精品解析：2025年广西壮族自治区南宁市第三中学中考三模数学测试卷

2025届初中毕业班适应性测试 九年级数学 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ）． A. B. C. D. 3 2. 以下是四个银行标志图案，图案中既是中心对称图形又是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列单项式中，的同类项是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个由6个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 4月15日是全民国家安全教育日.某校为了摸清该校1500名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（ ） A. 1500名师生的国家安全知识掌握情况 B. 150 C. 从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况 D. 从中抽取的150名师生 6. 如图，货轮在航行的过程中，发现灯塔位于它的北偏东，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如果，那么下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 9. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心．，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 某吊绳最大承受拉力对应的重物质量不超过8 吨．当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1 吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠，使点A落在点处，若为的中点，则折痕的长为（ ） A B. 1 C. 2 D. 3 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，…，按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将正确答案填在横线上．） 13. 比较大小：2______（填或或）． 14. 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共50个，除颜色外其他完全相同．小明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红色球的频率为，则估计该布袋中红色球有______个． 15. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？”（说明：1丈10尺）．如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A处，竹子底端为点B，折断处为点C，可以求得折断处离地面的高度的长为______________尺． 16. 如图，点P是菱形对角线上的一点，，点E，F分别在上，且，分别连接并延长交于点H，G．记，当k的值达到最大时，的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（网格中的每个小正方形的边长为1）． （1）画出向下平移6个单位得到的； （2）在内有一点，点P在经过（1）平移后，其对应点的坐标为______； （3）以点O为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且位似比为． 19. 全球已经进入大数据时代，大数据（bigdata）是指数据规模巨大、类型多样且信息传播速度快的数据库体系．大数据在推动经济发展，改善公共服务等方面日益显示出巨大的价值．为创建大数据应用示范城市，我市某机构针对市民关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次参与调查的人数是______，扇形统计图中D部分的圆心角的度数是______； （2）补全条形统计图； （3）从统计图中你能获取什么信息？（写出一条即可） （4）我市市民约有900万人，请估计关注教育资源信息的市民有多少万人． 20. 在《测量物体的高度》的综合实践课上，老师先带领同学们制作简易测角仪，随后再用所制作的测角仪测量物体的高度． 小明同学提出如下方法制作测角仪（图1）： 步骤一：以量角器为主要器材进行设计，在经过中心点O处安置一根可绕点O旋转的空心直管，眼睛可通过空心管的C端瞄准目标物E进行测量，此时的方向即为视线的方向． 步骤二：在量角器中心点O处悬挂重锤，由物理知识可知只要重锤悬挂线与线重合，则即为水平线．此时读出角的度数，就是所测目标的仰角． （1）步骤二中蕴含的一个数学知识是：______； （2）测角仪制作出来后，小明便利用这个测角仪测量某高楼顶部的一信号发射塔的高度．如图2，小明在矩形建筑物的D、C两点处测得该塔顶端E仰角分别为，，矩形建筑物高度．计算该信号塔顶端到地面的高度．（参考数据：，，）． 21. 如图，直线l与相切于点A，是直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，，分别与交于点E，F，连接，，． （1）求证：； （2）若的半径为2，，，求的长． 22. 阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 23. 综合与探究 【阅读理解】面积法是一种重要的数学解题方法． 如例图，在等腰中，是边上的高，点P是上不与点B，C重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点M，N，即， ∴， ∵，∴． 又∵是边上高，且为定值，∴为定值． 【类比探究】 （1）如图1，在矩形中，，，点P是上不与点A，D重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，可求的值，请写出求解过程． 【深入探究】（2）如图2，在矩形中，点M，N分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，以为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长． 【拓展探究】（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点E，D，F．若，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届初中毕业班适应性测试 九年级数学 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ）． A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数是无理数，进行判断即可． 【详解】解：，，和3中，，，3是有理数，是无理数； 故选C． 2. 以下是四个银行标志图案，图案中既是中心对称图形又是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的识别，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180度后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心轴对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 下列单项式中，的同类项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可． 【详解】解：A．是同类项，此选项符合题意； B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：A． 4. 如图是一个由6个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，主视图从左往右3列正方形的个数依次为1、2、1， 依此画出图形即可． 【详解】解：该立体图形的主视图是： ， 故选：A． 5. 4月15日是全民国家安全教育日.