2.2.2公式法（5大题型提分练）数学湘教版九年级上册

2.2.2 公式法 题型一 利用求根公式找方程 1、在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2、是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 3、若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 题型二 根据一元二次方程根的情况求的值 4、当用公式法解方程时，的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 5、在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 题型三 用公式法解一元二次方程 6、用公式法解一元二次方程的步骤排序正确的是（　　） ①如果，代入求根公式求出方程的根；如果，没有实数根． ②将方程化为一般形式，确定a、b、c的值． ③根据的值判断一元二次方程根的情况． ④计算出根的判别式的值． A．①②③④ B．④②①③ C．②④③① D．③①④② 7、用公式法解方程时所得到的解正确的是（    ） A． B． C． D． 8、用公式法解下列方程： (1)； (2)． 9、用公式法解下列方程： (1)； (2)． 10、已知关于x的一元二次方程．若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5．当是等腰三角形时，求k的值． 题型四 用公式法解一元二次方程错解复原 11、阅读材料，并回答问题： 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：∵，，                ① ∴        ②                     ③ ∴此方程无解 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）； (2)发生错误的原因是： ； (3)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 12、【探究与应用】 公式法是解一元二次方程常用的方法之一，应用比较广泛，能适用于解所有的一元二次方程． 【观察与分析】小张在解方程时，他的解答过程如下： 解：，，，（第一步） ．（第二步） 方程有两个不相等的实数根 （第三步） ，．（第四步） 【思考与应用】 (1)小张的解答过程是否正确？ (2)如果你认为正确，请你用另一种方法来解这个方程，看看得到的结果是否一致；如果你认为不正确，请指出小张从第几步开始出错，并用小张的方法重新解方程． 题型五 利用公式法求一元二次方程的整数解的问题 13、已知，关于的一元二次方程， (1)若，求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若，为整数，且方程有两个整数根，求的值． 14、解一元二次方程，其中一个根为，则等于（    ） A．1 B． C．0 D．2 15、方程的一较小根为，下面对的估计正确的是（　　） A． B． C． D． 16、用公式法解下列方程： (1)； (2)． 17、利用所学知识完成下列问题： (1)用公式法解方程：； (2)设a是关于x的一元二次方程的二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足，求满足条件的一元二次方程． 18、解关于的方程：． 19、阅读下列材料，回答问题． 互为有理化的一对无理根的一元二次方程 我们知道，在一元二次方程中，当时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为，，若是一个无理数，则，也都是无理数，我们把和这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根． 例如：一元二次方程的两根分别为，，它们就是互为有理化的一对无理根． 又如：方程的两根分别为，，也是互为有理化的一对无理根． 判断两个根是否是互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件： ①和是两个无理数；②是一个有理数． 如：都是无理数， 且是有理数， ，是互为有理化的一对无理根． (1)填空：材料中的_____，______． (2)求一元二次方程的两根，并说明该方程的两根是否是互为有理化的一对无理根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2 公式法 题型一 利用求根公式找方程 1、在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 2、是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，解决本题的关键是掌握公式． 【详解】解：解一元二次方程的公式为， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程为：， 故选：． 3、若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 题型二 根据一元二次方程根的情况求的值 4、当用公式法解方程时，的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键．将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论． 【详解】解：原方程可变形为， ，，， ． 故选：C 5、在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先化为一元二次方程的一般形式，将的值代入，即可求解． 【详解】解：，即 ∴， 故选：C． 题型三 用公式法解一元二次方程 6、用公式法解一元二次方程的步骤排序正确的是（　　） ①如果，代入求根公式求出方程的根；如果，没有实数根． ②将方程化为一般形式，确定a、b、c的值． ③根据的值判断一元二次方程根的情况． ④计算出根的判别式的值． A．①②③④ B．④②①③ C．②④③① D．③①④② 【答案】C 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据用公式法解一元二次方程的步骤排序即可． 【详解】用公式法解一元二次方程的步骤为： ②将方程化为一般形式，确定a、b、c的值． ④计算出根的判别式的值． ③根据的值判断一元二次方程根的情况． ①如果，代入求根公式求出方程的根；如果，没有实数根． 即顺序为：②④③①， 故选：C． 7、用公式法解方程时所得到的解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】此题的关键是要把一元二次方程化为一般式，从而得到a=4，b=-12，c=-3 8、用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， 原方程的解为：，； （2）解：，，， ， ， 原方程的解为：，． 【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 9、用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： 方程可化为：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 整理得，即， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法是解题的关键． 10、已知关于x的一元二次方程．若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5．当是等腰三角形时，求k的值． 【答案】或 【分析】先利用公式法求出方程的解为，然后分类讨论：，当或时为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】解：， ∴= 即， ， 、中有一个数为．                      当时， 解得：．                          、、能构成等腰三角形， 符合题意；                                当时，、、能构成等腰三角形， 符合题意．                                综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程的解和等腰三角形，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 题型四 用公式法解一元二次方程错解复原 11、阅读材料，并回答问题： 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：∵，，                ① ∴        ②                     ③ ∴此方程无解 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）； (2)发生错误的原因是： ； (3)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【答案】(1)③ (2)计算错误 (3)见解析 【分析】根据公式法的步骤判断和求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：从③步开始出现了错误 故答案为：③； （2）计算错误（负数乘以负数得负数）； （3）∵，，， ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的计算步骤． 12、【探究与应用】 公式法是解一元二次方程常用的方法之一，应用比较广泛，能适用于解所有的一元二次方程． 【观察与分析】小张在解方程时，他的解答过程如下： 解：，，，（第一步） ．（第二步） 方程有两个不相等的实数根 （第三步） ，．（第四步） 【思考与应用】 (1)小张的解答过程是否正确？ (2)如果你认为正确，请你用另一种方法来解这个方程，看看得到的结果是否一致；如果你认为不正确，请指出小张从第几步开始出错，并用小张的方法重新解方程． 【答案】(1)小张的解答过程不正确 (2)小张的解答过程从第一步开始出错了，正确的解答过程见解析，， 【分析】（1）先将一元二次方程方程化成 ，再运用根的判别式即可判断； （2）运用公式法解一元二次方程即可； 【详解】（1）解：∵，即， ∴，，，即小张在第一步就出现解答错误； ∴小张的解答过程不正确． （2）解：小张的解答过程从第一步开始出错了， 正确的解答过程如下： 解：原方程化为 ，，， 方程有两个不相等的实数根 ， ，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程的一般形式等知识点，掌握运用公式法解一元二次方程成为解答本题的关键． 题型五 利用公式法求一元二次方程的整数解的问题 13、已知，关于的一元二次方程， (1)若，求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若，为整数，且方程有两个整数根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）对一元二次方程，先明确其各项系数，，的值，再利用判别式证明方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个整数根，即，由求出的范围，且必须为能被开方的奇数，据此列出关系式，求解． 【详解】（1）证明：对关于的一元二次方程， 其中，，， 则， 当时，， 该方程有两个不相等的实数根． （2）解：由（1）得， 方程有两个整数根， ，． 为平方数． ， ． 为整数， 为奇数． 是大于小于的能被开方的奇数， 即， 解得． 【点睛】本题考查对于一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握利用判别式分析一元二次方程根的情况是解题的关键． 14、解一元二次方程，其中一个根为，则等于（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查用公式法解一元二次方程，牢记求根公式：，利用求根公式可直接求解c的值． 【详解】解：已知一元二次方程； 直接利用公式法可得：； 因为其中一个根为； 可得，，； 即，； ∴； 故选：B． 15、方程的一较小根为，下面对的估计正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程—公式法，实数的大小比较，估算无理数的大小．先根据求根公式求出原方程的根，再来估计较小根的大小．掌握“夹逼法”估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：原方程的解为：，即， ∵方程的一较小根为，且 ∴原方程的两根为：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：C． 16、用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无实数解 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， ∴， ∴； （2）解：， ， 则， ∴此方程无实数解． 【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式． 17、利用所学知识完成下列问题： (1)用公式法解方程：； (2)设a是关于x的一元二次方程的二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足，求满足条件的一元二次方程． 【答案】(1)，； (2)； 【分析】（1）本题考查公式法解一元二次方程，移项、定系数、判判别式，代入求根公式即可得到答案； （2）本题考查非负式子和为0，它们分别等于0． 【详解】（1）解：移项得， ， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵，，，， ∴，，， 解得，，， ∴满足条件的一元二次方程为． 18、解关于的方程：． 【答案】或或或 【分析】先求出“”的值，再代入公式求出即可． 【详解】解：， 分为两种情况：①当方程是一元二次方程时，， ， ∴ ∴，； ②当方程是一元一次方程时，且， 解得， 当时，方程为， 解得； 当时，方程为， 解得． 所以，方程的解为：，，或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，掌握公式法解一元二次方程是解此题的关键． 19、阅读下列材料，回答问题． 互为有理化的一对无理根的一元二次方程 我们知道，在一元二次方程中，当时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为，，若是一个无理数，则，也都是无理数，我们把和这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根． 例如：一元二次方程的两根分别为，，它们就是互为有理化的一对无理根． 又如：方程的两根分别为，，也是互为有理化的一对无理根． 判断两个根是否是互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件： ①和是两个无理数；②是一个有理数． 如：都是无理数， 且是有理数， ，是互为有理化的一对无理根． (1)填空：材料中的_____，______． (2)求一元二次方程的两根，并说明该方程的两根是否是互为有理化的一对无理根． 【答案】(1)，； (2)见解析． 【分析】（1）本题考查求根公式法解参数，根据题意中的求根公式求解即可得到答案； （2）本题考查求根公式法解一元二次方程，先根据求根公式求出两个根，再根据无理根及互为有理化判断即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵，，， ∴， ； （2）解：由题意可得， ， ∴一元二次方程的两根分别为，， ∵，都是无理数， 且是有理数， ∴该方程的两根是互为有理化的一对无理根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$