或 则或，解得或， 所以的取值范围是或. 22．已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【详解】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 23．已知集合，集合，且． (1)若时，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若，且实数的所有可能值构成的集合为，集合中恰有2个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或(2)(3) 【分析】（1）当时，求出集合A，根据题意可知，据此求解； （2）若则，则和3为方程的两个解，由韦达定理求解即可； （3）由，求出所有可能满足题意的m，由此得到集合D，再根据集合中恰有2个元素求解即可. 【详解】（1）当时，， ， ， ， ∴，故或, 解得或. （2）若则, 和3为方程的两个解, 由韦达定理得，解得, 此时, 故. （3），所以， ①若， 当时,则，不满足，所以； 当时,则， 当时,即，此时，满足, 当时,即，此时，满足, ②若 当时，, 当时,, 联立解得,此时,满足, 当时,, 联立解得,此时,满足, 当时，即，由，得， 由根与系数的关系得解得. 且符合题意，此时, 综上所述，实数的所有可能值构成的集合，而，易知， 当时，，因为集合中恰有2个元素，所以，解得； 当时,，因为集合中恰有2个元素，所以，此不等式无解， 综上所述：. 24．已知 (1)若，分别求的值.； (2)若，用列举法表示集合. 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】（1）求出方程，进而求出. （2）利用集合的包含关系求出，进而求出集合. 【详解】（1）由，得或， 而，则是方程的二根， 所以. （2）由（1）知，，由，得或或， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 25．已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 26．已知集合A有三个元素：，，，集合B也有三个元素：0，1，x. (1)若，求a的值； (2)若，求实数x的值； (3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？ 【答案】(1)0或－1(2)－1(3)不存在 【分析】（1）由元素与集合的关系，解方程求a的值并检验； （2）由元素与集合的关系，解方程求实数x的值并检验； （3）由元素相同，分类讨论列方程求解. 【详解】（1）由且，可知或， 当时，；当时，. 经检验，0与－1都符合要求.∴或. （2）由，得或或，∴或或. 但考虑到集合元素的互异性，且，故. （3）显然，由集合元素的无序性，只可能或. 若，则，A包含的元素为0，5，10，与集合B中元素不相同. 若，则，A包含的元素为0，，，与集合B中元素不相同. 故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同. 27．已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 28．已知集合，，且，则集合 . 【答案】 【分析】利用集合相等与集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为， 当时，解得，此时不满足集合元素的互异性； 当时，解得或（舍去），即满足结合元素的互异性， 所以， 故答案为：. 29．已知集合，且，则 . 【答案】0或 【分析】根据集合相等可得出关于实数a、b的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a的值. 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 综上所述，或， 故答案为：0或 30．已知.若，则 . 【答案】0 【分析】利用集合的相等推得，求出值并验算即得. 【详解】由，可得， 由，解得或； 当时，，显然与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：0. 题型四：空集的性质 31．若集合，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】对二次项系数a是否为0进行讨论，根据二次函数图像与性质，列出不等式，即可得答案. 【详解】当时，不等式可化为，不成立，故为空集，满足题意； 当时，根据二次函数图像与性质可得，解得， 综上. 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，涉及分类讨论的思想，属基础题. 32．已知或，，若B⊆A，则实数a的取值范围为 ． 【答案】{a|a<1或a>3} 【解析】根据B⊆A，可得B的可能情况有和两种，分别求解，即可得结果. 【详解】∵B⊆A， ∴B的可能情况有和两种． ①当时，∵B⊆A， ∴或成立， 解得a>3； ②当时，由a>2a－1，得a<1， 综上所述，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}， 故答案为：{a|a<1或a>3}. 33．已知集合，集合非空，若，则的取值范围是 ； 【答案】且，且 【解析】首先求解集合，再根据条件，列出关于的不等式，求解的取值范围. 【详解】，解得：或， , ，，解得：， 若，则， 若，则， ， 且， 综上可知且，且. 故答案为：且，且 34．设集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】集合是方程的解集，要先讨论最高次项系数是否为0的情形。 【详解】时，方程为－1＝0，不成立，无解， 时，方程无解，则，， 综上，。∴的取值范围是 故答案为：。 【点睛】本题考查空集的概念，实质考查方程无实数解的条件，易错点在于不分类讨论即不考虑的情形，直接由得结论。 35．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1)(2)2 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 36．已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或(2)(3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 37．已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围； （2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围． 【详解】（1）解：由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． （2）解：已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是． 38．已知集合. （1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围； （2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值. 【答案】（1）；（2）0或1. 【分析】(1)根据给定条件可得，再借助一元二次方程根的判别式列式作答； (2)根据给定条件确定方程只有一个根或者有两个等根即可得解. 【详解】（1）因为集合A的子集只有一个，则，即方程无实数根， 于是得，即，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）因为集合A中有且只有一个元素，则方程只有一个实数根或者两个相等实根， 当时，集合满足题意，则， 当时，则，，集合满足题意，即， 所以实数a的值为0或1. 39．若集合有且仅有2个子集，求实数的值. 【答案】或或 【分析】根据集合的子集只有2个，说明集合中只有一个元素，进而讨论的取值求解即可. 【详解】由题意，集合有且仅有2个子集， 集合中只有一个元素， 若时，即， 方程等价于， 解得，方程只有一解，满足题意； 若，即， 则方程对应的判别式 ，解得或，此时满足条件. 所以或或. 40．已知集合． （1）若是空集，求实数的取值范围； （2）若中只有一个元素，求实数的值． 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）是空集，即无解，计算得到答案. （2）考虑和两种情况，计算得到答案. 【详解】（1）∵是空集，∴，即，∴实数的取值范围. （2）∵中只有一个元素，∴或即：或. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$