精品解析：广东省揭阳市惠来县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学 说明：1．全卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号、考场号、考场座号，填写在答题卡相应位置上，并用2B铅笔在答题卡“考场号”、“考场座号”栏涂上自己的考场号和考场座号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将答题卡交回学校扫描． 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各式中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的定义，理解并掌握不等式的定义是解题的关键．由不等号“”连接的式子即为不等式即可求解． 【详解】解：根据不等式的定义可得，②；③；④；⑥是不等式，共4个， 故选：C ． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 若一个不等式的正整数解为1，2，3，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（ ） A. B. C. D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解集在数轴上的表示，合理掌握不等式的解集在数轴上的表示是解题的关键． 根据不等式的图象逐一分析判断即可． 【详解】解：A：由图可得A的正整数解为，故不正确； B：由图可得B的正整数解为，，，故正确； C：由图可得C的正整数解为，，故不正确； D：由图可得D的正整数解为，，故不正确； 故选：B． 4. 如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 5. 如图，在直线上平移得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平移的性质可知，，再由三角形内角和求得即可得到答案． 【详解】解：在直线上平移得到， ，， ，， ， 在中，， ， ， 故选：B． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题，掌握等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法的应用是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误，不符合题意； B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误，不符合题意； C、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意； D、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 7. 两条纸带,较长的一条长23 cm,较短的一条长15 cm.把两条纸带剪下同样长的一段后,剩下的两条纸带中,要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍,那么剪下的长度至少是(   ) A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意可设剪下的长度为x，则：23﹣x≥2（15﹣x），解得：x≥7．故选B． 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出，，据此求解即可． 【详解】解：∵轴，，， ∴点的纵坐标为， 过点作，交轴于点，交于点，则：， ∵ ∴， ∴，， ∴的面积为． 故选：C． 9. 已知直角三角形的两条边长分别为和，则这个直角三角形的第三边长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的两条边长分别为和，需要分两种情况求解，当和为直角三角形的两条直角边时，第三边长为；当直角三角形的斜边为时，第三边长为． 【详解】解：当和为直角三角形的两条直角边时， 第三边长为； 当为直角边，为直角三角形的斜边时， 第三边长为， 这个直角三角形的第三边长为或． 故选： C． 10. 如图，中，，，D为边上一点，且平分，若，则的长是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理应用，根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 在一个直角三角形中，一个锐角等于，则另一个锐角的度数是___________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：另一个锐角； 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形性质是解题的关键． 12. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点位于第三象限， ∴ ∴ 故答案为： 13. 已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解得情况，求参数的取值范围．将两个二元一次方程相加，得到的值，根据，求出的取值范围即可． 【详解】解：， 得：，即：； ∵， ∴，解得：； 故答案为：． 14. 如图，在中，，是边上的高，．若，则的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．根据同角的余角相等得到，再根据含30度角的直角三角形的性质计算，再根据含30度角的直角三角形的性质计算，最后再计算即可． 【详解】解：，是边上的高， ， 在中，， ， ， 故答案为：3． 15. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质可知，，，，，，所以，，由三角形内角和可得，，所以，再由三角形内角和定理可知，． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，共24分） 16. （1）解不等式，并写出最大整数解； （2）解不等式，利用数轴确定不等式的解集． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键． （1）先去分母，移项，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再写出最大整数解即可； （2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两个解集的公共部分确定出不等式组的解集即可 【详解】解：（1）， 去分母得，， 移项得，， 合并，得，， 系数化为1，得：， 所以，不等式的最大整数解为0； （2） 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 不等式组的解集在数轴上表示如下： 所以，不等式组的解集为： 17. 按要求完成下列各小题： （1）在中，，，求的度数； （2）如图，，，．求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定是解答的关键． （1）根据三角形的内角和定理求解即可； （2）先证明，根据证明三角形全等即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 在中，∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足．要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母 （2）猜想与证明：在（1）的条件下，试判断与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） ，证明如下： 由图可知， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）由图可知，可得，由等腰三角形的性质可得，进而可得，则，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的知识点是作图-基本作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位）网格的格点上． （1）的形状是______（直接写答案）； （2）将向右平移个单位长度得，在坐标系中画出并求出这个变化过程中扫过的面积； （3）画出绕点逆时针时针旋转的． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）如图所示为所求，这个变化过程中扫过的面积为 （3） 如图所示为所求： 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，平移变换，旋转变换等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据勾股定理及其逆定理即可判断； （2）分别作出三个顶点的对应点，再顺次连接即可得到平移后的图形，再根据这个变化过程中扫过的面积，即可求解； （3）作出点、绕点逆时针时针旋转的对应点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：，，， ，且， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：由（1）知是等腰直角三角形，且， 这个变化过程中扫过的面积； 【小问3详解】 略 20. 如果不等式组的解集是 （1）求m的取值范围； （2）当m为何整数时，不等式的解为 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”得原则是解题的关键． （1）求出不等式组各不等式的解集，再与已知解集相比较即可得出m的取值范围； （2）根据不等式的基本性质即可得出结论． 【小问1详解】 ， 由①得，， ∵不等式组的解集是， ∴； 【小问2详解】 ∵不等式的解为， ∴， 解得． 21. 