精品解析：山东省青岛市即墨区2024—2025学年下学期八年级期中考试数学试卷

山东省青岛市即墨区2024—2025学年下学期八年级期中考试数学试卷 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题、第Ⅰ卷为选择题，共8小题．24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答．在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，根据轴对称的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形逐一排除即可，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一排除即可，解题的关键是正确理解不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：、若，则，原不等式不成立，不符合题意； 、若，则，原不等式不成立，不符合题意； 、若，时，则，原不等式不成立，不符合题意； 、若，则，原不等式成立，符合题意； 故选：． 3. 下列式子，从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，是因式分解，符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 故选：． 4. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 【答案】B 【解析】 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”， 应先假设这个三角形中每一个内角都小于． 故选：B． 5. 钝角等腰三角形一条腰上的高是另一条腰长的一半，则等腰三角形底角度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，根据题意画出图形，得出，根据等边对等角以及三角形的外角的性质，即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， 依题意，， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着射线方向平移到的位置，，，，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，梯形的面积公式，由平移性质可知，，，，则，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移性质可知，，，， ∴，， ∴， 故选：． 7. 如图，为等边三角形，为中线，延长至，使，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，由等边三角形的性质可得，，，进而可得，，再根据等腰三角形和三角形外角性质可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，为中线， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得，，依此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中三角形旋转的规律问题，根据旋转的概率，即可得出每旋转次一个循环，进而得到第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标与点的坐标相同，掌握旋转的规律是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时，点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； ； ∴每旋转次一个循环， ∴第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标与点的坐标相同，为； 故选：． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：3a2-6a=____________． 【答案】3a（a-2）． 【解析】 【详解】试题解析：3a2-6a=3a（a-2）． 考点：因式分解-提公因式法． 10. 若不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数的取值范围，由不等式组无解可知两个不等式的解集无公共部分，即可得，理解不等式组无解即两个不等式的解集无公共部分是解题的关键． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 11. 已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是______． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将变形为，根据三角形的边长为正数，得出，即可得出，可得答案． 【详解】解：， ， ∴， ∵a、b、c是的三边长， ∴， ∴， ∴， 的形状为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 12. 如图，一艘船从处出发，向正西方向航行69海里到达处，分别从A，B处望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离是______海里． 【答案】69 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定，注意数形结合思想的应用是解题的关键．根据等腰三角形的判定和三角形外角的性质理可得到结论． 【详解】解：根据题意得：海里， ， ， ， 海里， 即从海岛到灯塔的距离是69海里， 故答案为：69． 13. 如图，在等边中，点为三条边垂直平分线的交点，若要使旋转前后的两个图形能完全重合，则绕着点至少顺时针旋转______°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的性质．连接、、，如图，先根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质，则可判断，所以，从而可判断绕着点O至少顺时针旋转，使旋转前后的两个图形能完全重合， 【详解】解：连接、、，如图所示： ∵点为三条边垂直平分线的交点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴绕着点O至少顺时针旋转，使旋转前后的两个图形能完全重合， 故答案为：． 14. 如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式．求出两函数的交点坐标是解题的关键． 先求得点A的坐标值，观察函数图象可知，当时，函数的图象在函数R 图象的下方，即当时，． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴的解集为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则______． 【答案】124 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质．先根据旋转性质得到，，再利用三角形的内角和定理得到，结合等边对等角求得，即可． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：124 16. 如图，点为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边相交于点F，交于点M，交于点，连接．则下列结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④． 其中正确的是______．（只填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． ①根据等边三角形性质得 ，进而得 ，则，由此可依据“”判定和全等， 然后根据全等三角形的性质即可对结论①进行判断；②根据全等三角形的性质得，再根据三角形内角和定理及，即可得出， 由此可对结论②进行判断；③证明和全等得， 再根据得是等边三角形， 由此可对结论③进行判断；④假设， 根据得是等边三角形，则，再根据得出假设是错误的，由此即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和都是等边三角形， ∴， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故结论①正确； ②∵， ∴， 在中， ， 在中，， 又∵， ∴，，故结论②正确； ③在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故结论③正确； ④假设， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， 这与相矛盾， ∴假设是错误的， ∴，故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③， 故答案为： ①②③． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：如图，∠ABC及边BC上一点D．求作：点P，使点P在∠ABC内部，点P到∠ABC两边的距离相等，且P到D点的距离最短. 【答案】 如图，点P为所作． 【解析】 【分析】利用基本作图，先作∠ABC的平分线，再过D点作角平分线的垂线得到P点． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线；过一点作直线的垂线）是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和垂线段最短． 四、解答题（本大题共7小题，共68分） 18. （1）解不等式； （2）解不等式组：； （3）因式分解：； （4）因式分解：． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，综合提公因式法和公式法进行因式分解．熟练掌握解一元一次不等式组，综合提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先移项再合并同类项，系数化1，进而可得不等式的解集； （2）先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集； （3）先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （4）先运用提公因式法进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ， ∴ ∴ ∴； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：； （3）； （4）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，． （1）将向上平移3个单位，向左平移2个单位，得到，则的坐标为______； （2）将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为______； （3）与关于原点成中心对称图形，则点的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求作的三角形． （2） 即为所求作的三角形． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，中心对称，解题的关键是熟练掌握平移，旋转和中心对称的性质． （1）根据平移性质作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）根据旋转性质作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （3）根据中心对称的性质求出的坐标即可． 【小问1详解】 解：的坐标； 【小问2详解】 解：的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点C的坐标为，与关于原点成中心对称图形， ∴点的坐标为． 20. 冰箱作为家庭中耗电量比较大的电器之一，节能使用可以显著减少电力消耗．某商场销售两款节能冰箱：A款为一级能效，B款为二级能效，两款冰箱的功能相同，仅能效等级不同，A款标价为B款标价的1.25倍．商场为进一步促销，决定消费者购买A款冰箱时，在标价基础上再给予800块钱的优惠；购买B款冰箱时，在标价基础上再给予200块钱的优惠．设B款冰箱标价x元，消费者购买A，B两款冰箱的最终支付金额分别为（元）和（元）． （1）分别求出，与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）仅从节省购买资金的角度考虑，消费者购买哪一款冰箱最终支付的金额较少？ 【答案】（1）， （2）当时，消费者购买A款冰箱最终支付的金额较少；当时，消费者购买两款冰箱最终支付的金额一样；当时，消费者购买B款冰箱最终支付的金额较少 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，函数实际应用： （1）根据两款冰箱支付方式，列出函数关系式即可； （2）分别求出当时，当时，当时，对应的x的取值范围，即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：，与x的函数关系式为 ，； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； ∵消费者购买A款冰箱时，在标价基础上再给予800块钱的优惠，购买B款冰箱时，在标价基础上再给予200块钱的优惠， ∴， 解得：， 综上所述，当时，消费者购买A款冰箱最终支付的金额较少；当时，消费者购买两款冰箱最终支付的金额一样；当时，消费者购买B款冰箱最终支付的金额较少． 21. 在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F． （1）求证：； （2）试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBF， ∵DF⊥BC， ∴∠DFB=∠BAD=90°， 又∵BD=BD， ∴， ∴∠ADB=∠BDF，AB=BF； （2） 解：AD=AG，理由如下： ∵AE是斜边BC上的高， ∴AE⊥BC， 又∵DF⊥BC， ∴， ∴∠BGE=∠BDF， 又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF， ∴∠AGD=∠ADB， ∴AG=AD． 【解析】 【分析】（1）根据BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBF，再根据DF⊥BC，得到∠DFB=∠BAD=90°，即可得到，即可证得AB=BF； （2）先证明，即可得到∠BGE=∠BDF，再根据∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，得到∠AGD=∠ADB，即有AG=AD． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了角平分线性质、全等三角形的判定和性质、平行的判定和性质、等角对等边等知识，得到是解答本题的关键． 22. 甲、乙两人分别骑自行车和摩托车，从同一地点沿相同的路线前往距离的某地，图中分别表示甲、乙两人离开出发地的距离与行驶时间之间的函数关系．请根据图象解答下列问题； （1）甲、乙两人谁到达目的地较早？早多长时间？ （2）分别求甲、乙两人行驶过程中s与t的函数关系式； （3）试确定当两辆车都行驶在途中（不包括在出发地和目的地）时，t的取值范围；并在这一时间段内，求t为何值时，自行车行驶在摩托车前面？ 【答案】（1）乙到达目的地较早；比甲早 （2）甲：；乙： （3）； 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可以直接解答本题； （2）根据图象中的数据利用待定系数法可以分别求得和对应的表达式； （3）根据图象可得当两辆车都在行驶途中（不包括出发地和目的地）时，t的取值范围；根据（2）的结论求出两直线的交点坐标即可得出t为何值时，自行车行驶在摩托车前面． 【小问1详解】 解：根据图象可知，乙到达目的地较早，比甲早； 【小问2详解】 解：设甲行驶过程中s与t的函数关系式为，把代入得： ， 解得：， ∴甲行驶过程中s与t的函数关系式为； 设乙行驶过程中s与t的函数关系式为，把，代入得： ， 解得：， ∴乙行驶过程中s与t的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由图象可得：时，两人均行驶在途中（不包括起点和终点）． 联立， 解得， ∴时，自行车行驶在摩托车前面． 23. 【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 【知识应用】 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）用配方法因式分解：； （3）求的最小值． 【答案】（1）16 （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将16化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴横线上添上一个常数项16使之成为完全平方式； 故答案为：16 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ∵是非负数， ∴， ∴， 即的最小值为1， ∴的最小值为3． 24. 如图，为等腰三角形，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接、，设运动时间为，请解答下列问题： （1）当时，求t的值； （2）设的面积为，求与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，三角形的面积等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键. （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，再列方程即可解答； （2）过点作于， 过点作于， 过点作于， 根据即可解答； （3）分三种情况： ①如图，，过点作于， ②如图，③如图，，过点作于，根据列方程即可解答. 【小问1详解】 解：∵， ， ， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 ∵， ， ∴， 如图， 过点作于， 过点作于， 过点作于， ∴， 由题意得： ， ， ， 由（1）同理得： ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ； 【小问3详解】 存在，分三种情况： ①如图，过点作于， ， 在中，， ， ∵， ， ； ②如图， ， ∵， ∴， ∴； ③如图，，过点作于， ∴， ∵，， ， ， ， ， ， ， 综上，的值是或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青岛市即墨区2024—2025学年下学期八年级期中考试数学试卷 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题、第Ⅰ卷为选择题，共8小题．24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答．在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子，从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 5. 钝角等腰三角形一条腰上的高是另一条腰长的一半，则等腰三角形底角度数为（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着射线方向平移到的位置，，，，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为等边三角形，为中线，延长至，使，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得，，依此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：3a2-6a=____________． 10. 若不等式组无解，则的取值范围是______． 11. 已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是______． 12. 如图，一艘船从处出发，向正西方向航行69海里到达处，分别从A，B处望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离是______海里． 13. 如图，在等边中，点为三条边垂直平分线的交点，若要使旋转前后的两个图形能完全重合，则绕着点至少顺时针旋转______°． 14. 如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为______． 15. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则______． 16. 如图，点为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边相交于点F，交于点M，交于点，连接．则下列结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④． 其中正确的是______．（只填写序号） 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：如图，∠ABC及边BC上一点D．求作：点P，使点P在∠ABC内部，点P到∠ABC两边的距离相等，且P到D点的距离最短. 四、解答题（本大题共7小题，共68分） 18. （1）解不等式； （2）解不等式组：； （3）因式分解：； （4）因式分解：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，． （1）将向上平移3个单位，向左平移2个单位，得到，则的坐标为______； （2）将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为______； （3）与关于原点成中心对称图形，则点的坐标为______． 20. 冰箱作为家庭中耗电量比较大的电器之一，节能使用可以显著减少电力消耗．某商场销售两款节能冰箱：A款为一级能效，B款为二级能效，两款冰箱的功能相同，仅能效等级不同，A款标价为B款标价的1.25倍．商场为进一步促销，决定消费者购买A款冰箱时，在标价基础上再给予800块钱的优惠；购买B款冰箱时，在标价基础上再给予200块钱的优惠．设B款冰箱标价x元，消费者购买A，B两款冰箱的最终支付金额分别为（元）和（元）． （1）分别求出，与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）仅从节省购买资金的角度考虑，消费者购买哪一款冰箱最终支付的金额较少？ 21. 在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F． （1）求证：； （2）试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由． 22. 甲、乙两人分别骑自行车和摩托车，从同一地点沿相同的路线前往距离的某地，图中分别表示甲、乙两人离开出发地的距离与行驶时间之间的函数关系．请根据图象解答下列问题； （1）甲、乙两人谁到达目的地较早？早多长时间？ （2）分别求甲、乙两人行驶过程中s与t的函数关系式； （3）试确定当两辆车都行驶在途中（不包括在出发地和目的地）时，t的取值范围；并在这一时间段内，求t为何值时，自行车行驶在摩托车前面？ 23. 【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 【知识应用】 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）用配方法因式分解：； （3）求的最小值． 24. 如图，为等腰三角形，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接、，设运动时间为，请解答下列问题： （1）当时，求t的值； （2）设的面积为，求与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $