02讲集合间的基本关系（思维导图+知识梳理+常考题型） 2025-2026学年高一数学人教A版2019必修一

1.2集合间的基本关系 模块一 集合的子集 1.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图 2.子集 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集. 符号语言 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示语言 或 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 3. 真子集 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 符号语言 记作(或) 图形语言 性质 (1)且，则； (2)，且，则 4.子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 例1. 已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【解答】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 【变式1-1】已知集合仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为    A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 由集合仅有两个子集，说明集合A中元素只有一个，根据二次项系数是否为0分类讨论求 【解答】 解：由集合仅有两个子集，说明集合A中元素只有一个， 由题意，①当时，方程为，解得，满足仅有两个子集； ②当时，方程有两个相等实根，所以，解得； 所以实数m的取值构成的集合为： 【变式1-2】已知集合，若集合M有8个子集，则实数a的取值范围为          . 【答案】  【分析】 若集合中有n个元素，则子集个数为，依此解题. 【解答】 解：因为集合M有8个子集，所以集合M中包含3个元素，所以，所以，则实数a的取值范围为 例2.若集合Z，则A的真子集个数为      A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C  【分析】 先求出集合A，然后根据集合的真子集定义写出真子集，从而得到集合A的真子集的个数． 【解答】 解：集合Zǀ， 集合A的真子集为，，， 所以A的真子集个数为 故选 【变式2-1】已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【分析】先根据题意求出集合，然后利用公式可求出其子集的个数. 【解答】因为，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 【变式2-2】已知集合，则集合A的所有非空子集的个数为    A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】C  【分析】 根据题意化简集合A，即可得出答案. 【解答】解：， 集合A的非空子集的个数是 故选： 模块二 集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. （3）空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 例3.下列五个写法：①；②；③；④，其中错误写法的个数为    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素. 【解答】 解：对于①，“”是用于元素与集合的关系，故①错； 对于②，是任意集合的子集，故②对； 对于③，集合中的元素有确定性、互异性、无序性，两个集合是同一集合，故③对； 对于④，因为是不含任何元素的集合，故④错； 故错误的有①④，共2个， 故选B 【变式3-1】给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若，则 其中正确的说法有 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A  【分析】 本题考查了子集、真子集、空集的概念,根据题意一一判断即可. 【解答】 解：空集也有子集是它本身，所以①不正确； 空集就只有一个子集，所以②也是不正确的； 空集不是它自身的真子集，所以③不正确 空集是任何集合的子集，所以④不正确.  故选 【变式3-2】下列关系中：①，②，③，④ 正确的个数为      A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B  【分析】 根据元素与集合的关系，集合与集合的关系对每一小题逐一判断即可. 【解答】 解：①，由元素与集合的关系可知①正确; ②，由空集是任何非空集合的真子集可知②正确; ③，是含2个元素的数集，而是含1个元素的点集，故③不正确; ④，两边分别表示含1个元素的点集，表示不同的点，故④不正确. 故正确的个数为 故选 例4.（多选）已知，，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BD  【分析】 由可得，讨论，，，可得P与M的关系，由此可判断个选项. 【解答】 ， ，故，B正确； ， 当，， 当，，， 故，D正确；A错误；C错误; 故选 【变式4-1】下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据元素与集合的关系，相等集合的定义，即可判断. 【解答】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误. 故选：C. 【变式4-2】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【分析】由集合相同概念逐个判断即可. 【解答】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误； 选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误； 选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确； 选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误． 故选：C. 模块三 集合间关系的性质 集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若A⊆B，B=C，则A⊆C. (3)若A⊆B，A≠B，则A⫋B. 例5.