1.4线段垂直平分线与角平分线（2）（题型专练）数学苏科版2024八年级上册

1.4角平分线的性质 题型一、角平分线的性质 1．（24-25八年级上·重庆巫山·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．若，则（   ） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵平分，，，， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，中线的知识，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质，过点作交于点，根据角平分线的性质，则，根据是线段的中点，则，再根据，即可解答． 【详解】解：过点作交于点， ∵平分，于点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，平分，如果，点D到的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由角平分线的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴点D到的距离是2， 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图所示，在中，若，的平分线交于点D，且，点E是边上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂线段最短，由垂线段最短可知，当时，有最小值，则此时根据角平分线的定义可得． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵的平分线交于点D，，， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 5．（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 【答案】证明过程见详解． 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得即可得证． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ． 6．（20-21八年级上·吉林长春·期末）如图，在直角中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数． 【答案】 【分析】根据平分，得到，根据垂直平分，求证，进而得到，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：平分， ， 又垂直平分， ， ， ， ，， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 7．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据角平分线的性质得，然后证明，即可解决问题； （2）根据三角形的面积公式即可解决问题． 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到． 【详解】（1）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，，，， ， ， ． 题型二、角平分线的性质与面积问题 8．（23-24八年级上·山西长治·期末）如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，关键掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质求出DE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：平分，，， ， 的面积， 故选：C． 9．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作交于点E，作交于点F，连接，证明，再利用即可求出的长度． 【详解】解：作交于点E，作交于点F，连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， 即， ∴． 故选：B． 10．（20-21八年级上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：15． 11．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，    ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为；． 12．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，在中，，． (1)请用尺规作出的平分线，交于点D； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）过点D作于E，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解；如图所示，线段和点D即为所求； （2）解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，且，， ∴， ∴． 13．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）学校数理学习小组活动纪实：已知：在中，D是上一点． 小宜说：如图1，若是边上的中线，则利用三角形的面积公式可以得出：； 小昌说：如图2，若点D是边上任意一点，则有； 小石说：如图3，若是的角平分线时，则有； 小榴说：受前面同学的启发我想到了：当是的角平分线时，有，请你为小榴同学说明理由． 【答案】说明理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，，则由角平分线的定义得到，由三角形面积公式可得，，据此可证明结论． 【详解】证明：作， 是的角平分线， ， ， 又∵， ． 题型三、角平分线的判定 14．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，于于则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线判定定理的应用，注意：到角的两边的距离相等的点在角平分线上． 根据角平分线判定定理得出P在的角平分线上，推出，求出即可． 【详解】解：∵于M，于N，， ∴P在的角平分线上， ∵ ∴． 故选C． 15．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是解题的关键．由题意，分别为和的角平分线，利用三角形内角和即可求得． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴ 故选：C． 16．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 【答案】/29度 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理，求出的度数，证明平分，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，，， ∴平分， ∴； 故答案为：． 17．（23-24八年级上·上海·期末）如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 【答案】见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到. 证明得，可得点C在的平分线上，进而可以解决问题． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， 点C在的平分线上， ∴是的平分线． 19．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，已知，，垂足分别为点，，且，与相交于点，连．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形全等判定与性质，角平分线判定，掌握三角形全等判定与性质，角平分线判定是解题关键．根据垂直的定义得到，根据判定，得出，根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 20．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的判定定理即可得出结论，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点E作于点G，于点H． ∵，， ∴． ∵ ∴， ∴，即平分． 又∵，， ∴． ∵是角平分线，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分． 题型四、角平分线的实际应用与作图 21．（24-25八年级上·全国·期中）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质．