截至2024年9月底，全国登记在册的批发零售业和住宿餐饮业共计万户，批发零售业比住宿餐饮业多万户． （1）求批发零售业和住宿餐饮业各有多少户？ （2）为促进就业，鼓励消费，若2025年上半年新增批发零售业和住宿餐饮业共万户，且新增批发零售业户数不超过新增住宿餐饮业户数的2倍，问：住宿餐饮业至少要新增多少户？ 【答案】（1）住宿餐饮业有万户，则批发零售业有万户； （2）住宿餐饮业至少要新增万户； 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设住宿餐饮业有万户，则批发零售业有万户，由题意得：，据此即可求解； （2）设住宿餐饮业新增万户，则批发零售业新增万户，由题意得：，据此即可求解． 【小问1详解】 解：设住宿餐饮业有万户，则批发零售业有万户， 由题意得：， 解得：， ∴， 即：住宿餐饮业有万户，则批发零售业有万户． 【小问2详解】 解：设住宿餐饮业新增万户，则批发零售业新增万户， 由题意得：， 解得：； 即：住宿餐饮业至少要新增万户． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 请根据函数的学习路径，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x 0 1 2 3 4 5 6 y 5 m 1 1 3 n （1）表格中：______，______． （2）根据表格已有数据，描点，连线．在平而直角坐标系中画出该函数图象（可依据题意补方格）． （3）观察图象，回答问题： ①当x_____时，y随x的增大而减小； ②该函数的最小值为______； ③已知直线过点和，直接写出当的x取值范围是______． 【答案】（1）3，5 （2） 根据表中数据，描点，连线如图所示： （3）①；②；③ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，一次函数的性质，函数的值，正确地识别图形是解题的关键． （1）将和分别代入解析式求得和的值； （2）根据表格已有数据，描点，连线，得到函数图象； （3）根据函数图象即可得到结论． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：3，5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①由图可知，由图可知，当时，随的增大而减小， 故答案为：； ②当时，函数值最小，最小值为． 故答案为：； ③直线过点和，如图所示， 当的取值范围是， 故答案为：． 23. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，点D在等边的边上，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接．试猜想与的数量关系，并加以证明． （1）独立思考：请解答老师提出的问题； （2）实践探究：希望小组受到启发，如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，若的延长线经过点E，求的度数． （3）问题解决：智慧小组突发奇想，如图3，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点F，连接．智慧小组对该图形进行探究，得出结论：．智慧小组的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 【答案】（1） 证明：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3）智慧小组的结论正确， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 过点A分别作，，垂足分别为M、N，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，然后可证，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可证，进而根据全等三角形的性质可进行求解； （3）同理（2）可得，，过点A分别作，，垂足分别为M、N，然后根据角平分线的判定定理可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与的交点为F，如图， ∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、角平分线的判定定理及旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、角平分线的判定定理及旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学 说明：1．全卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号、考场号、考场座号，填写在答题卡相应位置上，并用2B铅笔在答题卡“考场号”、“考场座号”栏涂上自己的考场号和考场座号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将答题卡交回学校扫描． 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各式中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个不等式的正整数解为1，2，3，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（ ） A. B. C. D. ． 4. 如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直线上平移得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 7. 两条纸带,较长的一条长23 cm,较短的一条长15 cm.把两条纸带剪下同样长的一段后,剩下的两条纸带中,要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍,那么剪下的长度至少是(   ) A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 24 9. 已知直角三角形的两条边长分别为和，则这个直角三角形的第三边长为（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，中，，，D为边上一点，且平分，若，则的长是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 在一个直角三角形中，一个锐角等于，则另一个锐角的度数是___________． 12. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________． 13. 已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是_____． 14. 如图，在中，，是边上的高，．若，则的长为_______． 15. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为______． 三、解答题（一）（本大题3小题，共24分） 16. （1）解不等式，并写出最大整数解； （2）解不等式，利用数轴确定不等式的解集． 17. 按要求完成下列各小题： （1）在中，，，求的度数； （2）如图，，，．求证：． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足．要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母 （2）猜想与证明：在（1）的条件下，试判断与的数量关系，并加以证明． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位）网格的格点上． （1）的形状是______（直接写答案）； （2）将向右平移个单位长度得，在坐标系中画出并求出这个变化过程中扫过的面积； （3）画出绕点逆时针时针旋转的． 20. 如果不等式组的解集是 （1）求m的取值范围； （2）当m为何整数时，不等式的解为 21. 截至2024年9月底，全国登记在册的批发零售业和住宿餐饮业共计万户，批发零售业比住宿餐饮业多万户． （1）求批发零售业和住宿餐饮业各有多少户？ （2）为促进就业，鼓励消费，若2025年上半年新增批发零售业和住宿餐饮业共万户，且新增批发零售业户数不超过新增住宿餐饮业户数的2倍，问：住宿餐饮业至少要新增多少户？ 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 请根据函数的学习路径，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x 0 1 2 3 4 5 6 y 5 m 1 1 3 n （1）表格中：______，______． （2）根据表格已有数据，描点，连线．在平而直角坐标系中画出该函数图象（可依据题意补方格）． （3）观察图象，回答问题： ①当x_____时，y随x的增大而减小； ②该函数的最小值为______； ③已知直线过点和，直接写出当的x取值范围是______． 23. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，点D在等边的边上，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接．试猜想与的数量关系，并加以证明． （1）独立思考：请解答老师提出的问题； （2）实践探究：希望小组受到启发，如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，若的延长线经过点E，求的度数． （3）问题解决：智慧小组突发奇想，如图3，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点F，连接．智慧小组对该图形进行探究，得出结论：．智慧小组的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $