专题1.3 集合的基本运算（高效培优讲义）数学人教A版2019高一必修第一册

专题1.3 集合的基本运算 教学目标 1.理解并、交集全集的含义，会求简单的并、交集补集； 2.借助Venn图理解、掌握并、交补集的运算性质； 3.根据并、交集运算的性质求参数问题. 4．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集． 教学重难点 1.重点 会用Venn图、数轴进行集合的运算． 2.难点 根据并、交集运算的性质求参数问题. 知识点01 集合的运算之并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的_____，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的_____组成的集合(重复元素只出现一次). 【即学即练】 1．已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知集合，，则 . 知识点02 集合的交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的_____；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B_____公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合. 【即学即练】 1．设，下列选项正确的是（   ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 知识点03 集合的补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为_____，通常记作U. 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的_____(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就_____全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 【即学即练】 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．设全集，，，则等于（    ） A． B． C． D． 知识点04 集合基本运算结论 ，， 若A∩B=A，则，反之也成立，若A∪B=B，则，反之也成立 若x(A∩B)，则xA且xB，若x(A∪B)，则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是_____与_____，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【即学即练】 1．已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ． 2．已知集合.若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型01：集合的交集运算 【典例1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 求集合A∩B的步骤与注意点 (1)步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素; ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式; ③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可(相同元素只写一个). (2)注意:若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示. 【变式1】已知集合，集合，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知集合则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型02：并集运算 【典例1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 求集合并集的两个方法 (1)若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集. (2)若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得. 【变式1】已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 题型03：补集运算 【典例1】设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 补集的求解步骤及方法 (1)步骤:①确定全集:在进行补集的简单运算时，应首先明确全集; ②紧扣定义求解补集. (2)方法:①借助Venn图或数轴求解;②借助补集性质求解. 【变式1】已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 题型04：集合的交集、并集与补集的混合运算 【典例1】设集合，，则（   ） A． B． C． D． 求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到. 【变式1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合． （1）当时， ； （2）若，则实数m的取值范围是 ． 题型05：已知集合的交集、并集求参数 【典例1】已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 首先要明确根据集合间的运算关系确定集合的关系 即： 通过运算关系确定集合间基本关系，最后根据集合间的基本关系确定参数的取值范围，其本质还是通过集合间的基本关系确定参数的取值范围 具体操作： 1、求解集合的运算问题的三个步骤： （1）看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等，如{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的； （2）对集合化简,有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决； （3）应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn)； 2、根据集合运算的结果确定参数值或范围的步骤 （1）化简所给集合，能用数轴表示的在数轴上表示； （2）根据集合端点间关系列出方程或不等式（组）； （3）求解方程、不等式（组），然后注意验证； 注意： ①化简集合时运算时，注意解不等式运算出错； ②对集合概念理解不准确，错把数集当作点集，如已知集合 ,求 得出的错误结果； ③忽略集合中元素的互异性,如根据集合A＝{a－3，2a－1，a2－4},且－3∈A，求实数a的值,忽略检验a＝－1时不满足元素的互异性； ④利用求参数取值，忽略判断B是否可以为；如根据集合A＝{x|x2－x－12≤0}， B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B,求实数m的取值范围，忽略m＋1≤2m－1即m≥2时，也满足题意； 注意： 1、 空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的． 例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝；虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集； 2、由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“AB”或“AB且B≠” 或A∩B＝，时，一定要分A＝和A≠两种情况进行讨论，其中A＝的情况易被忽略，应引起足够的重视． 