已知集合，满足条件的集合的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 将满足条件的集合列举出来即可得解． 【解答】 解满足条件的集合是，，，，，，，共个． 故选C． 【变式5-1】已知集合，，，则集合的关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 由题得时，表示被除余的数，时，表示被除余的数，时，表示被除余的数，即可得到答案． 【解答】 集合， 集合， 集合． 因为时，表示被除余的数， 时，表示被除余的数， 时，表示被除余的数， 所以 故选C． 【变式5-2】满足的集合共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【分析】 根据题意，是的真子集中含有元素的集合，依次列举集合可得答案． 【解答】 集合必含元素，且为的真子集， 可按元素个数分类依次写出集合： ，，，，，，一共有个， 故选：． 模块四 常考题型归纳 题型一：求集合的子集、真子集 1.设集合，，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 根据，四个选项逐一代入即可判断． 【解答】 解：对于选项，若，此时，，不满足题意 对于选项，若，此时，，满足题意； 对于选项，若，此时，，不满足题意； 对于选项，若，此时，，不满足题意． 故选B． 2.若集合，则集合可用列举法表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 写出集合的子集，用列举法表示即可． 【解答】 由集合，得的子集为， 则  故选：． 3.下列六个关系式：  其中正确的个数为(    ) A. 个 B.  个 C.   个 D.  个 【答案】C  【分析】 本题利用元素与集合的关系进行判断，以及集合自身是自身的子集、空集是任何集合的子集进行判定即可．  【解答】 对于，根据集合的子集关系得到，正确； 对于，两个集合的元素完全相同，所以，正确； 对于，含有元素，而没有任何元素；故错误； 对于，根据集合与元素的关系，；正确； 对于，与都是集合而是用于元素与集合的关系；故错误； 对于，空集是任何集合的子集，所以正确； 故正确的有共个， 故选C． 题型二：求集合子集个数 1.已知集合，若集合有且仅有个子集，则的取值是(    ) A. B. C. ， D. ，， 【答案】D  【分析】 若有且仅有两个子集，则为单元素集，所以关于的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数的取值范围． 【解答】 由题意可得，集合为单元素集， 当时，，此时集合的两个子集是，，满足题意； 当时  则解得， 当时，集合的两个子集是，， 当时，集合的两个子集是，， 均满足题意． 综上所述，的取值为，，． 故选D． 2.已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是(    ) A. B. C. ， D. ，， 【答案】D  【分析】 本题考查集合的子集个数，属于基础题， 【解答】 因为集合有且仅有两个子集，所以仅有一个元素，即方程仅有一个根 当时，，集合，满足题意 当时，，解得，将代入原方程检验，符合题意， 所以的取值为，，． 3.设集合，，，则集合的真子集的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 结合集合中元素的性质以及集合的真子集个数的求法进行求解即可． 【解答】 由题意可知，集合，集合中有个元素， 则集合的真子集有个， 故选C． 题型三：判断两个集合的包含关系 1.已知集合，，，则集合的关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 由题得时，表示被除余的数，时，表示被除余的数，时，表示被除余的数，即可得到答案． 【解答】 集合， 集合， 集合． 因为时，表示被除余1的数， 时，表示被除余1的数， 时，表示被除余1的数， 所以 故选C． 2.已知集合，，则满足条件的集合的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 先求出集合，，再由可得满足条件的集合． 【解答】解：由题意可得，，， ， 满足条件的集合有，，，共个， 故选D． 3.已知集合，，，则集合，，的关系为(    ) A. B. C. D. ， 【答案】B  【分析】 利用集合的包含关系判断即可得结论． 【解答】 由题意，，中元素，  ，中元素， ，中元素， 因为，，三者中元素的分母相同， 所以只需要比较它们的分子的倍数加，和的倍数加， 所以． 故选B． 4.集合，，的关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以． 故选：． 题型四：含参数的集合包含关系（等式关系） 1.集合，若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 或 【答案】D  【分析】 由，可分和两种情况进行讨论，根据集合包含关系的判断和应用，分别求出满足条件的值，并写成集合的形式即可得到答案． 【解答】 ， 又， 当，无解，故B，满足条件， 若，则，或， 即，或 故满足条件的实数 故选：． 2.（多选）设集合，若满足，则实数可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】ABC  【分析】 根据，建立条件关系即可求实数的值． 【解答】 由题意：集合，， 当时，满足题意，此时无解，可得． 当时，则方程有解，即， 要使，则需要满足：或， 解得：或， 所以的值为：或或． 故选：． 3.已知集合，，若，则实数可能的取值为(    ) A. B. C. D. 【答案】ABC  【分析】 当时，，满足；当时，，，从而或，进而或由此能求出的可能取值． 【解答】 集合，，且， 当时，，满足； 当时，，， 或，或． 解得或 的取值集合为 故选：． 4.若集合恰有两个子集，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 或 【答案】AB  【分析】 恰有两个子集的集合只有一个元素，进而求解． 【解答】 集合恰有两个子集，则集合中只有一个元素， 当时，，满足题意； 当时，，即，此时，满足题意； 故的值为，． 故选：． 题型五：含参数的集合包含关系（不等式关系） 1.集合，，若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】 当时，；当时，，由此能求出实数的取值范围． 【解答】 集合，，， 当时，，解得， 当时，，解得． 综上，实数的取值范围是． 故本题选A． 2.