解答此题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 利用角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，所以是三个内角平分线的交点有个，所以只有三个内角平分线的交点符合要求． 【详解】解：解：∵砂石场到三条公路的距离相等， ∴该点应该是三个角的角平分线的交点， ∵要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建， ∴满足条件的只有一处，即为三个内角的角平分线的交点． 故选：A 22．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 23．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质． 根据线段垂直平分线和角平分线的性质即可画出中转站的位置． 【详解】解：如图所示：点即为中转站． 作线段的垂直平分线， 两条公路的夹角的平分线， 两条线相交于点． 24．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）（1）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可） （2）如图②：在网格中，已知线段，以格点为端点画线段，使它与组成轴对称图形．（画出所有可能）    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的性质及其尺规作图，涉及轴对称图案： （1）中心站到两条公路距离相等，则中心站在直线夹角的角平分线上，中心站到两个城镇的距离也相等，则中心站在的垂直平分线上，据此分别作线段的垂直平分线和夹角的角平分线，二者的交点即为点P的位置； （2）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此根据定义涉及轴对称图案即可． 【详解】解：（1）如图所示，分别作线段的垂直平分线和夹角的角平分线，二者的交点即为点P的位置； （2）如图所示，线段即为所求． 题型一、角平分线的有关计算与证明 25．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是16，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ，即． （2）证明：过点作交于点交于点， ， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：， ， ， ， ， ， ． 题型二、利用角平分线的性质解决线段和差问题 26．（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，四边形中，，，为的中点，平分．求证：   (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质： （1）过点作于点，角平分线的性质得到，中点得到，进而得到，平行线的性质，推出，即可得证； （2）证明，得到，同理得到，根据，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵为的中点， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴． ∵，， ∴平分． （2）由（1）得， ∵，， ∴． ∴． 同理，， ∵， ∴． 27．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）如图：过点D作于点F，证明得到，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明得到，由（1）知，，得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：如图：过点D作于点F， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点D在的平分线上， ∴平分． （2）解：，理由如下： 由（1）知，平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴． 28．（20-21八年级下·甘肃兰州·期中）如图，交的延长线于，于，若，． (1)求证：平分； (2)猜想、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，即可求出答案． 【详解】（1）解：证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）．理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 题型三、角平分线的常用辅助线问题 29．（24-25八年级上·河北邢台·期中）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将解题过程补充完整． 试题：如图，在四边形中，平分，． 求证： 证明：延长，过点C作，垂足分别是E和F． ∵，， __________ 平分， __________， 在和中， ∵， （__________，写出判定依据，用字母表示）， __________． __________（平角的性质） __________ 【答案】90 ，，，，，，180，180 【分析】本题考查了垂线的定义、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质，由垂线的定义可得，由角平分线的性质定理可得，再证明得出，由平角的性质得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：延长，过点C作，垂足分别是E和F． ∵，， ， 平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ． （平角的性质）， 故答案为：90 ，，，，，，180，180． 30．（20-21七年级下·全国·课后作业）如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，试问：点P是否在的平分线上？ 【答案】在，理由见解析 【分析】过点P分别向，作垂线，再根据，即可得出，由此可得出结论． 【详解】解：点P在的平分线上． 理由：过点P分别向，作垂线， ∵，，，， ∴， ∴点P是在的平分线上． 【点睛】本题考查的是角平分线的判定，熟知到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键． 31．（18-19七年级·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，，交的延长线于点.求证：.    【答案】见解析 【分析】延长，并交于，证，推出，证推出即可． 【详解】证明：延长，并交于，   平分，， ，， 在和中 ， ，，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，添加辅助线构造全等三角形是关键． 32．（2023九年级·全国·专题练习）如图，为的中线，，分别是和的角平分线．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据中线的定义可得，在上截取，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，同理证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边证明． 【详解】证明：在上截取，连接，． ∵是边上的中线， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴．同理， ∴． 在中，∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，作辅助线构造出全等三角形并把、、的长度转化为同一个三角形的三边是解题的关键． 33．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、三角形中线和高的定义，平行线的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义以及平行线的性质得到，那么，即可判断①；证明，即可判断②；证明即可判断③；证明，则，同理可知，再根据线段和差即可判断④． 【详解】解：∵平分，恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即是的高，故①正确； ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，即是的中线，故②正确； ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 但不能证明，故③错误； 过点D作于点G，如图所示： ∵平分，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∵， ∴，故④正确， ∴正确的有①②④， 故选：B． 34．