21.2.2 第2课时 用公式法解一元二次方程-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

第2课时用公式 知识梳理ZHISHI SHULI 1.当△0时，方程ax2+bx十c=0(a≠0)的 实数根可写为 的形式， 这个式子叫做一元二次方程ax2十bx十c=0 的求根公式 2.求根公式表达了用 法解一般的一元二 次方程ax2十bx十c=0的结果 3.解一个具体的一元二次方程时，把各 直 接代人求根公式，可以避免配方过程而直接得 出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法 知识点用公式法解一元二次方程 1.用公式法解一元二次方程3x2一2x十3=0 时，首先要确定a,b,c的值，下列叙述正确的 是() A.a=3,b=2,c=3 B.a=-3,b=2,c=3 C.a=3,b=2,c=-3 D.a=3,b=-2,c=3 2.方程x2十x-12=0的两个根为() A.x1=-2,x2=6 B.x1=-6,x2=2 C.x1=3,x2=4 D.x1=-4,x2=3 3.用求根公式解得某一元二次方程ax2十bx十 c=0的两根互为相反数，则( ) A.b=0 B.c=0 C.b2-4ac=0 D.b十c=0 4.一元二次方程a2-4a-7=0的解为 5.若2x2+1与4x2-3x-5互为相反数，则x 的值为 21.2解一元二次方程 法解一元二次方程 6.用公式法解下列方程： (1)x2-2x-1=0; (2)4x2+5x=1; (3)x2-4√3x=-12; (4)6x2+12x-1=1. 课后作业KEHOU ZUOYE 1.若关于x的一元二次方程的根为x= 一4±√二4X2灯，则这个方程是() 2X2 A.2x2+4x+1=0 B.2x2-4x+1=0 C.2x2-4x-1=0 D.2x2+4x-1=0 2.（天津和平区期中)用公式法解方程一3x2十 5x一1=0，正确的是() A.x=-5±13 B.x=-5±V13 6 3 C.x=5±13 6 D.x=5±13 3 3.方程2x2-6x十3=0较小的根为p,方程2x2 2x-1=0较大的根为q,则p十q等于() A.3 B.2 C.1 D.2√3 4.已知关于x的方程x2一5x+m=0的一个根 是1，则m的值是 ,另一根 为 数学九年级上册第二十一章一元二次方程 5.方程2x2一6x一1=0的负数根为 罗能力提升ENGUTSHEN6今 6.定义a*6=号2，则方程(x)-(x 10.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x十 x)=2的解为 k2十k=0. 7.有一张长方形的桌子，长为3m,宽为2m,长 (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； 方形桌布的面积是桌面面积的2倍，且将桌 (2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方 布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌 程的两个实数根，第三边BC的长为5， 布长为 ,宽为 当△ABC是等腰三角形时，求k的值， 8.用公式法解方程： (1)(x-2)(1-3x)=6; (2)(3x-1)(x+2)=11x-4; (3)(2x+1)(4x-2)=(2x-1)2+1; (4)2y(y-1)+3=(y+1)2. 9.(天津滨海新区月考)用公式法解关于x的 方程： (1)mx2-(3m+1)x+3=0(m≠0)； (2)x2-(2m+1)x+m2+m-2=0. 1021.2.2公式法 a2>0,.△>0，.方程有两个不相等的实数根. (2)方程有两个相等的实数根， 第1课时一元二次方程根的判别式 ∴.△=b2-4a=0. 若b=2,a=1,则方程变形为x2+2x十1=0， 知识梳理 解得x1=x2=一1.（答案不唯一) 1.b2-4ac b2-4ac 能力提升 2.两相等没有实数根 9.解(1).关于x的一元二次方程(a一6)x2一8x十9=0 对点练习 有实数根， 1.B2.D3.有两个不相等的实根 ..a-6≠0，△=(-8)2-4X(a-6)×9≥0， 4.解(1).△=b-4ac=92-4X1×20=1>0, 方程有两个不相等的实数根 解得a<,且a≠6，故a的最大整数值为7. (2).△=b2-4ac=(-4)2-4X1×5=-4<0, (2)当a=7时，原方程为x2一8x十9=0， 方程没有实数根。 x2-8x=-9. (3):△=b-4ac=(-4√3)2-4×4X3=0, .2x2- x2-8x+17=2x2-32z-7 32x-7 -9+11 =2x2-16x+ .方程有两个相等的实数根， 7 7 (4)x2+5x-10=0, -2x2-8)+7=2×(-90+=-, .△=52-4×1×(-10)=65>0， 第2课时 用公式法解一元二次方程 方程有两个不相等的实数根 5B6D7:k>8 知识梳理 -b±√/b2-4ac 8.解方程变形为x2-(2k-1)x十k2-2k-3=0. 1.≥x= 2a (1)根据题意，得△=[-(2k-1)]2-4×1×(k2-2k- 2.配方3.系数 3)>0,解得>只，所以当>只时，方程有两个 对点练习 1.D2.D3.A 不相等的实数根。 (2)根据题意，得△=[-(2k-1)]2-4×1×(2-2k 4.a1=2+√1，a2=2-√1I 2 3》=0,解得长=-只，所以当k=-时，方程有两个 相等的实数根， 6.解(1)a=1,b=-2,c=-1, (3)根据题意，得△=[-(2k-1)-4×1×(-2k-3)<0, b2-4ac=(-2)2-4X1×(-1)=4+4=8, 解得K一是所以当<一平时，方程淡有实数银 x=（,2)±8-1士2， 2×1 课后作业 即x1=1十√2，x2=1一√2. 1.C2.A3.C4.p2=4g5.k>1 (2)移项，得4x2十5x-1=0. 6.解(1).a=3,b=-2,c=-1, a=4,b=5,c=-1, .b2-4ac=(-2)2-4×3×(-1)=16>0. b2-4ac=52-4×4×(-1)=25+16=41, 故方程有两个不相等的实数根。 ∴x=-5±41 (2)原方程化为一般形式，得6y2一6y十3=0. 8 .a=6,b=-6,c=3, 即x,=-5+4 ,x,=-5+V4红 8 8 ,.b2-4ac=(-6)2-4×6X3=-36<0. 故原方程没有实数根。 (3)移项，得x2一43x+12=0. 7.证明b2一4ac=[-(4m-1)]2-4×2×(一m2-m)= a=1,b=-43,c=12, 24m2+1>0, b2-4ac=(-4√3)2-4×1×12=0， 因此不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根， x=43±0 8.解(1)a≠0，△=b2-4a=(a+2)2-4a=a2+4a+4- 2 4a=a2十4. 即x1=x2=2√3. 35 (4)移项并化简，得3x2+6x一1=0. ∴.x1=m十2，x2=m-1. a=3,b=6,c=-1, 能力提升 b-4ac=62-4×3×(-1)=36+12=48, 10.(1)证明△=b-4ac=[-(2k+1)]2-4(k+k)= x=-6±V48 1>0, 6 .该方程有两个不相等的实数根 即x,=-3+23 ,x=-3+23 (2)解，△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两 3 3 个实数根，由(1)知，AB≠AC,又△ABC的第三边BC 课后作业 的长为5，且△ABC是等腰三角形， 1.A2.C3.B4.445.x=3-▣ 2 AB=5或AC=5,即x=5是原方程的一个根. 将x=5代入方程x2-(2k+1)x十k2+k=0, 6.=1+,=1厘 2 2 7.4m3m 得25-5(2k+1)十2+k=0, 8.解(1)原方程可化为3x2-7x十8=0， 解得k=4或k=5. ∴.a=3,b=-7,c=8, 当k=4时，原方程为x2-9x十20=0， △=(-7)2-4X3X8=-47<0, 解得x1=5,x2=4, 没有实数解 以5,5,4为边长能构成等腰三角形； (2)方程整理得3x2一6x十2=0， 当=5时，原方程为x2一11x+30=0, 这里a=3,b=一6，c=2, 解得x1=5,x2=6, △=(-6)2-4×3×2=12>0， 以5,5,6为边长能构成等腰三角形. x=6±23_3±3 .k的值为4或5. 6 3 21.2.3因式分解法 即33 3 知识梳理 (3)原方程可化为x2十x一1=0， 1.因式分解00降次因式分解法 a=1,b=1,c=-1. 2.(1)0(2)一次因式的乘积(3)一元一次方程 △=12-4×1×(-1)=5>0， (4)一元一次方程 :x=二1±5 对点练习 2×1 1.D2.A 即西=1+5 2 2,x2=1-5 2 3.x1=-6,x2=6 (4)由原方程，得2y2-2y十3=y2+2y十1， 4.解(1)因式分解，得3y(y-2)=0, 即y2-4y+2=0, 于是得3y=0或y-2=0, .a=1,b=-4,c=2, y=0,y2=2. △=(-4)2一4×1×2=8>0， (2)因式分解，得(x-4)2=0, y=4±8 于是得x1=x2=4. 2 (3)因式分解，得(1+x+3)·(1十x一3)=0， ∴y1=2+√2，y2=2-√2. 即(x十4)(x-2)=0, 9.解(1).a=m,b=-(3m十1)，c=3, 于是得x十4=0或x-2=0,x1=-4,x2=2. .△=[-(3m+1)]2-4·m·3=(3m-1)2≥0， (4)移项，得(x-4)2-(5-2x)2=0, 则x=3m十1±(3m-1) 因式分解，得(x-4十5-2x)(x-4-5+2x)=0, 2m 即(1-x)(x-3)=0,于是得1-x=0或x-3=0, 函-8是 x1=1,x2=3. 5.D (2).a=1,b=-(2m十1)，c=m2十m-2, .∴.△=[-(2m+1)]2一4×1×(m2+m-2)=9>0, 6.解(1)将原方程整理，得(2x一1)2=64， 则x=2m十1土3 开平方，得 2 2x-1=士8， 36