已知集合，若，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 将集合分为空集和非空集两种情况进行讨论，结合集合间的关系进行求解． 【解答】 ，， 而， 当时，满足，此时， 解得； 当时，， 则 计算得出． 综上，． 故选D． 3.已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根． 若，求出实数的值； 若，求实数的取值范围． 【分析】 先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出的值 ； 由，得，结合方程的两根得到不等式，求出的取值范围 ． 【答案】解：因为，所以， 因为的两根分别为， 所以， 故； 因为，所以， 因为的两根分别为， 所以，解得， 故实数的取值范围是．   1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2集合间的基本关系 模块一 集合的子集 1.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图 2.子集 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集. 符号语言 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示语言 或 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 3. 真子集 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 符号语言 记作(或) 图形语言 性质 (1)且，则； (2)，且，则 4.子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 例1. 已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【变式1-1】已知集合仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为    A. B. C. D. 【变式1-2】已知集合，若集合M有8个子集，则实数a的取值范围为          . 例2.若集合Z，则A的真子集个数为      A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【变式2-1】已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式2-2】已知集合，则集合A的所有非空子集的个数为    A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 模块二 集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. （3）空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 例3.下列五个写法：①；②；③；④，其中错误写法的个数为    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【变式3-1】给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若，则 其中正确的说法有 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【变式3-2】下列关系中：①，②，③，④ 正确的个数为      A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例4.（多选）已知，，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【变式4-1】下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 模块三 集合间关系的性质 集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若A⊆B，B=C，则A⊆C. (3)若A⊆B，A≠B，则A⫋B. 例5.已知集合，满足条件的集合的个数为(    ) A. B. C. D. 【变式5-1】已知集合，，，则集合的关系是(    ) A. B. C. D. 【变式5-2】满足的集合共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  模块四 常考题型归纳 题型一：求集合的子集、真子集 1.设集合，，若，则(    ) A. B. C. D. 2.若集合，则集合可用列举法表示为(    ) A. B. C. D. 3.下列六个关系式：  其中正确的个数为(    ) A. 个 B.  个 C.   个 D.  个 题型二：求集合子集个数 1.已知集合，若集合有且仅有个子集，则的取值是(    ) A. B. C. ， D. ，， 2.已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是(    ) A. B. C. ， D. ，， 3.设集合，，，则集合的真子集的个数为(    ) A. B. C. D. 题型三：判断两个集合的包含关系 1.已知集合，，，则集合的关系是(    ) A. B. C. D. 2.已知集合，，则满足条件的集合的个数为(    ) A. B. C. D. 3.已知集合，，，则集合，，的关系为(    ) A. B. C. D. ， 4.集合，，的关系是(    ) A. B. C. D. 题型四：含参数的集合包含关系（等式关系） 1.集合，若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 或 2.（多选）设集合，若满足，则实数可以是(    ) A. B. C. D. 3.已知集合，，若，则实数可能的取值为(    ) A. B. C. D. 4.若集合恰有两个子集，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 或 题型五：含参数的集合包含关系（不等式关系） 1.集合，，若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.已知集合，若，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 3.已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根． 若，求出实数的值； 若，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$