某校为了摸清该校1500名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（ ） A. 1500名师生的国家安全知识掌握情况 B. 150 C. 从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况 D. 从中抽取的150名师生 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可判断． 【详解】解：样本是从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况． 故选：C． 【点睛】本题考查了样本的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小． 6. 如图，货轮在航行的过程中，发现灯塔位于它的北偏东，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查方位角，掌握方位角的计算是解题的关键． 根据题意，由平行可得，再根据互余即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如果，那么下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； B、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； C、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； D、如果，那么，故本选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 8. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），找到两根之积与方程系数的关系，进而求解的值．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握韦达定理中两根之积与方程系数的对应关系是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程，韦达定理指出两根、有． 在方程中，，，， ∴， 解得 ． 故选：B 9. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心．，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积的计算方法，计算圆环的面积即可求解． 【详解】解：圆心角，，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，理解图示，掌握扇形面积的计算方法，圆环面积的计算方法是解题的关键． 10. 某吊绳最大承受拉力对应的重物质量不超过8 吨．当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1 吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意即可得到函数关系式，熟知相关等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 故选：A． 11. 如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠，使点A落在点处，若为的中点，则折痕的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键．由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又为的中点可得，由相似的性质可得求解即可． 【详解】解：沿折叠，使点A落在点处， ，， 又∵， ∴， ∴， ， 又为的中点，， ∴， ， 即， ． 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，…，按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出，，，根据坐标的变化即可找出变化规律，．即可得出点的坐标．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出坐标的变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是关键． 【详解】解：依题意 结合等腰三角形性质，结合图象得出点、、、、在轴上，且，，， ， 把代入， 得出， ∴， 直线， 当时，则， ， ∵， ∴， 把，则， 即， ∵， ∴把，则， 即， ， ，， ∴的坐标为． 故选：B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将正确答案填在横线上．） 13. 比较大小：2______（填或或）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，先根据，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共50个，除颜色外其他完全相同．小明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红色球的频率为，则估计该布袋中红色球有______个． 【答案】15 【解析】 【分析】这道题主要考查的是频数和频率的相关的知识点，熟悉相关的知识是解答这道题的关键所在．根据频数总数频率计算即可． 【详解】 故答案为：15． 15. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？”（说明：1丈10尺）．如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A处，竹子底端为点B，折断处为点C，可以求得折断处离地面的高度的长为______________尺． 【答案】4.55 【解析】 【分析】设尺，则尺，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设尺，则尺， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 即， 解得：，即的长为4.55尺； 故答案为：4.55． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、根据勾股定理得出方程是解题的关键． 16. 如图，点P是菱形对角线上的一点，，点E，F分别在上，且，分别连接并延长交于点H，G．记，当k的值达到最大时，的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，过点作交于点，并延长交于点，证明，可得，设，则，可得，利用三角形面积公式可用表示，利用二次函数的性质即可解答，正确作出辅助线，将问题转换为代数问题是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点，并延长交于点， ， 四边形是菱形， ， ， ， , 分别是的高， ， 设，则， ， ， ， ， ， 故当，即时，取最大值， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的四则混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用绝对值、算术平方根、乘方进行计算即可； （2）先计算括号内的分式的减法，再计算除法即可． 【详解】（1） ； （2） 18. 如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（网格中的每个小正方形的边长为1）． （1）画出向下平移6个单位得到的； （2）在内有一点，点P在经过（1）的平移后，其对应点的坐标为______； （3）以点O为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且位似比为． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和位似，熟知平移和位似的相关知识是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律即可得到答案； （3）把A、B、C的横纵坐标分别乘以得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可． 小问1详解】 解；如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵向下平移6个单位得到的， ∴点在经过（1）的平移后，其对应点的坐标为，即； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 19. 全球已经进入大数据时代，大数据（bigdata）是指数据规模巨大、类型多样且信息传播速度快的数据库体系．大数据在推动经济发展，改善公共服务等方面日益显示出巨大的价值．为创建大数据应用示范城市，我市某机构针对市民关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次参与调查的人数是______，扇形统计图中D部分的圆心角的度数是______； （2）补全条形统计图； （3）从统计图中你能获取什么信息？（写出一条即可） （4）我市市民约有900万人，请估计关注教育资源信息的市民有多少万人． 【答案】（1）1000； （2）见解析 （3）见解析 （4）180万人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，解题的关键是从两种统计图中获取有效信息进行计算． （1）利用C类的人数和所占百分比求总人数，再根据D类人数求其圆心角； （2）用总人数减去其他三类人数得B类人数，补全条形图； （3）观察统计图得出信息； （4）用总人数乘C类所占百分比估计关注教育资源信息人数． 【小问1详解】 本次参与调查的人数是（人）； ， 故答案为：1000；； 【小问2详解】 （人） 补全的条形统计图如图所示： 【小问3详解】 由统计图知，关注交通信息的人数最多．（答案不唯一，合理即可） 【小问4详解】 （万人）， 答：估计关注教育资源信息的市民有180万人． 20. 在《测量物体的高度》的综合实践课上，老师先带领同学们制作简易测角仪，随后再用所制作的测角仪测量物体的高度． 小明同学提出如下方法制作测角仪（图1）： 步骤一：以量角器为主要器材进行设计，在经过中心点O处安置一根可绕点O旋转的空心直管，眼睛可通过空心管的C端瞄准目标物E进行测量，此时的方向即为视线的方向． 步骤二：在量角器的中心点O处悬挂重锤，由物理知识可知只要重锤悬挂线与线重合，则即为水平线．此时读出角的度数，就是所测目标的仰角． （1）步骤二中蕴含的一个数学知识是：______； （2）测角仪制作出来后，小明便利用这个测角仪测量某高楼顶部的一信号发射塔的高度．如图2，小明在矩形建筑物的D、C两点处测得该塔顶端E仰角分别为，，矩形建筑物高度．计算该信号塔顶端到地面的高度．（参考数据：，，）． 【答案】（1）对顶角相等 （2）88米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及对顶角相等，三角形函数定义，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据对顶角的性质即可求解； （2）过点D作于点H，，由题意可知，，则，设，先证明为等腰直角三角形，得出，解得出，列出方程，求出x的值，再由即可求解． 【小问1详解】 解：读出角的度数，就是所测目标的仰角的依据是对顶角相等，因此步骤二中蕴含的一个数学知识是：对顶角相等； 【小问2详解】 解：过点D作于点H，如图所示： ∴， 由题意可知，，， ∴四边形为矩形， ∴，设， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴． 答：该信号塔顶端到地面的高度约为88米． 21. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，，分别与交于点E，F，连接，，． （1）求证：； （2）若的半径为2，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，可得，证明，可得，可得，结合，可得． （2）求解，结合，证明是等腰直角三角形，可得，求解，证明∽，进一步求解即可． 【小问1详解】 证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵的半径为2， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴∽， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理,，锐角三角函数的应用，等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 22. 阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 【答案】（1）；（2）A；（3）①；②见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是先确定“邂逅点”满足的这一关系，再结合函数性质与方程根与系数关系求解． （1）观察已知点坐标，计算的值，发现均为，直接得与关系：． （2）根据“邂逅点”满足，分别代入、、三点坐标验证，即可解答． （3）综合应用①由“邂逅点”定义，满足，解得，即．将代入反比例函数，得，解得答案．②联立“邂逅点”直线与抛物线，消去得．设方程两根（即“邂逅点”横坐标）为、，根据韦达定理，，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点，，，， 分别验证：， ， ， ， ∵与的关系为． 故答案：； （2）根据“邂逅点”满足： 对于：，满足，是“邂逅点”． 对于：，不满足，不“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 故点A是“邂逅点”． 故答案为：A； （3）①∵P是“邂逅点”， ∴， ∴， 将代入中，得 ， 即k的值为． ②证明：由题意知，“邂逅点”所在直线为， 设两个“邂逅点”的横坐标分别为，， 联立，得 ， 则， ∴两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 23. 综合与探究 【阅读理解】面积法是一种重要的数学解题方法． 如例图，在等腰中，是边上的高，点P是上不与点B，C重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点M，N，即， ∴， ∵，∴． 又∵是边上的高，且为定值，∴为定值． 【类比探究】 （1）如图1，在矩形中，，，点P是上不与点A，D重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，可求的值，请写出求解过程． 【深入探究】（2）如图2，在矩形中，点M，N分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，以为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长． 【拓展探究】（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点E，D，F．若，请直接写出的面积． 【答案】（1），见解析；（2）24；（3） 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，掌握矩形的性质和判定、折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理、三角形面积等知识是解题的关键． （1）由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，然后由三角形面积即可得出结论； （2）连接，过点作于，证，则，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出，即可解决问题； （3）连接，，，由，求得， 求出，从而求出． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，，，， ，， ，， ， 解得； （2）四边形是矩形， ，，， ， 连接，过点作于，如图所示： 则四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得：， ， ，，， ， ， ， 的周长； （3）如图，连接，，，过点作， 为等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$