精品解析：辽宁省营口市第一中学2024—2025学年七年级下学期期中考试数学试题

七年数学期中测试题 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：（共10题，每题3分，共30分．） 1. 下列各数中∶ ，，，，，，无理数有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 2. 已知关于的方程组的解满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段去公路边，那么他的选择体现的数学基本事实是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C. 从直线外一点到这条直线的垂线，叫做点到直线的距离 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 4. 若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 若方程组解是，则方程组的解是（ ） A B. C. D. 6. 若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 7. 如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的2倍多，则（　　） A. B. 或 C. 或 D. 10. 关于二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：（共5题，每题3分，共15分．） 11. 设、为实数，且，则的立方根是________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在轴上，则将点先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点，则点的坐标为________． 13. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是________． 14. 在春节来临之际，京东商城推出、、三种礼盒，如果购买礼盒3盒、礼盒2盒和礼盒2盒，则需付人民币2200元；如果购买礼盒4盒、礼盒3盒和礼盒5盒，则需付人民币3150元；李老板预计购买礼盒5盒、礼盒4盒和礼盒8盒送亲戚朋友，则共需付人民币_______元． 15. 如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒．若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动________秒时，射线、射线互相平行？ 16. 计算： （1）． （2） （3）． （4）， 17. 如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． （1）实数m的值为_______； （2）在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算值． 18. 已知和是某数m两个平方根，的立方根是3，c是的整数部分， （1）求m的值； （2）求平方根． 19. 如图，．过点B作x轴的垂线，垂足为点M，在的延长线上截取． （1）写出点M的坐标； （2）平移线段，使点A移动到点C，画出平移后的线段，并写出点D的坐标； （3）若P为y轴上一点，且，求P点坐标． 20. 关于，的方程组，其中常数． （1）直接写出的值（结果用含的代数式表示）； （2）无论取何值，试说明的值总是不变的． 21. 如图，，，平分，平分．求证：． 请完善下面证明过程． 证明：∵（已知）， ∴（________________）， ∴________________（________________________________）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴________________（内错角相等，两直线平行）， ∴________________（________________________________）． ∵平分，平分（已知）， ∴________， ________（________________）， ∴（等式的基本事实）． 22. 某旅游团计划在某电商平台购买杭州亚运会立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章，若购买1套立体吉祥物摆件和2套吉祥物徽章共350元，且每套亚运会吉祥物徽章的单价是每套立体吉祥物摆件的单价的3倍． （1）求每套立体吉祥物摆件和每套亚运会吉祥物徽章单价各是多少元？ （2）若至少需要购买48套亚运会吉祥物徽章，如果购买立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，且、满足，点C在x轴的负半轴上，连接AB、AC． （1）如图1，若的面积是面积的倍，求点C的坐标： （2）如图2，点D在AC上，点E在AB上，连接OD，过点E作轴于点F，若，求证：； （3）在（1）的条件下，点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OB方向移动，同时点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度在AO间往返移动，即先沿AO方向移动，到达点O反向移动．设移动的时间为t秒，四边形ACQB与的面积分别记为、，是否存在时间，使；若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年数学期中测试题 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：（共10题，每题3分，共30分．） 1 下列各数中∶ ，，，，，，无理数有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数即无限不循环小数，先求出的立方根，然后再一一判断即可． 【详解】解：， 则这些数中，无理数的有，，是无理数，共3个， 故选：B． 2. 已知关于的方程组的解满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】把两个方程相加，得x+y=2k+1，结合x+y=5，即可求解． 【详解】解：， ①+②，得， ∴， ∵x+y=5， ∴2k+1=5， 解得：k=2，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查解含参数的二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 3. 如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段去公路边，那么他的选择体现的数学基本事实是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C. 从直线外一点到这条直线的垂线，叫做点到直线的距离 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，理解垂线段的性质是解题的关键．根据垂线段的性质判断即可． 【详解】解：小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段去公路边，那么他的选择体现的数学基本事实是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 故选：D 4. 若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得关于a、b的不等式，再根据不等式的性质，可得B点的坐标符号． 【详解】解：由A（a+1，b﹣2）在第二象限，得 a+1＜0，b﹣2＞0． 解得a＜﹣1，b＞2． 由不等式的性质，得 ﹣a＞1，b+1＞3， 点B（﹣a，b+1）在第一象限， 故选∶A． 【点睛】本题考查了点的坐标，利用第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零得出不等式，又利用不等式的性质得出B点的坐标符号是解题关键． 5. 若方程组的解是，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将变形为，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程组，再得其解即可． 【详解】解：将变形为, 设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：， 因为方程组的解是， 所以，解得：， 所以方程组的解是， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键． 6. 若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 7. 如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的平移规律，坐标轴上点的特征；设点P、Q平移后对应的为、， ①当在轴上，在轴上时，结合点的平移规律和坐标轴上点的特征，即可求解；②当在轴上，在轴上时，同理可求．能利用点的平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”求解是解题的关键． 【详解】解：设点P、Q平移后对应的为、， ①当在轴上，在轴上时， ，， 解得：， ； ②当在轴上，在轴上时， ，， ， 解得：， ； 综上所述：P平移后的对应点的坐标是或， 故选：C． 8. 将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、平行线的判定，由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如果，则，故，故③正确； 如果，则，故，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 9. 在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的2倍多，则（　　） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，角的运算，一元一次方程的应用，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设是度，利用方程即可解决问题． 【详解】解：设是度，根据题意，得 ①两个角相等时，如图1： ， ， 解得，不符合题意，舍去； ②两个角互补时，如图2： ， ∴， 故的度数为：． 故选：D． 10. 关于二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，解一元一次不等式，将两个方程相加得到的值，整体代入不等式中，解不等式即可． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故选A． 二、填空题：（共5题，每题3分，共15分．） 11. 设、为实数，且，则的立方根是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了立方根与算术平方根，先根据算术平方根的定义求出x、y的值，然后根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故答案为：3． 12. 在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在轴上，则将点先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移，掌握点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．先根据题求得的值，然后根据点平移的规律解答即可． 【详解】解：点在轴上，点在轴上， ∴ 解得： ∴ ∴将点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点，则点的坐标为 故答案为：． 13. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．解第一个不等式得出其解集，再根据“大大小小无解了”可得答案． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵关于x的不等式组无解， ∴ 解得： 故答案为： 14. 在春节来临之际，京东商城推出、、三种礼盒，如果购买礼盒3盒、礼盒2盒和礼盒2盒，则需付人民币2200元；如果购买礼盒4盒、礼盒3盒和礼盒5盒，则需付人民币3150元；李老板预计购买礼盒5盒、礼盒4盒和礼盒8盒送亲戚朋友，则共需付人民币_______元． 【答案】4100 【解析】 【分析】设礼盒元，礼盒元，礼盒元，根据题意列方程组，根据问题进行方程之间结合； 【详解】解：设礼盒元，礼盒元，礼盒元，由题意得， ， 得，， 得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查三元一次方程应用，观察各未知数系数之间的关系是解题关键． 15. 如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒．若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动________秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质与判定，角的动态定义，一元一次方程的应用，先求解，，再分两种情况：①当到达前，②当到达后，再画图解答即可． 【详解】解： ∵，， ∴，， 设射线再转动秒时，射线、射线互相平行， 如图，射线绕点顺时针先转动18秒后，先转动， 分两种情况： ①当到达前， ，， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； ②当到达后， ，，， ， 当时，， 此时，， 解得：； 综上，射线再转动或秒时，射线、射线互相平行． 故答案为：或． 16. 计算： （1）． （2） （3）． （4）， 【答案】（1）3 （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减运算，解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是掌握相应的运算法则． （1）化简绝对值，再根据二次根式的加减法法则计算即可； （2）利用平方根解方程即可； （3）先把方程分别化简，然后利用加减消元法求解即可； （4）先分别解不等式，再取公共部分即可． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 ， 移项得：， ∴或， 解得：或 【小问3详解】 解：原方程组可化成： 得：，解得： 把代入②得： ∴方程组的解为； 【小问4详解】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集是． 17. 如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． （1）实数m的值为_______； （2）在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、平方根、非负数的性质，正确理解题意是解题关键． （1）根据向右爬了2个单位长度则在起点基础上加，即可得到m的值； （2）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值即可． 【小问1详解】 解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：因为与互为相反数， 所以， 因为与均为非负数， 所以， 所以， 所以原式． 18. 已知和是某数m的两个平方根，的立方根是3，c是的整数部分， （1）求m的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）49 （2） 【解析】 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的整数部分，熟练掌握相关定义和无理数的估算方法，是解题的关键： （1）根据平方根的定义，得到，求出的值，进而求出的值即可； （2）求出的值，进而求出的平方根即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 19. 如图，．过点B作x轴的垂线，垂足为点M，在的延长线上截取． （1）写出点M的坐标； （2）平移线段，使点A移动到点C，画出平移后的线段，并写出点D的坐标； （3）若P为y轴上一点，且，求P点坐标． 【答案】（1）M的坐标为 （2）图见解析，D的坐标为 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据轴，直接写出点的坐标即可； （2）根据题意确定点的坐标，进而得到平移规则，确定点的坐标即可； （3）分割法求面积，求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵，轴于点， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵点在直线上，且， ∴， ∴线段向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段， 如图，线段即为所求；由图可知：D的坐标为； 【小问3详解】 如图，记线段交y轴于点N， 则． 设点P的坐标为，则：， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 20. 关于，的方程组，其中常数． （1）直接写出的值（结果用含的代数式表示）； （2）无论取何值，试说明值总是不变的． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）将两个方程相加并整理即可； （2）结合（1）中所求解得，，然后相加计算即可． 【小问1详解】 解：①②得：， 两边同除以3得：； 【小问2详解】 解：由（1）知③， ①③得：， 则， 把代入③得：， ， 即无论取何值，的值总是不变． 21. 如图，，，平分，平分．求证：． 请完善下面证明过程． 证明：∵（已知）， ∴（________________）， ∴________________（________________________________）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴________________（内错角相等，两直线平行）， ∴________________（________________________________）． ∵平分，平分（已知）， ∴________， ________（________________）， ∴（等式的基本事实）． 【答案】内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 根据平行线的判定与性质、角平分线的定义进行分析求解，即可解题． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵平分，平分（已知）， （角平分线的定义）， ∴（等量代换）； 故答案为：内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义． 22. 某旅游团计划在某电商平台购买杭州亚运会立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章，若购买1套立体吉祥物摆件和2套吉祥物徽章共350元，且每套亚运会吉祥物徽章的单价是每套立体吉祥物摆件的单价的3倍． （1）求每套立体吉祥物摆件和每套亚运会吉祥物徽章单价各是多少元？ （2）若至少需要购买48套亚运会吉祥物徽章，如果购买立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案． 【答案】（1）每套立体吉祥物摆件的单价是50元，每套亚运会吉祥物徽章的单价是150元 （2）共有三种购买方案：方案一：购买亚运会吉祥物徽章48个、立体吉祥物摆件52个；方案二：购买亚运会吉祥物徽章49个、立体吉祥物摆件51个；方案三：购买亚运会吉祥物徽章50个、立体吉祥物摆件50个； 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用． （1）设每套立体吉祥物摆件的单价是元，则每套亚运会吉祥物徽章的单价是元，根据“每套立体吉祥物摆件的单价购买立体吉祥物摆件的数量每套亚运会吉祥物徽章的单价购买亚运会吉祥物徽章的数量购买需要资金”列关于的一元一次方程并求解即可； （2）设购买亚运会吉祥物徽章个，则购买立体吉祥物摆件个，根据“购买亚运会吉祥物徽章的数量”和“每套立体吉祥物摆件的单价购买立体吉祥物摆件的数量每套亚运会吉祥物徽章的单价购买亚运会吉祥物徽章的数量”列关于的一元一次不等式组并求解，根据的取值范围写出所有购买方案． 【小问1详解】 解：设每套立体吉祥物摆件的单价是元，则每套亚运会吉祥物徽章的单价是元． 根据题意，得， 解得， （元， 答：每套立体吉祥物摆件的单价是50元，每套亚运会吉祥物徽章的单价是150元． 【小问2详解】 解：设购买亚运会吉祥物徽章个，则购买立体吉祥物摆件个． 根据题意，得， 解得， 为正整数， ，49，50． 当时，（个； 当时，（个； 当时，（个； 共有三种购买方案： 方案一：购买亚运会吉祥物徽章48个、立体吉祥物摆件52个； 方案二：购买亚运会吉祥物徽章49个、立体吉祥物摆件51个； 方案三：购买亚运会吉祥物徽章50个、立体吉祥物摆件50个． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，且、满足，点C在x轴的负半轴上，连接AB、AC． （1）如图1，若的面积是面积的倍，求点C的坐标： （2）如图2，点D在AC上，点E在AB上，连接OD，过点E作轴于点F，若，求证：； （3）在（1）的条件下，点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OB方向移动，同时点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度在AO间往返移动，即先沿AO方向移动，到达点O反向移动．设移动的时间为t秒，四边形ACQB与的面积分别记为、，是否存在时间，使；若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据绝对值与算术平方根的非负性可得，进而解方程组即可求得，，最后再根据列出方程求解即可求得答案； （2）根据轴可得，再结合，可得，最后根据同位角相等两直线平行即可得证； （3）先根据题意求得点P到达点B时，点Q到达点O、点A时的时间，由此可对时间t分类讨论，在每种情况中根据列出方程求解，进而即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：由题意得：当时，点Q第一次到达点O， 当时，点P到达点B， 当时，点Q到达点A， 当秒，点Q第二次到达点O， ∴当时，，， ∵， ∴， 解得：（符合题意）； 当时，，， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，，， ∵， ∴， 解得（符合题意）； 当时，，， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，的最大值为，的最小值为，不存在能使． 综上所述，存在或时，使． 【点睛】本题考查了几何图形在平面直角坐标系中的应用，绝对值与算术平方根的非负性，平行线的判定，动点问题的分类讨论，读懂题意，学会运用相关知识解决问题是解题的关键，也考查了一元一次方程的解法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$