精品解析：2025年湖南省长沙市博才实验中学联考三模数学试题

九年级保温练习卷•数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下面四个图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年春节假期云南全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安有序、安全文明、优质高效的目标，期间，云南全省共接待游客约4500万人次，用科学记数法可以把数字4500万表示为（ ） A. B. C. D. 5. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而增大 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、四象限 6. 如图，是的直径，弦于点，如果，半径为3，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 如图，点在双曲线上，轴于点，，则的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 18 D. 6 8. 已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ） A. 1 ：3 B. 1：6 C. 1：9 D. 3：1 9. 如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，若CD＝3，则BD的长是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在二次根式中，字母a的取值范围是______． 12. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度得点的坐标为______． 13. 在一次湖南旅游景点推荐活动中，主持人从长沙、张家界、岳阳、娄底四个地市中，随机抽取两个地市，并从被抽取的地市中各选一个代表景点进行详细介绍．假设长沙的代表景点是橘子洲头，张家界的代表景点是武陵源风景名胜区，岳阳的代表景点是岳阳楼，娄底的代表景点是紫鹊界梯田．那么，被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的概率是_____． 14. 圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型：母线长为，底面半径长为，则此圆锥的侧面积为______（结果保留）． 15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则______． 16. 下表是某市本年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“”表示上升，“”表示下降，“—”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排在第，，名的区县依次是______． 名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 区县 变化情况 — — — 三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 20. 某校为提高学生体育运动能力，进一步增强学生的身体素质，现决定开设篮球、足球、排球、乒乓球、游泳5门运动课程．为了解学生需求，学校随机抽取部分学生进行调查（每人限选1门），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生一共有______人； （2）请补全条形图； （3）扇形统计图中，“排球”所在扇形圆心角的度数为______； （4）若全校共有2200名学生，估计全校选择“乒乓球”的学生人数． 21. 如图，点D在上，，交于点F，，，． （1）证明：； （2）若，求的度数． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》的热播，促进了文创市场的发展．经了解，某商店销售“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的数量和金额如下： “哪吒”玩偶（个） “太乙真人”玩偶（个） 金额（元） 1 2 210 3 4 480 （1）该商店“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的销售单价分别是多少元/件？ （2）某公司为庆祝“六一儿童节”，准备到该商店购买“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶共100件，总费用不超过6500元，则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶多少件？ 23. 如图，已知四边形是菱形，延长到点E使，延长到点F使，连接，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，菱形的边长为4，求矩形的面积． 24. 如图，在中，以为直径的上半圆上有一动点（不与、重合），连接并延长至点，使． （1）求证：为的切线； （2）记、、的面积为、、，若，求的值； （3）已知，平分分别交、于点、，连并延长交于点，与的延长线交于点，的值是否为定值？如果是，定值是多少？如果不是，请说明理由． 25. 将函数图象上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的倍（为常数，，），得到新的函数图象，则称为的“倍位似图象”．例如：对于，求它的“3倍位似图象”的解析式．求法：不妨记上的任意点，则变换之前的点在的图象上，则：，即，所以的解析式为． （1）判断：下列三组函数图象，是否为的“2倍位似图象”？对的打“√”，错的打“×”； ①和（ ） ②和（ ） ③和（ ） （2）已知二次函数（，为常数），是的“倍位似图象”．若的顶点落在图象上，求的值； （3）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数），记的“倍位似图象”为抛物线．抛物线与轴交于，两点，顶点为点．抛物线与轴交于，两点，顶点为点，若，且，求线段的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级保温练习卷•数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 下面四个图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂相除，同底数幂相乘，合并同类项．根据积的乘方，同底数幂相除，同底数幂相乘，合并同类项，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 2024年春节假期云南全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安有序、安全文明、优质高效的目标，期间，云南全省共接待游客约4500万人次，用科学记数法可以把数字4500万表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：4500万即45000000， ， 故选：D． 5. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而增大 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A．当时，，则它的图象与y轴交于点，故本选项符合题意； B．因为，则y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； C．当时，，则当时，，故本选项不符合题意； D．它的图象经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：A 6. 如图，是的直径，弦于点，如果，半径为3，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题应用垂径定理，连接，由得，在中，设半径为R，应用勾股定理得：，继而求得的长． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴, 根据勾股定理： 解得， 故选：B． 7. 如图，点在双曲线上，轴于点，，则的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 18 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义．根据值的几何意义，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵图象在一、三象限， ∴， ∴； 故选：D． 8. 已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ） A. 1 ：3 B. 1：6 C. 1：9 D. 3：1 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案． 【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3， ∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9， 故选：C． 【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 9. 如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能判定四边形是平行四边形，符合题意； B、根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；不符合题意； D、根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选A． 10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，若CD＝3，则BD的长是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，AD是∠BAC的角平分线， ∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=60°， ∴∠CAD=∠BAD=30°， ∴AD=2CD=6，∠B=∠BAD， ∴BD=AD=6. 故选B. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在二次根式中，字母a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数大于等于0即可求解． 【详解】解：由题意知， 解得， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度得点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求坐标系中点的平移坐标；平移法则：左减右加，上加下减；根据平移法则即可求解． 【详解】解：点向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，则其横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； 故答案为：． 13. 在一次湖南旅游景点推荐活动中，主持人从长沙、张家界、岳阳、娄底四个地市中，随机抽取两个地市，并从被抽取的地市中各选一个代表景点进行详细介绍．假设长沙的代表景点是橘子洲头，张家界的代表景点是武陵源风景名胜区，岳阳的代表景点是岳阳楼，娄底的代表景点是紫鹊界梯田．那么，被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的概率是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列表或画树状图求概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键，根据题意列出表格即可求出概率． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示橘子洲头、武陵源风景名胜区、岳阳楼、紫鹊界梯田，列表得， A B C D A B C D 随机抽取两个地市，并从被抽取的地市中各选一个代表景点进行详细介绍，共有12种等可能的情况，其中被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的有6种， ∴被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的概率是， 14. 圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型：母线长为，底面半径长为，则此圆锥的侧面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥侧面积，根据侧面积公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握这一关系是解题的基础；由一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴； 故答案为：3． 16. 下表是某市本年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“”表示上升，“”表示下降，“—”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排在第，，名的区县依次是______． 名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 区县 变化情况 — — — 【答案】E，I，G 【解析】 【分析】本地考查推理问题，根据数据特点及已知分析即可． 【详解】解：∵每个区县的名次变化都不超过两位， ∴A区县只能从去年的2、3名而来， 但第2名的B区县维持去年名次不变，则A区县只能是去年的第3名上升到今年的第1名， ∴A区县是去年的第3名；B区县去年是第2名； ∵C区县是去年的1、2名下降而来，而第2名的B区县维持去年名次不变， ∴C区县是去年的第1名； ∵F区县今年名次下降，去年应该是第4，5名，而D区县维持去年的第4名不变， ∴F区县去年是第5名； ∵J区县维持去年的第10名不变；而H区县今年名次升了， ∴H区县一定是去年的第9名； ∴G区县一定是去年的第8名； ∴第6名是E区县，第7名是I区县；否则第6名的I区县降了3个名次，与已知矛盾； 综上，去年的名次从第1名到第10名分别为C，B，A，D，F，E，I，G，H，J，则去年第6、7、8名的区县分别为E，I，G； 故答案为：E，I，G． 三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及实数的绝对值计算，二次根式的性质，特殊角的三角函数值及负整数指数幂等知识，掌握这些基础知识是解题的关键；依次计算实数的绝对值，二次根式，特殊角的三角函数及负整数指数幂，最后相加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 运用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，代入计算即可求解． 【详解】解： ， 当，时，． 19. 习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，则． 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴ ∴； 在中，， ∴ ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 20. 某校为提高学生体育运动能力，进一步增强学生的身体素质，现决定开设篮球、足球、排球、乒乓球、游泳5门运动课程．为了解学生需求，学校随机抽取部分学生进行调查（每人限选1门），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生一共有______人； （2）请补全条形图； （3）扇形统计图中，“排球”所在扇形圆心角的度数为______； （4）若全校共有2200名学生，估计全校选择“乒乓球”的学生人数． 【答案】（1）40 （2）见解析 （3） （4）275人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求扇形统计图中圆心角的度数，用样本估计总体数量等知识，从两个统计图中获取相关信息是解题的关键． （1）根据选足球的人数及其占比，可求得抽取的学生数； （2）学生总数减去篮球、足球、排球、游泳的人数，得选乒乓球的人数，即可补充条形统计图； （3）与选排球的百分比的积即是； （4）全校学生数与乒乓球所占的百分比的积即是． 【小问1详解】 解：（人）； 即抽取的总人数为40人； 故答案为：40； 【小问2详解】 解：选乒乓球的人数为：（人）； 补全的条形统计图如下： 【小问3详解】 解：； 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）； 答：全校共有2200名学生，估计全校选择“乒乓球”的学生人数为275人． 21. 如图，点D在上，，交于点F，，，． （1）证明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由SAS证，即可解答． （2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到，由等腰的性质和三角形内角和定理求得，最后根据邻补角的定义解答． 本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 ， . 在与中， 【小问2详解】 由（1）知，， 则. ，， . . . 22. 电影《哪吒之魔童闹海》的热播，促进了文创市场的发展．经了解，某商店销售“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的数量和金额如下： “哪吒”玩偶（个） “太乙真人”玩偶（个） 金额（元） 1 2 210 3 4 480 （1）该商店“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的销售单价分别是多少元/件？ （2）某公司为庆祝“六一儿童节”，准备到该商店购买“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶共100件，总费用不超过6500元，则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶多少件？ 【答案】（1）“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是60元/件和75元/件 （2）公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设该商店销售的“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是元/件和元/件．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设公司至少应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件．根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【小问1详解】 解：设该商店销售的“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是元/件和元/件． 根据题意，得， 解得：， 答：“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是60元/件和75元/件． 【小问2详解】 解：设公司至少应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件． 根据题意，得：， 解得， 则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件． 23. 如图，已知四边形是菱形，延长到点E使，延长到点F使，连接，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，菱形的边长为4，求矩形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，得出四边形是平行四边形，根据四边形是菱形，得出，结合，，得出，即可证明四边形是矩形． （2）根据四边形是菱形，得出，，即可得，结合平分，证明，证出，得出，，在中，根据勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的边长为4 ， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】该题考查了勾股定理，矩形的性质和判定，菱形的性质，等腰三角形的判定等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 24. 如图，在中，以为直径的上半圆上有一动点（不与、重合），连接并延长至点，使． （1）求证：为的切线； （2）记、、的面积为、、，若，求的值； （3）已知，平分分别交、于点、，连并延长交于点，与的延长线交于点，的值是否为定值？如果是，定值是多少？如果不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）是定值，定值是8 【解析】 【分析】（1）由是的直径，推出，再利用直角三角形的性质和切线的判定定理即可证明； （2）由题意得，再结合，求出的值，通过证明得到，求出的值，再利用正切的定义即可求解； （3）作于，作于，利用角平分线的性质定理得到，设，通过证明和得到，，利用线段的和差得到，在和中利用勾股定理得出，再证明得到，表示出，再计算的值即可得出结论． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ， ， ， ， 为的切线． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ， 在中，． 【小问3详解】 解：如图，作于，作于， 平分，，， ，， 设，则， 由（1）得，， ， 又， ， ，即， ， 同理可证得：， ，即， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， 的值是定值，定值是8． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定、相似三角形的性质与判定、求角的正切值、角平分线的性质定理、勾股定理、分式的混合运算，结合图形正确找出相似三角形是解题的关键．本题属于圆综合题，对几何知识储备要求较高，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 25. 将函数图象上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的倍（为常数，，），得到新的函数图象，则称为的“倍位似图象”．例如：对于，求它的“3倍位似图象”的解析式．求法：不妨记上的任意点，则变换之前的点在的图象上，则：，即，所以的解析式为． （1）判断：下列三组函数图象，是否为的“2倍位似图象”？对的打“√”，错的打“×”； ①和（ ） ②和（ ） ③和（ ） （2）已知二次函数（，为常数），是的“倍位似图象”．若的顶点落在图象上，求的值； （3）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数），记的“倍位似图象”为抛物线．抛物线与轴交于，两点，顶点为点．抛物线与轴交于，两点，顶点为点，若，且，求线段的取值范围． 【答案】（1）①；②√；③√ （2） （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）根据新定义及题干中提供的方法即可对①②③进行判断； （2）按照题干中提供的方法求出的解析式，即可求得其顶点坐标，再把顶点坐标代入解析式中即可求解； （3）设M，N的横坐标分别为，利用根与系数的关系求得；求出的“倍位似图象”抛物线的解析式，同理可求得，由则可求得a的值；再求出两抛物线的顶点坐标，求得，根据b的范围求得的范围． 【小问1详解】 解：①记上的任意点，则变换之前的点在的图象上， 则有，整理得：； 则不是的“2倍位似图象”； 故：； ②上的任意点，则变换之前的点在的图象上， 则有，整理得：； 则是的“2倍位似图象”； 故：√； ③上的任意点，则变换之前的点在的图象上， 则有，整理得：； 则是的“2倍位似图象”； 故：√； 【小问2详解】 解：设上的任意点，则变换之前的点在的图象上， 则有，整理得：； 而， ∴抛物线的顶点坐标为； 由题意得：， 整理得：； ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设M，N的横坐标分别为，则是的两个实数根， ∴， ∴； 设上的任意点，则变换之前的点在的图象上， 则有，整理得：； 设两点的横坐标分别，同理得； ∵，且， ∴， 即； ∴， ∴， ∴ ； 当时，，， 当时，；当时，； ∴； 当时，，，， 当时，；当时，； ∴； 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数与二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，抛物线在x轴上所截的线段长，新定义等知识；掌握三种函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $