精品解析：吉林省白城市洮南市第一中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，下列式子错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A，再利用元素与集合之间的关系依次判断各选项即可得解. 【详解】， ，故ABD正确； 而与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故C错误. 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合不等式的基本性质及充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，满足，但不满足； 当时，，则. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知随机变量服从二项分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入二项分布的方差公式，即可求解. 【详解】由随机变量服从二项分布，可得. 故选：D. 4. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. B. C. 0.8 D. 0.96 【答案】C 【解析】 【分析】根据表中的数据求出，，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出，从而得到回归直线方程，再将代入回归方程，求出预测值，从而求出残差. 【详解】由题意可知，，， 将代入，即，解得， 所以， 当时，， 所以该数据的残差为. 故选：C. 5. 某电动摩托车制造企业为了解其新研发的一款电动摩托车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了10000个样本，根据统计这款新型电动摩托车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有（ ） A. 10辆 B. 100辆 C. 180辆 D. 900辆 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用正态分布的对称性可得，从而得到答案. 【详解】因为，，所以， 故该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有辆； 故选：B 6. 杭州亚运会共设个竞赛大项，包括个奥运项目和个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区、现需从名管理者中选取人分别到温州、金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且人中甲、乙两人不去温州赛区，则不同的选择方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列组合的知识分别求解甲、乙都没有被选派、甲、乙有且仅有一人被选派和甲、乙均被选派三种情况下的方案数，加和即可求得结果. 【详解】若甲、乙都没有被选派，则共有种方案； 若甲、乙有且仅有一人被选派，则共有种方案； 若甲、乙均被选派，则共有种方案； 综上所述：不同的选择方案有种. 故选：B. 7. 函数在区间的极大值点的数目为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用正弦函数的性质可分析出函数极大值点的个数. 【详解】， 因为，故由正弦函数性质知，时，，，函数递增， 当时，，，函数递减，为函数的一个极大值点 ， 所以时，函数有1个极大值点； 由正弦函数的周期性，可知在上，函数有5个极大值点， 故选：C 8. 如图，高速服务区停车场某片区有A至H共8个停车位每个车位只停一辆车，有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆白色车也停在同一列的概率为（ ） A B C D E F G H A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设事件“两辆黑色车停在同一列”，事件“两辆白色车停在同一列”，根据条件概率公式，即可求解. 【详解】设事件“两辆黑色车停在同一列”，事件“两辆白色车停在同一列”， 则所求概率为， 因为，， 所以， 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中有可能适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意结合所给图象的变化趋势，结合选项，逐一分析判断即可求解. 【详解】根据图象可知，函数图象随着自变量的变大，函数值增长速度越来越快， 结合选项，可判定为指数函数或的特征， 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 不等式的解集是 C. 若不等式恒成立，则a的取值范围是 D. 若关于x的不等式的解集是，则的值为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断. 【详解】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 若不等式恒成立， 当时，是不可能成立的， 所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根， 从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确. 故选：CD. 11. 现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得块月饼、黄球获得块月饼、绿球获得块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是 B. 第二次抽到红球的概率是 C. 如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为 D. 小明获得块月饼的概率是 【答案】ACD 【解析】 【分析】记红球为球，黄球为球，绿球为球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，，选项A，根据条件，利用条件概率公式，即可求出结果；选项B，先求出，，，，再利用全概率公式即可求出结果；选项C，利用条件概率公式及选项B中结果，即可求出结果；选项D，分三种情况讨论，分别求出对应概率，即可求出结果. 【详解】记红球为球，黄球为球，绿球为球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 对于选项A，在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是，所以选项A正确； 对于选项B，因为，又，，， 由全概率公式知，所以选项B错误， 对于选项C，如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， 所以选项C正确， 对于选项D，若小明获得块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得块月饼的概率是，故选项D正确， 故选：ACD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，使成立”的否定命题是______. 【答案】“，” 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定形式可得. 【详解】命题“，使成立”的否定命题是“，” 故答案为：， 13. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 14. 在下面的方格表中，要求该方格表的每一行，每一列及每条对角线的四个方格均包含1，2，3，4四个数字，则______． 1 2 3 【答案】 【解析】 【分析】先确定第一行的填法，然后根据法则依次确定每行的填法，即可解答. 【详解】根据方格表中，每一行，每一列及每条对角线的四个方格均包含1，2，3，4四个数字， 推理方格填充：第一行确定为1，2，3，4，然后确定d，由法则可知，则， 1 2 3 4 3 因为，所以，进而， 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 因为，所以，进而，，从而， 最终可得第二行为4，3，2，1，第三行为2，1，4，3，第四行为3，4，1，2. 所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知（）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是. （1）求二项式系数之和； （2）求展开式中各项系数的和； （3）求展开式中含的项. 【答案】（1）256； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用通项公式求出第五项的系数与第三项的系数，可得的值，进而即求； （2）利用赋值法可得展开式中各项系数的和; （3）利用通项公式，令的指数等于，求通项中的，可得答案． 【小问1详解】 由题意知：展开式的通项为， 所以第五项系数为，第三项系数为， 则， 解得：，或（舍去）． 所以二项式系数之和为； 【小问2详解】 令可得展开式中各项系数的和为； 【小问3详解】 二项式的通项公式为， 令，则， ∴展开式中含的项为． 16. 某校有高一学生1800人，高二学生1200人，学校采取按比例分配的分层抽样的方式从中抽取100人进行体育测试，将一分钟跳绳次数视为及格，整理出以下列联表： 及格 不及格 合计 高一 52 8 60 高二 38 2 40 合计 90 10 100 （1）试根据小概率值的独立性检验，分析一分钟跳绳次数及格情况是否与年级有关；（结果保留小数点后三位） （2）如果将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断一分钟跳绳次数及格情况与年级之间的关联性，结果还一样吗？ 附：，. 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）与年级无关. （2）结果不一样，数据扩大后认为一分钟跳绳次数及格情况与年级有关. 【解析】 【分析】（1）（2）利用独立性检验的卡方公式计算结合条件进行分析即得. 【小问1详解】 已知列联表数据：（高一及格），（高一不及格），（高二及格），（高二不及格），总样本量 . 代入公式计算， 查临界值表，当时，临界值，由于计算得， 依据小概率值的独立性检验，认为一分钟跳绳次数及格情况与年级无关. 【小问2详解】 数据扩大10倍后，列联表数据变为：，，，，总样本量. 再次代入公式计算， 查临界值表，当时，临界值，由于计算得， 依据小概率值的独立性检验，认为一分钟跳绳次数及格情况与年级有关. 因此，数据扩大10倍后，检验结果不一样. 17. 花旗银行于2024年12月发布的《人工智能机器人的崛起》报告，深入剖析了AI机器人领域的技术突破、市场机遇与挑战.这份报告传递了一个清晰的信号：AI机器人正在从实验室和工厂加速走向我们的日常生活，预计到2035年将有13亿台，2050年更将达到40亿台.某人工智能公司先后共开发七款人工智能类产品（代码x为1~7），其综合评分y如下表所示： 代码x 1 2 3 4 5 6 7 综合评分y（单位：分） 5.8 6.6 7.2 8.8 9.6 10.4 11.8 （1）根据表中的数据，可推断出变量y与x之间具有线性相关关系，请预测该公司即将研发成功的第八款人工智能类产品的综合评分； （2）把综合评分不超过8分的人工智能类产品叫做“初级品”，从已开发的七款人工智能类产品中任取2款，X表示取到“初级品”的个数，求X的分布列和数学期望. 参考数据：，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 【答案】（1） （2）的分布列如下： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）求出、，代入公式求出、可得回归直线方程，令可得答案； （2）求出的值可能取值及相应的概率可得的分布列，代入期望公式可得答案. 【小问1详解】 ， ， ，， 回归直线方程， 当时，， 预测该公司即将研发成功的第八款人工智能类产品的综合评分； 【小问2详解】 由题意，已开发的七款人工智能类产品中“初级品”为三款， 因此从已开发的七款人工智能类产品中任取2款， 取到＂初级品＂的个数的值可取0，1，2， 则，， ， 因此的分布列如下： 0 1 2 . 18. 在某项测验中，共有20道多项选择题（15道双选题和5道三选题随机排列），每道题都给出了4个选项，其中正确的选项有两个（双选题）或者三个（三选题），全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．现有甲乙两位同学均已答完前19题，两人对于每一题的答对与否均不确定． （1）若甲同学在解答第20题时，随机选择一个选项作答，求他第20题得2分的概率； （2）若乙同学在解答第20题时，已正确判断出A选项是错误的，而对BCD三个选项的正确与否无法确定，现在有三个方案： ①从BCD三个选项中随机选一个作为答案； ②从BCD选项中随机选两个作为答案； ③直接选择BCD作为答案； 为使第20题得分的期望最大，乙同学应选择哪个方案作答，并说明理由． 【答案】（1） （2）建议乙同学选择方案②作答，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意利用条件概率公式和全概率公式求解； （2）方法一：分别求正确答案为两个选项和正确答案为三个选项两种情况的得分期望，结合期望的性质求相应的期望，并对比分析；方法二：根据题意结合独立事件概率乘法公式求相应的分布列和期望，并对比分析. 【小问1详解】 设事件“第20题为双选题”，事件“第20题得2分”， 则， 根据全概率公式有. 【小问2详解】 解法一：在20道多项选择题中，双选题出现的概率为，三选题出现的概率为． ①当乙从BCD三个选项中随机选一个作答时，设乙同学在解答第20题的得分为， 若正确答案为两个选项，则得分的分布列为 0 2 此时的期望为； 若正确答案为三个选项，则任意选一个均正确，得分，此时的期望为2； 故； ②当乙从BCD三个选项中随机选两个作答时，设乙同学在解答第20题的得分为. 若正确答案为两个选项，则得分的分布列为 0 5 的期望为； 若正确答案为三个选项，则得分的期望为2； 故． ③当乙同时选择BCD三个选项作答时，设乙同学在解答第20题的得分为， 若正确答案为两个选项，则得分的期望为0： 若正确答案为三个选项，则得分的期望为5； 故． 因此，建议乙同学选择方案②作答． 解法二：在20道多项选择题中，双选项由现的概率为，三选题出现的概率为． ①当乙从BCD三个选项中随机选一个作答时， 设得分为变量，则的可能取值为0、2， 则， 的概率分布列为 0 2 所以； ②当乙从BCD三个选项中随机选两个作答时， 设得分为变量的可能取值为0、2、5 则， 的分布列为 0 2 5 所以； ③当乙同时选择BCD三个选项作答时， 设得分为变量的可能取值为0、5 则， 的分布列为 0 5 故； 因此， 建议乙同学选择方案②作答． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可； （2）问题转化为在上恒成立，令，根据函数的单调性求出的最小值，求出的范围即可. 【小问1详解】 当时，，则，，， 曲线 在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 由得，在上恒成立， 令，则， 令，易知在单调递增，，， ，使得，即， 当时，，当时，， 在单调递减，在上单调递增，， 由得， ，，， 的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，下列式子错误的是（　　） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知随机变量服从二项分布，则（ ） A. B. C. D. 4. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. B. C. 0.8 D. 0.96 5. 某电动摩托车制造企业为了解其新研发的一款电动摩托车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了10000个样本，根据统计这款新型电动摩托车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有（ ） A. 10辆 B. 100辆 C. 180辆 D. 900辆 6. 杭州亚运会共设个竞赛大项，包括个奥运项目和个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区、现需从名管理者中选取人分别到温州、金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且人中甲、乙两人不去温州赛区，则不同的选择方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 函数在区间的极大值点的数目为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，高速服务区停车场某片区有A至H共8个停车位每个车位只停一辆车，有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆白色车也停在同一列的概率为（ ） A B C D E F G H A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中有可能适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 不等式的解集是 C. 若不等式恒成立，则a的取值范围是 D. 若关于x的不等式的解集是，则的值为 11. 现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得块月饼、黄球获得块月饼、绿球获得块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是 B. 第二次抽到红球的概率是 C. 如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为 D. 小明获得块月饼的概率是 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，使成立”的否定命题是______. 13. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________. 14. 在下面的方格表中，要求该方格表的每一行，每一列及每条对角线的四个方格均包含1，2，3，4四个数字，则______． 1 2 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知（）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是. （1）求二项式系数之和； （2）求展开式中各项系数的和； （3）求展开式中含的项. 16. 某校有高一学生1800人，高二学生1200人，学校采取按比例分配的分层抽样的方式从中抽取100人进行体育测试，将一分钟跳绳次数视为及格，整理出以下列联表： 及格 不及格 合计 高一 52 8 60 高二 38 2 40 合计 90 10 100 （1）试根据小概率值的独立性检验，分析一分钟跳绳次数及格情况是否与年级有关；（结果保留小数点后三位） （2）如果将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断一分钟跳绳次数及格情况与年级之间的关联性，结果还一样吗？ 附：，. 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 花旗银行于2024年12月发布的《人工智能机器人的崛起》报告，深入剖析了AI机器人领域的技术突破、市场机遇与挑战.这份报告传递了一个清晰的信号：AI机器人正在从实验室和工厂加速走向我们的日常生活，预计到2035年将有13亿台，2050年更将达到40亿台.某人工智能公司先后共开发七款人工智能类产品（代码x为1~7），其综合评分y如下表所示： 代码x 1 2 3 4 5 6 7 综合评分y（单位：分） 5.8 6.6 7.2 8.8 9.6 10.4 11.8 （1）根据表中的数据，可推断出变量y与x之间具有线性相关关系，请预测该公司即将研发成功的第八款人工智能类产品的综合评分； （2）把综合评分不超过8分的人工智能类产品叫做“初级品”，从已开发的七款人工智能类产品中任取2款，X表示取到“初级品”的个数，求X的分布列和数学期望. 参考数据：，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 18. 在某项测验中，共有20道多项选择题（15道双选题和5道三选题随机排列），每道题都给出了4个选项，其中正确的选项有两个（双选题）或者三个（三选题），全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．现有甲乙两位同学均已答完前19题，两人对于每一题的答对与否均不确定． （1）若甲同学在解答第20题时，随机选择一个选项作答，求他第20题得2分的概率； （2）若乙同学在解答第20题时，已正确判断出A选项是错误的，而对BCD三个选项的正确与否无法确定，现在有三个方案： ①从BCD三个选项中随机选一个作为答案； ②从BCD选项中随机选两个作为答案； ③直接选择BCD作为答案； 为使第20题得分的期望最大，乙同学应选择哪个方案作答，并说明理由． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $