精品解析：2025年广西南宁市第二中学中考三模数学测试卷

2025届初中毕业班质量调研 数 学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 随着人工智能技术的普及，出现众多具有广泛影响力的人工智能应用，以下是一些常见人工智能应用的图案，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 从教育部获悉，我国已基本建成世界第一大教育教学资源库．国家中小学智慧教育平台现有资源超过110000条，其中110000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表： 每批粒数n 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950 则绿豆发芽的概率（精确到0.01）约为（ ） A. 0.90 B. 0.94 C. 0.95 D. 0.96 5. 如图，把直径为1个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点A，此时点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，平分且交于点E，点F在边上，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一题“今有人共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人几何？物几何？”意思是：“一群人一起买一物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱”若设共人，则可以列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，已知一广西斗笠的底面半径为，母线长，则该斗笠的侧面面积为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11. 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　） A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 12. 阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 二次根式中，x的取值范围是______． 14. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示．从众数的角度给这家鞋店提供建议，多进___________的鞋子．（选择一个尺码） 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 15. 如图，区间测速是指机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．汽车在高速路的测速区间的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：）是反比例函数关系．已知某测速区间长，此测速区间限速，则行驶时间t的范围为______． 16. 如图，正方形的边长为2，点E在边上运动，连接并绕点D逆时针旋转得到，点E运动过程中，的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 南宁是中国著名的水果产地，盛产香蕉和芒果．某水果商准备收购一批香蕉和芒果，运往外地销售．已知吨香蕉和吨芒果的收购成本为万元；吨香蕉和吨芒果的收购成本为万元． （1）每吨香蕉和每吨芒果的收购成本各是多少万元？ （2）该水果商计划租用货车运输水果，货车公司规定：若运输总重量不超过吨，每吨运费元；若超过吨，超过部分每吨运费元．水果商希望运费不超过元，那么他最多能收购并运输多少吨水果？ 19. 如图，是的直径，点C是上除点A，B外的一点．点D是的中点，连接直线． （1）尺规作图：过点D作所在直线的垂线段，垂足为点E．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：是的切线； （3）延长与交于点F，已知，，求的半径． 20. 某城市推行“绿色出行”宣传活动，五位评审对甲、乙、丙三位宣传志愿者的表现进行打分，相关得分数据整理如下统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 9 9 a 乙 b 丙 c 8 根据以上信息，完成下列问题： （1）直接写出a，b，c的值， ______， ______， ______； （2）从三位选手中选一位进行表彰，你认为选谁更合适？请选择一个统计量进行说明； （3）如果去掉一个最高分和一个最低分之后乙的中位数记为d，判断d与b的大小关系，并说明理由． 21. 综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为． （，，，，，） （1）求的度数； （2）为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量； （3）图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？ 22. 【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 23. 数学小组利用刻度尺对二次函数图象的相关性质进行研究．如图1，点为两条开口向上的抛物线的公共顶点，将刻度尺绕点旋转，与两条抛物线分别交于点，点（异于点）． 【猜想】学生先对，进行探究，对进行多次测量，部分数据如表： （单位：） … … （单位：） … 1 … （1）猜想：与的数量关系是______． 【验证】（2）如图2，直线与二次函数，分别交于点，点．与的数量关系是什么？请完成填空，并补全推导过程． 证明：过点分别作轴于轴于． 设点的横坐标为，由点是，的交点，得，解得； 设点的横坐标为，由点是，的交点，得______，解得______． 又∵，∴______． 易证． ∴…… 请完成证明过程． 【应用】（3）①如图3，若直线与抛物线，分别交于点，直线与抛物线，分别交于点，其中异于点．若关于轴对称点分别是，则线段与线段的数量关系是什么？请说明理由． ②若直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届初中毕业班质量调研 数 学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 随着人工智能技术的普及，出现众多具有广泛影响力的人工智能应用，以下是一些常见人工智能应用的图案，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键．中心对称图形的定义是：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、选项A的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意； B、选项B的图案是中心对称图形，所以此选项符合题意； C、选项C的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意； D、选项D的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意． 故选：B． 3. 从教育部获悉，我国已基本建成世界第一大教育教学资源库．国家中小学智慧教育平台现有资源超过110000条，其中110000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：； 故选B． 4. 绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表： 每批粒数n 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950 则绿豆发芽的概率（精确到0.01）约为（ ） A. 0.90 B. 0.94 C. 0.95 D. 0.96 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：绿豆发芽的概率（精确到0.01）约为0.95； 故选C． 5. 如图，把直径为1个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点A，此时点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，求出圆的周长，即可得出结果． 【详解】解：∵直径为1个单位长度的圆， ∴周长为， 由题意，点A表示的数是； 故选B． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式．根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 7. 在中，，平分且交于点E，点F在边上，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质，得到，角平分线得到，，证明四边形为平行四边形，得到，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； 故选B． 8. 《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一题“今有人共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人几何？物几何？”意思是：“一群人一起买一物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱”若设共人，则可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程的实际应用，审清题意找出等量关系是解题的关键．设共人，根据“一起买一物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱.”列方程即可． 【详解】解：设共人，根据题意得： 故选：A． 9. 广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，已知一广西斗笠的底面半径为，母线长，则该斗笠的侧面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选C． 10. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，直接利用图象法，找到直线在直线上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：不等式的解集为； 故选B． 11. 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　） A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，按原图返回即可． 【详解】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD， 由折叠可知CA＝AB， ∴△ABC是等腰三角形， 又∵△ABC和△BCD关于直线BC对称， ∴CA＝AB=CD=BD， ∴四边形BACD是菱形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查折叠的性质及学生动手操作能力：逆向思维也是常用的一种数学思维方式． 12. 阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握题干中给出的方程的表示方法，是解题的关键，根据题意，将一元三次方程，表示为，然后将左边展开，进行判断即可． 【详解】解：∵一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，， ∴方程可表示为：， ∴， ∴， ∴，，；故选项C正确，选项B，D错误； ∵， ∴；故选项A错误； 故选C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 二次根式中，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为： 14. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示．从众数的角度给这家鞋店提供建议，多进___________的鞋子．（选择一个尺码） 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 【答案】23.5 【解析】 【分析】一般来讲，鞋店比较关心哪种尺码的鞋销售量最大，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数，一段时间内卖出的30双女鞋的尺码组成一个样本数据，通过分析样本数据可以找出样本数据的众数，进而可以估计这家鞋店销售哪种尺码的鞋最多． 【详解】解：由表可以看出，在鞋的尺码组成的数据中，23.5是这组数据的众数，即的鞋销售量最大．因此可以建议鞋店多进的鞋． 故答案为23.5． 15. 如图，区间测速是指机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．汽车在高速路的测速区间的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：）是反比例函数关系．已知某测速区间长，此测速区间限速，则行驶时间t的范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据速度等于路程除以时间可得，则v随t增大而减小，再分别求出和时，t的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴v随t增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为2，点E在边上运动，连接并绕点D逆时针旋转得到，点E运动过程中，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长到，使,连接，证明，进而得出，即点在直线上运动，当时，最小，根据正方形的性质得出，求出，根据得出当时，是等腰直角三角形，即可求出的最小值． 【详解】解：延长到，使，连接， ∵绕点D逆时针旋转得到， ∴,， ∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 当时，最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴当时，是等腰直角三角形， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，垂线段最短，得出当时，最小是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）； （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，分式的化简求值，因式分解等知识点，解决此题的关键是注意计算的正确性； （1）按照有理数的混合运算顺序，有括号的先算括号里，再根据运算顺序一步步计算即可； （2）先计算减法，再计算除法，得到化简算式，再代入求值即可； 【详解】解：（1） ， ， ； （2） ， ， ， ∵， ∴原式． 18. 南宁是中国著名的水果产地，盛产香蕉和芒果．某水果商准备收购一批香蕉和芒果，运往外地销售．已知吨香蕉和吨芒果的收购成本为万元；吨香蕉和吨芒果的收购成本为万元． （1）每吨香蕉和每吨芒果的收购成本各是多少万元？ （2）该水果商计划租用货车运输水果，货车公司规定：若运输总重量不超过吨，每吨运费元；若超过吨，超过部分每吨运费元．水果商希望运费不超过元，那么他最多能收购并运输多少吨水果？ 【答案】（1）每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元 （2）他最多能收购并运输吨水果 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元，由此列式求解即可； （2）设运输总重量为吨，由此列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元， ∴， ∴， ∴每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元； 【小问2详解】 解：运输总重量不超过吨，每吨运费元，此时的总费用为元， ∵水果商希望运费不超过元，即， ∴运输总重量超过吨， 设运输总重量为吨， ∴， 解得，， ∴他最多能收购并运输吨水果． 19. 如图，是的直径，点C是上除点A，B外的一点．点D是的中点，连接直线． （1）尺规作图：过点D作所在直线的垂线段，垂足为点E．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：是的切线； （3）延长与交于点F，已知，，求的半径． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）6. 【解析】 【分析】（1）过直线外一点做直线的垂线，转化成做垂直平分线的模型即可解决问题； （2）要想证明圆的切线，已知是半径，只需要证明垂直即可； （3）设，根据勾股定理列出关于x的方程，算出答案即可； 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：连接，，如图； ∵是的直径， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴且是半径， ∴是的切线； 【小问3详解】 解：连接, 由上易知：， 设， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为6． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，过直线外一点做一条直线的垂线等知识点，解决此题的关键是作出正确的垂线. 20. 某城市推行“绿色出行”宣传活动，五位评审对甲、乙、丙三位宣传志愿者的表现进行打分，相关得分数据整理如下统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 9 9 a 乙 b 丙 c 8 根据以上信息，完成下列问题： （1）直接写出a，b，c的值， ______， ______， ______； （2）从三位选手中选一位进行表彰，你认为选谁更合适？请选择一个统计量进行说明； （3）如果去掉一个最高分和一个最低分之后乙的中位数记为d，判断d与b的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）；9； （2）选择甲更合适，理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，方差，平均数，熟知方差，中位数，平均数的计算方法是解题的关键． （1）根据平均数，中位数和方差的定义求解即可； （2）甲平均数和中位数都最大，且方差最小，据此可得结论； （3）根据中位数的定义求出d的值即可得到答案． 【小问1详解】 解；由题意得，； 把乙5个得分按照从低到高排列为7分，9分，9分，9分，10分， ∴乙得分的中位数为9分，即； ； 【小问2详解】 解：选择甲更合适，理由如下： 因为甲的平均数，中位数，都是三人中最大的，且方差是三人中最小的， ∴选择甲更合适； 【小问3详解】 解；，理由如下： 去掉一个最高分和一个最低分之后乙3个得分为9分，9分，9分，此时中位数为9分，即，则． 21. 综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为． （，，，，，） （1）求的度数； （2）为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量； （3）图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，矩形的判定和性质，一元一次不等式的应用等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作交与点D，则，由邻补角的定义得出，再根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． （2）根据题意可得出，解不等式即可求解． （3）过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S， 则，得出四边形是矩形，由矩形的性质得出，，通过解和，分别求出和，然后相减即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点A作交与点D， 则， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴支架能承受的最大力F为， 则， 解得：， 则小桌板能放置物体的最大质量为． 【小问3详解】 解：过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是． 22. 【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 【答案】和均为黄多三角形，理由见解析； ； ． 【解析】 【分析】设，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质可以求出，又因为，，所以可知和均为黄多三角形； 因为，可证，根据相似三角形的性质可得：，解方程即可求出的长度； 过点作交于点，使，由可知，根据三角形内角和定理可得，可得：，根据余弦的定义即可求出的值． 【详解】和均为黄多三角形； 理由如下： ， ， 设， ， ， 是的外角， ， ， ， 在中，， ， 解得：， 且，， 和均为黄多三角形； ， ， ， ， ，， ， ， 解得：或(不符合题意，舍去)， 的长度是； 解：如下图所示，过点作交于点，使， 由可知，， 是的外角， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、余弦的定义，解决本题的关键是作辅助线得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到边之间的关系． 23. 数学小组利用刻度尺对二次函数图象的相关性质进行研究．如图1，点为两条开口向上的抛物线的公共顶点，将刻度尺绕点旋转，与两条抛物线分别交于点，点（异于点）． 【猜想】学生先对，进行探究，对进行多次测量，部分数据如表： （单位：） … … （单位：） … 1 … （1）猜想：与的数量关系是______． 【验证】（2）如图2，直线与二次函数，分别交于点，点．与的数量关系是什么？请完成填空，并补全推导过程． 证明：过点分别作轴于轴于． 设点的横坐标为，由点是，的交点，得，解得； 设点的横坐标为，由点是，的交点，得______，解得______． 又∵，∴______． 易证． ∴…… 请完成证明过程． 【应用】（3）①如图3，若直线与抛物线，分别交于点，直线与抛物线，分别交于点，其中异于点．若关于轴对称点分别是，则线段与线段的数量关系是什么？请说明理由． ②若直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，且，直接写出的值． 【答案】 （1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要一次函数，二次函数图象的性质，理解材料提示方法，掌握一次函数，二次函数图象的性质是关键． （1）根据表格信息求解即可； （2）根据题意得到，证明，即可求解； （3）①根据材料提示的方法得到，根据两点之间距离的计算即可求解；②根据题意分段得到的坐标，得到的值，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）根据表格信息得到，； （2）证明：过点分别作轴于轴于． 设点的横坐标为，由点是，的交点，得， 解得； 设点的横坐标为，由点是，的交点，得， 解得． 又∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴，即． （3）①直线与抛物线分别交于点， 设点的横坐标为，则，， ∴，即， 解得，， ∴， 直线与抛物线分别交于点， 设点的横坐标为，则，， ∴，即， 解得，， ∴， 同理，直线与抛物线交于点， ∴， 直线与抛物线交于点， ∴， ∴关于轴对称点分别是， ∴， ∴； ②直线与抛物线相交于点， ∴， 解得，， ∴， ∴， 直线与抛物线相交于点， ，整理得， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $