2025年中考数学真题完全解读（江西卷）

2025年中考数学真题完全解读（江西卷） 本套试卷整体围绕义务教育阶段数学课程标准的要求设计，能较好地体现江西地区中考命题的特点。与往年相比，本试卷在题型、题量和结构上延续了该地区一贯的命题风格，注重基础、兼顾能力，同时在部分题目上强化了对学生思维能力与综合运用所学知识的考查。 试卷包括选择题、填空题与解答题三大部分。其中单项选择题6题，每题3分，共18分；填空题6题，每题3分，共18分；解答题共计10题（含数形结合、函数与方程、几何综合、统计与概率、压轴综合等），占分值较大。整份试卷满分为120分，考试时间120分钟，题量适中。 在形式上，试卷延续了近年来强调数学与生活实际相结合的特点，恰当融入物理化学等学科情景及生活情境，如固态氢、固态氮的熔点比较、推拉门打开角度的变化等。这些情景的出现不仅展示了数学在现实生活与其他学科中的广泛应用，也帮助考生建立更灵活的数学视野和思维方式。 根据义务教育数学课程标准，初中阶段需培养学生的数学核心素养，包括运算能力、图形几何推理能力、数据分析与概率统计意识、数学应用意识和数形结合思维。本试卷在命题时，充分体现了这些目标： 1.知识覆盖面广：从基础的有理数、无理数、方程与函数，到几何图形中的对称、相似和平行，再到统计与概率的综合运用，均有涉及。试题兼顾代数与几何，选择与填空更注重基本运算和基本性质考查，解答部分进一步考查阅读理解、综合运用与几何推理。 2.难易分布合理：选择题及部分填空题较为基础，适合中等及以下水平的考生掌握；中后段的几何、函数综合和实践探究题则对学生数形结合与综合分析能力提出更高要求。整体来看，试卷梯度分明，让不同层次的考生都能有所斩获。 3.突出应用意识与实践探索：如“盲盒抽取概率”、“推拉门打开角度”等题型，立足于现实情境的数字、图形和规律，鼓励学生从数学的角度分析与解决实际问题。同时，还出现了与考古、复原青铜器蒸馏实验相结合的背景素材，让学生感受到数学的学科魅力与应用价值。 4.关注逻辑思维与探究创新：例如对“旋转放缩”与“不动点函数”等问题的探讨，体现了开放性与探索性。考生需要对概念做进一步解读，并借助代数推理及几何变换来完成证实或猜想，能够激发学生的高阶思维。 1.运算和基本概念的掌握：试卷在前半部分对初中数学的基本技能要求做了较全面的考查，包括、、 等数的性质、一次方程与不等式的处理、分式、因式分解以及最基本的几何概念。教师在平时教学中需要引导学生注重概念理解与灵活应用，避免机械记忆。 2.数据与统计分析：现代课程标准强调对数据统计、概率等知识的重视。卷中对抽样调查、概率统计展开了深度考查，让学生通过树状图或列表法求概率，或对样本进行评估整体的推断，这类命题既符合课标的要求，也体现了普适性与时代性。 3.几何思维和综合应用：从初中阶段的平行线判定与性质，到圆的切线、圆周角几何，最后再到旋转与放缩的综合探究题，都要求学生拥有较强的几何推理和综合能力；同时要善用数形结合思想，用坐标、三角函数或向量等方法进行分析和解题。 4.启发创造性思维的开放题型：试题兼顾了传统的计算与证明，也设置了新颖的应用和探究任务，如旋转与放缩的几何模型、不动点函数的探究，以及考古背景下的出酒率计算等。这些题目较好地培养学生的问题意识、探究精神和综合素养，鼓励学生运用已有知识体系去解决未知情境的问题。 综上所述，2025年江西省中考数学试卷兼顾基础与创新，符合本地区学情与课标要求，难度分布较为平稳，全面考查了学生在运算、几何、代数、统计等方面的综合能力。对教师而言，应注重引导学生在学习过程中充分理解基础知识、培养探究和应用思维，唯有如此，方能在类似的综合性试题中游刃有余。 ❆2025年江西省中考数学试题依旧保持了与2024年基本一致的题型结构：仍由选择题、填空题、解答题三大板块构成，题量与分值分布方面变化不大，总体稳定。其中对反比例函数的考查从去年的16题（6分）变为今年的18题（8分），6分解答题里面新增分式的化简题14题，难度较易，8分解答题中减少了最后一道几何题20题。 ❆全卷紧扣九年级教材重难点，兼顾七八年级知识的综合运用，突出对运算能力、图形几何、函数思想以及统计与概率等多方面的考查，整体难度梯度有序。 1.情境设置更丰富 相比2024年，2025年试题在选择题与填空题中进一步引入了生产生活、科技应用等场景，使日常情境下的数形结合、统计调查及函数建模成为新的考查重点。 2.知识融合度提升 部分解答题打破单一知识点考查的模式，增加了几何与函数、不等式与统计综合应用的题目，需要学生在多学科交叉背景下分析问题。 3.考查深度小幅度提升 从题目设计来看，一些中档题的运算量有所增加，函数与几何综合题更注重过程分析；学生需具备较强的推理与表达能力才能获得高分。 1.思维灵活度 强调在真实情境下应用所学知识，要求学生具备快速提炼信息、转化数学模型的能力，不能仅依赖套路记忆。 2.综合解题能力 融会贯通多知识板块成为趋势，亟需学生构建整体知识网络，熟练运用函数思想及几何方法解决综合问题。 3.探究与表达能力 题目更注重过程评价，比如对几何推理、函数建模的过程呈现提出明确要求，凸显出对学生表述与交流能力的考查。 本试卷共包含以下题型： ❆单项选择题：6小题，每小题3分，共18分 ❆填空题：6小题，每小题3分，共18分 ❆解答题： 第13～17题，每题6分，共30分 第18～20题，每题8分，共24分 第21～22题，每题9分，共18分 第23题，共12分 各题型分值占比如下： ❆单项选择题：18分，占比约 ❆填空题：18分，占比约 ❆解答题： 第13～17题共30分，占比约 第18～20题共24分，占比约 第21～22题共18分，占比约 第23题12分，占比约 试卷总分 分，考试时间 分钟，整体结构覆盖了选择题、填空题、以及不同层次的解答题。 下面以表格的形式呈现各题的分值、题型、考查内容及难易分析，并按照题目顺序排列。 题号 分值 题型 考查内容 难易分析 1 3 单项选择题 无理数的概念及判断 较易 2 3 单项选择题 有理数与负数的大小比较，数轴与温度等应用 较易 3 3 单项选择题 轴对称与中心对称图形的认识 较易 4 3 单项选择题 抽样调查的代表性与方法选择 较易 5 3 单项选择题 三角形的中位线和面积分割；几何级数型规律 中等 6 3 单项选择题 正比例函数图象及斜率、几何意义 中等 7 3 填空题 立方根（）的求值 较易 8 3 填空题 因式分解（提取公因式） 较易 9 3 填空题 正多边形内角和计算（如正六边形内角和 ） 较易 10 3 填空题 一元一次不等式的解及其解集表示 较易 11 3 填空题 分式方程的应用；百公里耗油费与耗电费的行程问题 中等 12 3 填空题 矩形折叠与三角形度数关系，角度分析 中等偏难 13 6 解答题 (1) 绝对值、相反数、零次幂的混合运算；(2) 平行线的判定与性质 中等 14 6 解答题 分式的加减乘除混合运算化简 中等 15 6 解答题 无刻度直尺作图：矩形中点、三角形重心 中等 16 6 解答题 随机事件与概率，列表法/树状图计算概率 中等 17 6 解答题 圆与平行四边形的综合，圆心、圆周角、切线等几何知识 偏难 18 8 解答题 一次函数与反比例函数综合应用；图象平移与求点坐标 中等 19 8 解答题 几何与函数综合应用；三角形面积变化、勾股定理、旋转角度 中等偏难 20 8 解答题 一元一次方程与二元一次方程组的实际应用（蒸馏酒问题） 中等 21 9 解答题 统计与抽样、平均数、中位数、加权平均综合；数据分析与图表应用 中等偏难 22 9 解答题 一次函数、二次函数的“不动点函数”概念及应用 偏难 23 12 解答题 四边形与三角形旋转、放缩综合；矩形、菱形中线段平分、几何变换 难 1.整体难度：试卷呈现“稳中有进”的特点，重点知识与常规方法仍是考查主流，但对数形结合、综合运用、思维灵活度有较高要求。整体难度可评为中等，中等及中等偏难的题目较多，兼顾基础和拓展。 2.易、中、难题目的比例： ❆易：约占全卷的 例：第1、7题等，主要考基础概念或直接计算。 ❆中：约占全卷的 例：第5、6、13、14、15、16、18、20题等，需要一定的知识综合与常规解题思路。 ❆难：约占全卷的 例：第17、22、23题等，需要较高的几何推理、函数综合运用或较强的思维链条。 ❆易题特点：考查教材经典内容、基础概念或常规运算，如无理数判定、因式分解、简单的折叠与线段长度计算等，计算量小； ❆中等题特点：要求综合应用多种知识点或思维方式，一般需要2～3步推理或运算； ❆难题特点：多步骤推断、几何综合、函数综合、数形结合思路复杂，需要学生灵活运用知识点或对问题背景有深入理解。 整体来看，本试卷兼顾了对基础知识的巩固与对综合能力的考查，适合检验学生在初中阶段的数学学习成效，能够区分不同层次考生的学业水平。 通过对本卷各题型的考察，可以看出命题围绕初中数学的核心内容，主要集中在以下板块： 1.数与代数 包括有理数与无理数的识别与比较，整式与分式的运算（尤其是分式加减、乘除混合运算的简化），因式分解及不等式解集的求解等。这些内容常结合基础运算考查学生的运算熟练度和对基本概念的理解，如到底属于什么数，的解集如何表示等。 2.图形与几何 包含轴对称与中心对称图形的辨析、三角形相关定理（例如中位线、三角形相似以及等边三角形面积等），还涵盖平行线的判定与性质、矩形折叠与角度分析等试题。对特殊四边形（正方形、菱形、矩形）的性质及折叠过程中的映射关系也有一定深度考查。 3.函数及其应用 涉及一次函数、反比例函数、正比例函数与二次函数等多个函数类型，重点关注待定系数法求解析式、图像与性质（函数图像间的平移、对应点坐标计算）以及综合应用题中函数模型的建立与求解。试卷还出现了“利润—价格”或“抽样调查—比值比较”的应用，要求学生灵活套用函数思想，提炼等量关系后列方程进行解决。 4.统计与概率 侧重抽样调查方法、列表法（或树状图法）求概率、用样本估计整体等。考生需掌握科学、合理的抽样方式以及概率概念的理解，包括“必然事件”“不可能事件”“随机事件”等基础知识。 5.综合实践与探究 材料题强调对数学几何变换、数形结合、平行与相似、折叠与旋转放缩的结合运用，延伸到更高层次的数学建模与思维过程，对归纳、猜想与论证提出更高要求。 1.有理数与无理数区分 很多同学在判断、以及等数的类别时常混淆，需从开方是否能开尽、是否是无限不循环小数、是否显含等方面细心区分。 2.不等式解集与数轴表示 对于或等解集的书写，易错点在于不等式方向和边界点是否取到，需要结合移项、系数正负量仔细判断。 3.几何作图与重心、折叠点定位 折痕与边的交点、三角形重心及中点等位置往往容易犯机械误判错误，要明确作图步骤、结合对称或中位线性质区分清楚。 4.函数平移与比例系数 有同学在一次函数与反比例函数综合题中，因缺乏对“图象平移”与“函数系数”的准确理解，导致列方程时对象混淆。要使用待定系数法之前，先明晰坐标对应，再进行方程求解。 1. 基础夯实阶段 ❆回归课本，强化概念:着重梳理初中数学教材中的定义、定理及公式。例如，清晰掌握有理数、无理数、正比例函数、一次函数等概念及基本性质。利用每天固定时间进行少量基础练习，保证概念熟悉度。 ❆适量题组训练，提升运算准确性:对常见题型（如因式分解、分式加减、求不等式解集、函数解析式求法等）进行针对性小专题训练，尽量当日问题当日解决。 2. 重点冲刺阶段 ❆强化综合应用:在完成基础巩固后，要把目光转向综合题，尤其是函数和几何结合的综合应用，统计与概率等情境题，以及作图与折叠类似专题，做到思路清晰，规范表达。 ❆专项限时训练与订正:结合历年真题或模拟题进行限时自测，做完立即订正与反思，整理错题并归纳错因，确保在后续同类题出现时能迅速判断、正确答题。 3. 查漏补缺与心理调适阶段:临近中考前一个月，重点回顾自己积累的错题本与笔记，查漏补缺，适度回看典型题型的解题过程，保持对方法的敏感度。 1. 选择题技巧 ❆排除法与特值代入:有些选择题可先尝试排除不合常理的选项，再使用简单特值或特殊情况检测剩余选项是否合理，从而快速锁定正确答案。 ❆注重数量关系和图形特征:像判断“熔点最高”“跳跃比值最大”等题目，可直接比较数值大小或观察图像的斜率、陡峭程度等，帮你快速准确判断。 2. 填空与解答题规范 ❆写清每一步理由:如几何题要说明使用哪一几何定理或性质，函数题也要明确方程来源及转换过程。 ❆表达简洁有条理:勿在关键环节漏写“所以”“根据……可得”等关键衔接词，清晰的逻辑和简洁的表达往往能确保卷面整洁、方便阅卷老师理解。 1.保持平和心态:当复习压力渐增，适度繁重的训练有必要，但也要平衡作息，避免过度疲劳。可进行轻量运动或倾诉交流，释放压力，专注过程。 2.相信自己的积累:考前难免出现焦虑情绪，要相信自己平日努力所奠定的基础，临考前做适量题目即可，谨防盲目刷题让状态下滑。 1.探究类与开放题或将有所增加:近年命题惯用素材情境化与探究性设置，如“不动点函数”或“旋转放缩”等具有启发思维的环节，这提示我们要注重概念深层次理解与归纳。 2.生活化情境更丰富:无论是车辆耗费问题、蒸馏酒出酒率，还是商品利润或淋浴房平面视图，出题者都在强调数学世界与现实生活的连接。后续复习中需培养建模与应用意识，关注真实场景下数据处理与关系式的推导。 3.几何与代数综合依旧是考察重点:例如圆与切线、三角形与相似、函数图象调整等，都有可能与统计概率或函数应用结合，形成多题型融合的综合问答，需加强综合素养的培养。 在完成本次试卷梳理和复习规划后，建议同学们结合以上要点，循序渐进、扎实复习，同时保持自信与平和。相信只要目标明确、方法得当，在2025年中考中定能取得理想成绩！祝大家备考顺利！ 2025年江西省中考数学试题卷 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3.14 D. 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 2. 在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（ ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A. 固态氢 B. 固态氧 C. 固态氮 D. 固态酒精 【答案】D 【分析】本题考查负数的知识，负数大小的比较．分别比较几个凝固点的大小，即可得到解答．． 【详解】解：由表格可知，固态氢的熔点为，固态氧的熔点为，固态氮的熔点为，固态酒精的熔点为， ∵， ∴熔点最高的是固态酒精． 故选：D． 3. 下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 4. 某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ） A. 随机抽取城区三分之一的学校 B. 随机抽取乡村三分之一的学校 C. 调查全体学校 D. 随机抽取三分之一的学校 【答案】D 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况． 【详解】解：A、随机抽取城区三分之一的学校，调查不具代表性，故本选项不符合题意； B、随机抽取乡村三分之一的学校，调查不具广泛性，故本选项不符合题意； C、调查全体学校，虽全面，但耗时耗力，不符合“尽快”要求，故本选项不符合题意； D、随机抽取三分之一的学校，调查具有广泛性、代表性，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，相似比，的面积，的面积，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：点、、分别为等边△ABC的边的中点， ，，， ，相似比， △ABC的面积为1， 的面积， 同理，的面积， 则的面积， 故选：C． 6. 在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大， ∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：________ 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为2． 8. 因式分解：________ 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接运用提取公因式法解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9. 如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为________度． 【答案】720 【分析】本题考查了多边形的内角和公式；根据n边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：根据图形知，空白部分为六多边形， 六边形的内角和为， 故答案为：720． 10. 不等式的解集为________ 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式．根据一元一次不等式的解法，先移项，再系数化为，即可求解． 【详解】解：移项，得， 系数化为，得． 故答案为：． 11. 小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为________ 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， 故答案为：． 12. 如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是_________ 【答案】或或 【分析】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论与，的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：①当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; ②当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; 或，如图： ，, , , ; 综上，的度数可以是或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，已知点C在上，，．求证：． 【答案】（1）5；（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，零次幂以及绝对值和相反数的性质． （1）根据绝对值和相反数的性质，零次幂的性质化简，再计算即可求解； （2）根据平行线的性质求得，等量代换得到，再利用平行线的判定定理即可得到． 【详解】（1）解： ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 15. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出的中点； （2）在图2中作出△ABC的重心． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，矩形的性质，以及三角形重心的定义． （1）利用矩形的性质即可作出的中点； （2）根据△ABC的重心就是三边中线的交点，即可作出图形． 【小问1详解】 解：如图，点即为所作； ； 小问2详解】 解：如图，点即为所作； ． 16. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【答案】（1）B （2） 【分析】本题主要考查了随机事件、列表法求概率等知识点，正确列表成为解题的关键． （1）直接根据随机事件的定义即可解答； （2）将“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，然后列表确定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能， ∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件． 故选B． 【小问2详解】 解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D， 根据题意列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2． 所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． 17. 如图，点A，B，C在上，，以，为边作． （1）当经过圆心O时（如图1），求的度数； （2）当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出，再求出，再根据平行四边形的性质得出； （2）连接、，根据切线性质得出，证明，得出， 说明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵经过圆心O， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：连接、，如图所示： ∵与相切， ∴， ∴， ∵在中， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； （2）点，直线l平移的距离为． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； 【小问2详解】 解：作一三象限的角平分线，如图， ∵，∴， 根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称， ∴， 作轴于点，作轴于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点，设直线l向上平移个单位经过点， ∴平移后的直线为， ∴， 解得， ∴直线l平移的距离为． 19. 图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 （1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（ ） A．越来越大 B．越来越小 C．先增大后减小 （2）当时，求的面积． 【答案】（1）①，；②C． （2） 【分析】（1）①根据临界点运用已知条件以及三角形内角和定理即可解答；②由题意可得：米，，如图：过N作延长线于G，设，则，进而得到与x的函数关系式，然后根据函数关系式即可解答； （2）如图2：当时，，由勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，则；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时有最小值； 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，，则此时有最大值． ∵，， ∴，即有最大值为． 故答案为：，． ②由题意可得：米，， 如图：过N作延长线于G 设，则， ∴， ∴当时，取最大值；当时，随x的增大而增大；当 时，随x的增大而减小； ∴面积的变化情况是先增大后减小．故选C． 【小问2详解】 解：如图2：当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）． 20. 系文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． （1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ （2）受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】（1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）需要准备公斤大米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 小问1详解】 解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． 【小问2详解】 解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡30毫升和牛奶150毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案A：10毫升；方案B：30毫升；方案C：50毫升），并从300位品尝嘉宾中随机抽取10位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以1至10的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）． 数据处理 根据收集到的数据，绘制了下列统计图表． 数据应用 （1）在表1中，________，________． 请根据整体口感评分，说明三个方案中哪个方案最受欢迎． （2）结合图1，估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数． （3）补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响． （4）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案． 【答案】（1），5，方案B （2）90人 （3）图见解析，随着糖浆的加入量的增多，饮品甜度不断增加，整体口感得分先增高后降低 （4）推断该店将会推出方案B 【分析】（1）根据图1求方案A整体口感的平均数可得得到m的值；根据方案C整体口感的得分以及中位数的定义解答即可，再根据平均数和中位数即可确定最受欢迎方案； （2）由图一可知最喜欢方案C的嘉宾有3人，然后运用样本估计整体即可解答； （3）根据表1补全图2，再根据图2进行分析即可解答； （4）分别求得三种方案的加权平均数，然后比较判断即可． 【小问1详解】 解：方案A整体口感平均数为：，即． 方案C整体口感得分从小到大排列为：2，2，3，3，5，5，5，8，8，9，则中位数为，即． 由表1可知：方案B的平均数和中位数都最大，方案B最受欢迎． 故答案为：，5． 【小问2详解】 解：由图1可知：最喜欢方案C的有3人，则300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数为人． 答：估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数为人． 【小问3详解】 解：补全图2如下： 由图2可知：随着糖浆的加入量的增多，饮品甜度不断增加，整体口感得分先增高后降低． 【小问4详解】 解：方案A综合得分为：； 方案B综合得分为：； 方案C综合得分为：； 由，则推断该店将会推出方案B． 22. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【答案】（1）；；（2）；（3）的值与α无关，理由见解析；（4）． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据，求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （3）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$