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理即可判断①正确；在上取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；假设，过点作于点，作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，则，由此即可判断③错误；过点作于点，作于点，连接，根据和可得，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵和的平分线，相交于， ∴，， ∴ ，则结论①正确； ∵， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使得，连接， ∵和的平分线，相交于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则结论②正确； 如图，过点作于点，作于点， ∵和的平分线，相交于，， ∴，，， 假设， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即结论③错误； 如图，过点作于点，作于点，连接， ∵，，，， ∴， 由上已得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，则结论④正确； 综上，结论正确的是①②④， 故选：D． 35．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．根据角平分线的判定定理即可判断①正确；连接，证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此即可判断③错误；先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式即可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 又∵点在的内部， ∴点在的平分线上，则结论①正确； 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的平分线上，结论②正确； 如图，延长至点，使得，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在的平分线上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则结论③错误； 由上已证：， ∴， ∴的周长为 ，则结论④正确； 综上，结论正确的是①②④， 故选：B． 36．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 【答案】[初步思考]见解析；[变式判断]正确，见解析；[拓展探究]5或7 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． [初步思考]根据证明即可； [变式判断] 过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； [拓展探究] 当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【详解】[初步思考]，解：在和中 ， ， 即平分； [变式判断]，解：张明的观点正确，理由如下， 过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴, ∵，， ∴平分， ∴张明的观点正确； [拓展探究]解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：长为5或7． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4角平分线的性质 题型一、角平分线的性质 1．（24-25八年级上·重庆巫山·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．若，则（   ） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，平分，如果，点D到的距离是 ． 4．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图所示，在中，若，的平分线交于点D，且，点E是边上的一动点，则的最小值为 ． 5．（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 6．（20-21八年级上·吉林长春·期末）如图，在直角中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数． 7．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 题型二、角平分线的性质与面积问题 8．（23-24八年级上·山西长治·期末）如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 10．（20-21八年级上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是 ． 11．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ． 12．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，在中，，． (1)请用尺规作出的平分线，交于点D； (2)若，求的面积． 13．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）学校数理学习小组活动纪实：已知：在中，D是上一点． 小宜说：如图1，若是边上的中线，则利用三角形的面积公式可以得出：； 小昌说：如图2，若点D是边上任意一点，则有； 小石说：如图3，若是的角平分线时，则有； 小榴说：受前面同学的启发我想到了：当是的角平分线时，有，请你为小榴同学说明理由． 题型三、角平分线的判定 14．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，于于则（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 17．（23-24八年级上·上海·期末）如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 18．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 19．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，已知，，垂足分别为点，，且，与相交于点，连．求证：平分． 20．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接．求证：平分． 题型四、角平分线的实际应用与作图 21．（24-25八年级上·全国·期中）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 22．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 23．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 24．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）（1）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可） （2）如图②：在网格中，已知线段，以格点为端点画线段，使它与组成轴对称图形．（画出所有可能）    题型一、角平分线的有关计算与证明 25．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是16，求的长． 题型二、利用角平分线的性质解决线段和差问题 26．（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，四边形中，，，为的中点，平分．求证：   (1)平分； (2)． 27．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 28．（20-21八年级下·甘肃兰州·期中）如图，交的延长线于，于，若，． (1)求证：平分； (2)猜想、与之间的数量关系，并说明理由． 题型三、角平分线的常用辅助线问题 29．（24-25八年级上·河北邢台·期中）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将解题过程补充完整． 试题：如图，在四边形中，平分，． 求证： 30．如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，试问：点P是否在的平分线上？ 31．如图，在中，，，平分交于点，，交的延长线于点.求证：.    32．（2023九年级·全国·专题练习）如图，为的中线，，分别是和的角平分线．求证：． 33．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 34．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 35．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 36．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$