3、【技巧点拨】 解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝BBA，实际上包含3种情况： ①B＝；②BA且B≠；③B＝A；往往遗漏B是的情形； 4、不含任何元素的集合叫做空集，用表示，注意是一个单元素集，不是空集。从而，，都成立； 5、常见的空集 ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则； ⑥若，则。 形如：已知，若＝A，求：实数的范围。 破解：由，得；而是由参数所确定的集合，在不同的范围内，可能使得为非空数集，也可能使得为空集； ， ①若，即时，，适合题意； ②若，即时，，适合题意； ③若，即时，要使成立，只需， 解得。从而可得，适合题意； 综上①②③知，所求的范围应为； 【变式1】已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 . 【变式2】设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式3】设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 题型06：韦恩图在集合运算中的应用 【典例1】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 1、原理 容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称容斥原理。 2、解释 由图可以直接看出各部分之间的关系 由Venn图可知：（A∪B = A+B - A∩B) 由Venn图可知：（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C） 3、应用 两类：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。 三类：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。 4、注意 ①填图时，应从较小的区域填起②图中各个区域与集合运算之间的关系 形如：某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？ 【破解】 如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示， 则 不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为 即 ，由容斥原理： 解得： 【变式1】高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【变式2】某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 1．对于集合M，N，定义差集且，设集合，则 ． 2．已知集合 ，集合，则（ ） A． B． C． D． 3．已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 6．[多选题]对于数集A，B，它们的积，则（   ） A． B．若，则 C． D．集合表示y轴所在直线 7．已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 11．已知全集，集合，，则 ，（ ． 12．已知集合，． （1）若，则 ； （2）若，则实数的取值范围是 ． 13．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 14．设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 15．设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 16．已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 17．已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 18．已知全集，集合，，求，. 19．已知集合，. (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围. 20．已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 集合的基本运算 教学目标 1.理解并、交集全集的含义，会求简单的并、交集补集； 2.借助Venn图理解、掌握并、交补集的运算性质； 3.根据并、交集运算的性质求参数问题. 4．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集． 教学重难点 1.重点 会用Venn图、数轴进行集合的运算． 2.难点 根据并、交集运算的性质求参数问题. 知识点01 集合的运算之并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次). 【即学即练】 1．已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由集合可得且，再由可得与均互异，结合特例可得正确的选项. 【详解】由中元素的互异性，得，即且， 而，则当且时，与均互异， 因此中至少有元素，取，此时，有4个元素， ∴ 中的元素个数至少为4个. 故选：C 2．已知集合，，则 . 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出集合，再根据并集的定义求出. 【详解】对于集合，要使根式有意义，即. 解不等式，可得，所以集合. 已知集合，集合. 根据并集的定义,所以. 故答案为：. 知识点02 集合的交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合. 【即学即练】 1．设，下列选项正确的是（   ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据集合元素个数求子集个数判断A，根据交集运算结果求出参数范围判断BC，分类讨论判断D. 【详解】因为， 所以集合的子集个数为，故A正确； 当时，，即，故B正确； 当时，，即，故C错误； 对D，当时，，满足， 当时，，当时，，即， 当时，，当时，，即， 综上，，故D错误. 故选：AB 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 知识点03 集合的补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 【即学即练】 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的基本运算即可求解. 【详解】因为集合， 所以，. 故选：B. 2．设全集，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用并集与补集的混合运算求解得答案． 【详解】全集，， ，又， 则． 故选：B． 知识点04 集合基本运算结论 ，， 若A∩B=A，则，反之也成立，若A∪B=B，则，反之也成立 若x(A∩B)，则xA且xB，若x(A∪B)，则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【即学即练】 1．已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，利用子意的意求解即可. 【详解】，∴． ∴当时，；当时，；当时，， ∴m的值为0，1，，∴m的值为． 故答案为：. 2．已知集合.若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列式运算得解. 【详解】因为，所以，即且，解得， 所以m的取值范围是. 故选：B. 题型01：集合的交集运算 【典例1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式可化简集合A，然后由交集定义可得答案. 【详解】因为，故． 故选：C． 求集合A∩B的步骤与注意点 (1)步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素; ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式; ③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可(相同元素只写一个). (2)注意:若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示. 【变式1】已知集合，集合，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题可得，然后代入可求，再求交集即可. 【详解】， 故选：B． 【变式2】已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 【变式3】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出B，再根据交集并集概念计算判断.. 【详解】，又， ， 则，不包含于，不包含于，． 故选：D． 题型02：并集运算 【典例1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合M，再根据并集概念计算. 【详解】解：由 ， 所以 故选： D 求集合并集的两个方法 (1)若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集. (2)若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得. 【变式1】已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的关系及交集、并集的运算进行判断即可. 【详解】因为但、但，所以AB都是错误的； 因为，故C是错误的； 因为，故D是正确的. 故选：D. 【变式2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 【变式3】对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设定义求出和，再求出即可． 【详解】对于集合，，定义且，， 设，， 则，， 所以. 故选：C． 题型03：补集运算 【典例1】设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 补集的求解步骤及方法 (1)步骤:①确定全集:在进行补集的简单运算时，应首先明确全集; ②紧扣定义求解补集. (2)方法:①借助Venn图或数轴求解;②借助补集性质求解. 【变式1】已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求并集，再求补集即可. 【详解】，，则， 又，则. 故选：B. 【变式2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集定义计算求解. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 【变式3】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由补集定义可知. 题型04：集合的交集、并集与补集的混合运算 【典例1】设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：D 求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到. 【变式1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 【变式2】已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求全集，进而求，最后根据集合的交集运算即可求解. 【详解】依题意得，，，所以． 故选：C. 【变式3】已知集合． （1）当时， ； （2）若，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】（1）当时，，则． 又，所以． （2）由，得解得．故实数m的取值范围是． 题型05：已知集合的交集、并集求参数 【典例1】已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【答案】B 【分析】由得集合，之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解. 【详解】由，得， 因为，所以， 因为集合， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以或2. 故选：B. 首先要明确根据集合间的运算关系确定集合的关系 即： 通过运算关系确定集合间基本关系，最后根据集合间的基本关系确定参数的取值范围，其本质还是通过集合间的基本关系确定参数的取值范围 具体操作： 1、求解集合的运算问题的三个步骤： （1）看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等，如{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的； （2）对集合化简,有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决； （3）应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn)； 2、根据集合运算的结果确定参数值或范围的步骤 （1）化简所给集合，能用数轴表示的在数轴上表示； （2）根据集合端点间关系列出方程或不等式（组）； （3）求解方程、不等式（组），然后注意验证； 注意： ①化简集合时运算时，注意解不等式运算出错； ②对集合概念理解不准确，错把数集当作点集，如已知集合 ,求 得出的错误结果； ③忽略集合中元素的互异性,如根据集合A＝{a－3，2a－1，a2－4},且－3∈A，求实数a的值,忽略检验a＝－1时不满足元素的互异性； ④利用求参数取值，忽略判断B是否可以为；如根据集合A＝{x|x2－x－12≤0}， B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B,求实数m的取值范围，忽略m＋1≤2m－1即m≥2时，也满足题意； 注意： 1、 空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的． 例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝；虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集； 2、由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“AB”或“AB且B≠” 或A∩B＝，时，一定要分A＝和A≠两种情况进行讨论，其中A＝的情况易被忽略，应引起足够的重视． 3、【技巧点拨】 解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝BBA，实际上包含3种情况： ①B＝；②BA且B≠；③B＝A；往往遗漏B是的情形； 4、不含任何元素的集合叫做空集，用表示，注意是一个单元素集，不是空集。从而，，都成立； 5、常见的空集 ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则； ⑥若，则。 形如：已知，若＝A，求：实数的范围。 破解：由，得；而是由参数所确定的集合，在不同的范围内，可能使得为非空数集，也可能使得为空集； ， ①若，即时，，适合题意； ②若，即时，，适合题意； ③若，即时，要使成立，只需， 解得。从而可得，适合题意； 综上①②③知，所求的范围应为； 【变式1】已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由可得到，运用集合间的关系可得到关于的不等式，解不等式即可得到答案. 【详解】因为A为非空集合，则， 解得；， 若，则， 则或， 解得或，又， 综上所述，实数a的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）转化成求与的交点问题，联立求解. （2）转化为与没有交点，联立，判别式，即可得到答案. 【详解】（1）由，得，解得， 所以. （2）由,得， 由已知方程的判别式， 从所以． 故实数的取值范围为． 【变式3】设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 题型06：韦恩图在集合运算中的应用 【典例1】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 1、原理 容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称容斥原理。 2、解释 由图可以直接看出各部分之间的关系 由Venn图可知：（A∪B = A+B - A∩B) 由Venn图可知：（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C） 3、应用 两类：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。 三类：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。 4、注意 ①填图时，应从较小的区域填起②图中各个区域与集合运算之间的关系 形如：某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？ 【破解】 如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示， 则 不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为 即 ，由容斥原理： 解得： 【变式1】高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 【变式2】某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集运算求解即可. 【详解】设仅第一天开车人数为 ，仅第二天开车人数为 ，两天都开车人数为 ， 则由图知 ， ， 两式相减得 ， . 故选：C. 【变式3】我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【答案】C 【分析】根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为， 则楼下食堂用午餐的学生数大约为， 原本在楼上食堂且留下的学生：占比，即， 从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的，即， 所以，解得. 所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为. 故选：C 1．对于集合M，N，定义差集且，设集合，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以．又当时，，所以．故． 2．已知集合 ，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合元素满足的条件，确定集合，再根据交集的概念确定. 【详解】因为， 所以. 故选：B 3．已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题意画出图，如图所示，由图可知． 4．已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 5．定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果. 【详解】对于A，由，则， 所以，故A正确； 对于B，由，所以，故B错误； 对于C,由，则， 由，，则， 所以，，则， 所以，故C错误； 对于D，当时，结合选项B知，，故D错误. 故选：A. 6．[多选题]对于数集A，B，它们的积，则（   ） A． B．若，则 C． D．集合表示y轴所在直线 【答案】BCD 【详解】由题知，表示数集A中的数表示横坐标，数集B中的数表示纵坐标所组成的点的全体，故，A错误；若，则，B正确；，则，C正确；集合表示y轴所在直线，D正确． 7．已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】集合，集合，则集合. 故选：A. 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据并集的定义求出，再根据补集的定义求出. 【详解】已知，，则. 已知，，所以. 故选：A. 9．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，且，则，即. 10．已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 11．已知全集，集合，，则 ，（ ． 【答案】 或 或． 【详解】或  利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图： 则或．又，所以或，或． 12．已知集合，． （1）若，则 ； （2）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 或 【详解】（1）当时，，则或． （2）因为，又，所以解得．故实数的取值范围是． 13．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为． 14．设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【详解】由题知， 由，得． 故选：C 15．设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 【答案】 【分析】由集合交集运算易得结果. 【详解】，， 显然集合的所有元素中，绝对值最小的元素是. 故答案为：. 16．已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）求出集合，然后结合集合运算可得； （2）根据包含关系，分集合是否为空集讨论即可得解 【详解】（1）若，，， 所以，． （2）， 当时，此时，即； 当时，此时，即， 则，且两个不等式不能同时取等，解得， 综上，实数的取值范围为． 17．已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】解：（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 18．已知全集，集合，，求，. 【答案】，或 【分析】直接利用集合交集的运算、集合补集与并集的运算求解即可. 【详解】因为集，集合，， 所以 或 或 19．已知集合，. (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或，且； (2). 【分析】（1）应用集合的交运算求得，再由补运算求，根据的关系求； （2）根据集合的包含关系有，即可得参数范围. 【详解】（1）由， 所以或，且； （2）由，显然不是空集，且， 所以，可得. 20．已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 【答案】(1)，； (2)或或. 【分析】（1）根据交集结果有求，再由并集结果有，结合根与系数关系求参数值； （2）由包含关系并讨论、求对应参数值，即可得. 【详解】（1）由，故，可得，则， 又，则，故； 所以，； （2）由， 若，即，满足题设， 若，即，则，或， 综上，或或. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$