暑假作业05 菱形的性质与判定（2个知识点+6个题型+创新题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 菱形的性质与判定 【知识点1 菱形的定义及性质】 1.菱形的定义：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形. （1）菱形必须具备两个条件：①是平行四边形；②是有一组邻边相等.这两个条件缺一不可. （2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法. 2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质， 性质 数学语言 图形 边 菱形的四条边都相等 四边形是菱形， . 对角线 菱形的两条对角巷互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形是菱形， , 对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴 （1）菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在直线. （2）菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和. （3）如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形. 3.菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形. 菱形的面积=底×高. 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积=对角线长的乘积的一半 【拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半. 【知识点2 菱形的判定】 判定方法 数学语言 图示 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）. 在中， 是菱形. 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形中， 四边形是菱形. 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在中， 是菱形. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 菱形的性质】 1．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠OBC＝65°，则∠DAC的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠DAC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB∥CD，BC//AD，AB＝BC， ∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO， 在△AMO和△CNO中， ， ∴△AMO≌△CNO（ASA）， ∴AO＝CO， ∵AB＝BC， ∴BO⊥AC， ∴∠BOC＝90°， ∵∠OBC＝65°，BC//AD， ∴∠BCA＝∠DAC＝25°， 故选：B． 2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．60 C．96 D．192 【分析】利用菱形的性质，直角三角形的性质，可求解． 【解答】解：∵ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB， ∵DE⊥AB， ∴OE＝OB＝OD＝6， ∵AO2＝AB2﹣OB2＝102﹣62， ∴AO＝8， ∴AC＝16， ∵BD＝12， ∴菱形ABCD的面积为： AC•BD16×12＝96． 故选：C． 3．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝45°，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AB于点E，连接CE，则CE的长为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】由作图可知，MN垂直平分线段AD，可得EA＝ED，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，连接DE． 由作图可知，MN垂直平分线段AD， ∴EA＝ED， ∴∠A＝∠EDA＝45°， ∴∠AED＝90°， ∵AD＝2， ∴EA＝ED， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠EDC＝∠AED＝90°， ∴EC， 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（2，0），∠OAB＝120°，则顶点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点B作BN⊥x轴于点N，由直角三角形的性质求出AN，BN长即可． 【解答】解：过点B作BN⊥x轴于点N，如图所示： ∴∠BNA＝90°， ∵四边形OABC为菱形，∠OAB＝120°， ∴∠BAN＝60°，AB＝OA， ∴∠ABN＝30°， ∵A（2，0）， ∴OA＝2， ∴AB＝2， ∴，由勾股定理得， ∴ON＝AO+AN＝2+1＝3， 所以顶点B的坐标为， 故选：A． 5．如图，菱形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE且AE≠ED，连接EF，其中DE＝BF，BE＝BC，过点C作CH∥AE交BE于点H．则图中与∠BAE相等（∠BAE除外）的角有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】由菱形ABCD，可得AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，AB∥CD，由BE＝BC，可得BE＝BC＝AB＝CD＝AD，则∠BEA＝∠BAE，由CH∥AE，可得∠DHC＝∠BEA＝∠BAE，证明△ABE≌△CDH（AAS），则∠DCH＝∠BAE，证明△ADE≌△EBF（SAS），可得∠AED＝∠EFB，则∠BEA＝∠EFC＝∠BAE，然后判断作答即可． 【解答】解：∵菱形ABCD， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，AB∥CD， ∵BE＝BC， ∴BE＝BC＝AB＝CD＝AD， ∴∠BEA＝∠BAE， ∵CH∥AE， ∴∠DHC＝∠BEA＝∠BAE， ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDH， ∵∠ABE＝∠CDH，∠BEA＝∠DHC，AB＝CD， ∴△ABE≌△CDH（AAS）， ∴∠DCH＝∠BAE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠EBF， ∵DE＝BF，∠ADE＝∠EBF，AD＝BC， ∴△ADE≌△EBF（SAS）， ∴∠AED＝∠EFB， ∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠EFB，即∠BEA＝∠EFC＝∠BAE， 综上所述，∠DHC，∠BEA，∠DCH，∠EFC与∠BAE相等， 故选：B． 6．如图，菱形ABCD的面积为，∠ABC＝120°，点O为BD的中点，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（　　） A． B． C．4 D．6 【分析】由菱形的性质可得∠DAB＝60°，AB＝AD，AC⊥BD于点O，AO＝CO，BO＝DO，可证△ABD是等边三角形，可得BD＝AB，由菱形的面积公式可求AC的长，即可求解． 【解答】解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点O为BD的中点， ∴∠DAB＝60°，AB＝AD，AC⊥BD于点O，AO＝CO，BO＝DO， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB， ∵∠BAC＝30°， ∴AOBO， ∴ACBD， ∵菱形ABCD的面积为， ∴AC×BD， ∴BD＝4， ∴AC＝12， ∵CE⊥AB，AO＝CO， ∴OEAC＝6， 故选：D． 7．如图，在菱形ABCD和菱形CEFG（点D在边CG上）中，连接AF，EG相交于点P，连接CP．若BC＝5，CE＝10，EG＝12，则CP的长是（　　） A．8 B．9 C． D． 【分析】如图：连接CF交EG于O，连接DO，由菱形的性质可得CD＝BC＝5，CG＝FG＝CE＝10、CF⊥GE、、OC＝OF、AD∥CE∥GF，再由勾股定理可得；再证明OD是△CGF的中位线，进而得到AD∥GF、A，D，O三点共线、AO＝AD+OD＝10；然后证明△FPG≌△APO（AAS）可得，最后运用勾股定理即可解答． 【解答】解：如图：连接CF交EG于O，连接DO， ∵菱形ABCD和菱形CEFG，BC＝5，CE＝10， ∴CD＝BC＝5，CG＝FG＝CE＝10，CF⊥GE，，OC＝OF，AD∥CE∥GF， ∴， ∵GD＝CG﹣CD＝5， ∴CD＝DG ∵OC＝OF， ∴OD是△CGF的中位线， ∴， ∵AD∥GF， ∴A，D，O三点共线，AO＝AD+OD＝10，∠FGP＝∠AOP， ∴AO＝GF＝10， ∵∠FPG＝∠APO， ∴△FPG≌△APO（AAS）， ∴， ∵CF⊥GE， ∴． 故选：C． 【题型2 平行四边形的判定】 8．在四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交点O，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝BC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝CD，∠AOD＝90° C．OA＝OC，∠ABD＝∠CBD D．AC＝BD，AC⊥BD 【分析】根据菱形的判定定理依次对各个选项进行判定即可． 【解答】解：A．如图1， ∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°． ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴选项A可以判定四边形ABCD为菱形； B．∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠AOD＝90°， ∴四边形ABCD是菱形， ∴选项B可以判定四边形ABCD为菱形； C．∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD，∠ABD＝∠BDC． ∵OA＝OC， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠BDC＝∠DBC ∴CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴选项C可以判定四边形ABCD为菱形； D．如图满足AC＝BD，AC⊥BD，AB∥CD， ∴选项D不可以判定四边形ABCD为菱形． 故选：D． 9．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　） ①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD． A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ 【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可． 【解答】解：①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确； ②▱ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误； ③▱ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确； D、▱ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④错误． 故选：A． 10．如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下： 甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形． 乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形． 则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（　　） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【分析】首先证明△AOE≌△COF（ASA），可得AE＝CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB＝AF，所以四边形ABEF是菱形． 【解答】解：甲的作法正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴AO＝CO， 在△AOE和△COF中， ∵， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形； 乙的作法正确； ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠2，∠6＝∠7， ∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD， ∴∠2＝∠3，∠5＝∠6， ∴∠1＝∠3，∠5＝∠7， ∴AB＝AF，AB＝BE， ∴AF＝BE ∵AF∥BE，且AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF， ∴平行四边形ABEF是菱形． 故选：C． 11．依据所标数据，下列一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据各个选项中图形中的信息，可以判断是否为菱形，从而可以解答本题． 【解答】解：选项A中的对角不相等，故选项A中的图形不是菱形，不符合题意； 选项B中同旁内角互补，则左右的两边平行，故该四边形是平行四边形，又由图可知四边相等，故该四边形是菱形，符合题意； 选项C中只能得到四边形的三条边的长度相等，不知道第四条边的长度，故不能判断是菱形，不符合题意； 选项D中的图形，只能判断为平行四边形，但不能判断是菱形，不符合题意； 故选：B． 12．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，M，N分别在AD及其延长线上，CM∥BN，连接BM，CN． （1）求证：四边形BMCN是平行四边形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN是菱形？判断并说明理由． 【分析】（1）证明△BDN≌△CDM（ASA），得DN＝DM，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得AN⊥BC，再由菱形的判定即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵CM∥BN， ∴∠DBN＝∠DCM， ∵D是边BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDN和△CDM中， ， ∴△BDN≌△CDM（ASA）， ∴DN＝DM， ∴四边形BMCN是平行四边形． （2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形BMCN是菱形，理由如下： 由（1）可知，四边形BMCN是平行四边形， ∵AB＝AC，D是边BC的中点， ∴AN⊥BC， ∴平行四边形BMCN是菱形． 【题型3 菱形的判定与性质】 13．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长． 【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论； （2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴OE＝OA＝OC， ∵BD＝2， ∴， 在Rt△AOB中，，OB＝1， ∴， ∴OE＝OA＝2． 14．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE，AB＝AF，AF＝BE，从而证明四边形ABEF是菱形； （2）由菱形的性质得出AE⊥BF，得到∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°从而得出AB＝AE＝8，AP＝4，过点P作PM⊥AD于M，得到PM＝2，AM＝2，从而得到DM＝10，由勾股定理求出PD、PB的长，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE． 同理：AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形； （2）解：∵四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，△ABE为等边三角形， ∴AB＝AE＝8， ∵AB＝8， ∴AP＝4， 过点P作PM⊥AD于M，如图所示： ∴PM＝2，AM＝2， ∵AD＝12， ∴DM＝10， ∴PD4． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE、CE相交于点E． （1）求证：四边形CEBD是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，若AB＝10，CF＝3，求DG的长． 【分析】（1）根据平行四边形 的判定定理得到四边形CEBD是平行四边形，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，根据菱形的判定定理得到结论； （2）解根据勾股定理得到DF4，根据菱形的性质得到CE＝CD＝5，∠DCG＝∠ECG，根据全等三角形的性质得到DG＝GE，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵BE∥CD，CE∥AB， ∴四边形CEBD是平行四边形， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点， ∴CD＝BD， ∴四边形CEBD是菱形； （2）解：∵AB＝10， ∴CD， ∵DF⊥CE， ∴∠DFC＝90°， ∵CF＝3， ∴DF4， ∵四边形CEBD是菱形， ∴CE＝CD＝5，∠DCG＝∠ECG， ∴EF＝CE﹣CF＝2， 在△DCG与△ECG中， ， ∴△DCG≌△ECG（SAS）， ∴DG＝GE， ∵FG2+EF2＝EG2， ∴（4﹣DG）2+22＝DG2， ∴DG， 故DG的长为． 16．如图，点D为Rt△ABC的斜边AB的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，连接BE、DE，DE交BC于点O，BE∥CD． （1）求证：四边形BDCE为菱形； （2）若∠A＝60°，AC＝4，点M、N分别为线段OB、CD的中点，连接MN，求线段MN的长． 【分析】（1）先证明四边形BDCE为平行四边形，再证明CD＝BD即可证明结论； （2）根据直角三角形的性质可得，再根据菱形的性质可得△BED为等边三角形，进而求得、、，如图：过N作NF⊥OC，再求得NF＝1、，最后运用勾股定理即可解答． 【解答】（1）证明：∵CE∥AB，BE∥CD， ∴四边形BDCE为平行四边形， ∵点D为Rt△ABC的斜边AB的中点，连接CD， ∴， ∴四边形BDCE为菱形． （2）解：∵点D为Rt△ABC的斜边AB的中点，连接CD， ∴， ∵在Rt△ABC中，∠A＝60°，AC＝4， ∴∠DBC＝30°， ∴AB＝2AC＝8，即， ∵四边形BDCE为菱形， ∴BD＝BE＝CD＝4，ED⊥BC，∠DBE＝2∠DBC＝60°，OD＝OE， ∴△BED为等边三角形，∠DCB＝∠DBC＝30°， ∴DE＝BD＝4，即OD＝OE＝2， ∴， ∵点M、N分别为线段OB、CD的中点， ∴，， 如图：过N作NF⊥OC， ∵∠DCB＝30°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型4 菱形中多结论问题】 17．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，连接BF，交DE于点G，连接GC．现有下列结论：①∠BGD＝120°；②GC平分∠BGD；③CG＝DG+BG；④S四边形DGBCCG2．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先证明△ABD是等边三角形，利用“SAS”证明△AED≌△DFB，利用全等三角形的性质和三角形的外角性质可判断①；过C作CM⊥BG于M，CN⊥ED交ED延长线于N，则∠CNG＝∠CMG＝90°，根据四边形的内角和360°可推导出∠BCD＝∠A＝60°，然后证△DCN≌△BCM（AAS）和Rt△CNG≌Rt△CMG（HL）可判定②；利用含30度角的直角三角形性质以及全等三角形的性质可判定③；运用勾股定理求得，，利用全等三角形的性质可得S△DCN＝S△BCM，进而得S四边形BCDG＝S四边形MCNG＝2S△CNG，利用三角形的面积公式可判断④，进而可得答案． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠BCD， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠A＝∠ADB＝60°，AD＝BD， 在△AED和△DFB中， ， ∴△AED≌△DFB（SAS）， ∴∠ADE＝∠DBF， ∴∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠ADE＝∠ADB＝60°， ∴∠BGD＝180°﹣∠BGE＝120°； 故①符合题意； 过C作CM⊥BG于M，CN⊥ED交ED延长线于N，则∠CNG＝∠CMG＝90°， ∵∠BGN＝180°﹣∠BGE＝120°， ∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°， ∵∠BCD＝∠A＝60°， ∴∠DCN＝∠BCM＝60°﹣∠MCD， 在△DCN和△BCM中， ， ∴△DCN≌△BCM（AAS）， ∴CN＝CM，DN＝BM 又∠CNG＝∠CMG＝90°， CG＝CG， ∴Rt△CNG≌Rt△CMG（HL）， ∴∠CGN＝∠CGM， 即GC平分∠BGD， 故②符合题意； ∵GC平分∠BGD，且∠BGD＝120°， ∴∠NGC＝∠BGC＝60° 则∠GCN＝∠GCM＝90°﹣60°＝30°， ∴，， ∵DN＝BM， 则GD+GB＝GD+GM+MB＝GD+GM+DN＝GN+GM， 即， 故③符合题意； ∴，， ∵△DCN≌△BCM（AAS）， ∴S△DCN＝S△BCM， ∴S四边形BCDG＝S四边形MCNG＝2S△CNG， ∴， 故④符合题意； 故选：D． 18．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S菱形ABCD＝AB2；⑤2DEDC；⑥BF＝BC，正确结论的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠GDB＝∠GBD＝30°，得出∠GDC＝∠GBC＝90°，DG＝BG，由四边形的内角和为360°就可以求出∠BGD的值，由直角三角形的性质就可以得出CG＝2GD就可以得出BG+DG＝CG，在直角三角形GBC中，CG＞BC＝BD，故△BDF与△CGB不全等，由三角形的面积关系可判断④，结合④和菱形的性质进而得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD．∠A＝∠BCD． ∵∠A＝60°， ∴∠BCD＝60°， ∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形． ∴∠ADB＝∠ABD＝60°，∠CDB＝∠CBD＝60°． ∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴∠BFD＝∠DEB＝90°， ∴∠GDB＝∠GBD＝30°， ∴∠GDC＝∠GBC＝90°，DG＝BG， ∴∠BGD＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°， 故①正确； 在△CDG和△CBG中， ， ∴△CDG≌△CBG（SSS）， ∴∠DGC＝∠BGC＝60°． ∴∠GCD＝30°， ∴CG＝2GD＝GD+GD， ∴CG＝DG+BG． 故②正确． ∵△GBC为直角三角形， ∴CG＞BC， ∴CG≠BD， ∴△BDF与△CGB不全等． 故③错误； ∵S菱形ABCD＝2S△ADB＝2AB•DE ＝AB•（BE） ＝AB•AB AB2， 故④错误； ∵DEBEABCD， ∴2DECD， 故⑤正确； ∵BD＞BF，BD＝BC， ∴BC＞BF， 故⑥错误． ∴正确的有：①②⑤共三个． 故选：C． 19．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG．则下列结论：①；②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由“AAS”可证△ABG≌△DEG，可得AG＝DG，由三角形中位线定理可得OGCDAB，OG∥CD，可得∠FOG＝∠BAC＝30°，故①和②正确；由菱形的判定可证四边形ABDE是菱形，故④正确；由面积和差关系可证③正确，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∠BAC＝∠CAD＝30°， ∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OGCDAB，OG∥CD， ∴OG∥AB， ∴∠FOG＝∠BAC＝30°， ∴①和②正确； ∵AB∥CE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°， ∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形， ∴④正确； ∵四边形ABDE是菱形， ∴S△ABD＝S△BDES菱形ABDE， ∵OB＝OD， ∴S△BOG＝S△ODG， ∴S四边形ODEG＝S四边形ABOG； ∴③正确； 故选：A． 20．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OBOA；③∠MPN＝60°； ④PM+PNBD．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据菱形的性质即可判断①；结合（1）利用含30度角的直角三角形即可判断②；根据四边形内角和等于360度即可判断③；如图，延长NP交BC于点G，利用角平分线的性质即可解决问题． 【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形，故①正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝30°， ∴OBOA，故②正确； ∵PM⊥AB，PN⊥AD， ∴∠AMP＝∠ANP＝90°， ∵AD∥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝120°， ∴∠MPN＝60°，故③正确； 如图，延长NP交BC于点G， ∵AD∥BC，PN⊥AD， ∴PG⊥BC， ∵PM⊥AB，BP平分∠ABC， ∴PM＝PG， ∴PM+PN＝PG+PN＝NG， ∵∠PBG＝∠PDN＝30°， ∴PB＝2PG，PD＝2PN， ∴PM+PN＝PG+PNPBPD（PB+PD）BD， ∴PM+PNBD，故④正确， 综上所述：正确的有4个． 故选：D． 【题型5 平行四变形中的动点问题】 21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝120cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（　　） A．20秒 B．18秒 C．12秒 D．6秒 【分析】首先证明四边形DFEA是平行四边形，再根据AD＝DF，列出方程求出t即可解决问题． 【解答】解：由题意CD＝4t，AE＝2t， ∵DF⊥BC于F， ∴∠DFC＝90° 在Rt△DFC中，∵∠C＝30°， ∴DFCD＝2t， ∴DF＝AE， ∵∠CFD＝∠B＝90°， ∴DF∥AE， ∴四边形DFEA是平行四边形， ∴当DF＝AD时，四边形DFEA是菱形． ∴120﹣4t＝2t， ∴t＝20s， ∴t＝20s时，四边形DFEA是菱形． 故选：A． 22．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，再利用AE＝t，CF＝2t，则BF＝BC﹣CF＝5﹣2t求出时间t的值． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠ADB∠ADC＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD， 又∵△DEF是等边三角形， ∴∠EDF＝∠DEF＝60°， 又∵∠ADB＝60°， ∴∠ADE＝∠BDF， 在△ADE和△BDF中，， ∴△ADE≌△BDF（ASA）， ∴AE＝BF， ∵AE＝t，CF＝2t， ∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t， ∴t＝5﹣2t ∴t， 故选：D． 23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，点D从点B出发沿BA方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度向点C匀速运动，当其中一个点达到终点时，另一点也随之停止运动，设点D、E运动的时间为t秒．过点D作DF⊥BC于点F，若平面内存在一点H，使得以H、E、F、D为顶点的四边形为菱形，则t的值为 　 　 ． 【分析】用含t的代数式分别表示出DE2、DF2及EF2，再由△DEF是等腰三角形时，平面内存在一点H，可使得以H、E、F、D为顶点的四边形为菱形，最后利用分类讨论的数学思想即可解决问题． 【解答】解：过点E作AB的垂线，垂足为M，如图所示， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，且AC＝10cm， ∴∠A＝∠B＝45°，AB＝10． ∵点E的运动速度为1cm/s，点D的速度为， ∴AE＝t cm，CE＝（10﹣t）cm，BD cm，AD＝（）cm． ∵△AEM是等腰直角三角形， ∴AM＝EM cm， ∴DM＝（）cm． 在Rt△DEM中， DE2＝（）2+（）2＝5t2﹣60t+200（cm）． ∵△BFD是等腰直角三角形， ∴DF＝BF＝t cm， ∴DF2＝t2cm，CF＝（10﹣t）cm， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴EF2＝2（10﹣t）2＝2t2﹣40t+200（cm）． ∵以H、E、F、D为顶点的四边形为菱形， ∴当△DEF为等腰三角形时满足要求． 当EF＝DF时，即EF2＝DF2， ∴2t2﹣40t+200＝t2， 解得t＝20±10， 又∵0≤t≤10， ∴t＝20﹣10． 当DE＝DF时，即DE2＝DF2， ∴5t2﹣60t+200＝t2， 解得t1＝5，t2＝10， 当t＝10时，点E，F与点C重合，故此情况不存在， ∴t＝5． 当EF＝DE时，即EF2＝DE2， ∴2t2﹣40t+200＝5t2﹣60t+200， 解得， 当t＝0时，点D，F与点B重合，故此情况不存在， ∴t． 综上所述，t的值为（20﹣10）或或5． 故答案为：（20﹣10）或或5． 24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝18cm，BC＝13cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示PB； （2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ （3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 【分析】（1）根据P点的速度以及时间结合AB的长表示即可； （2）只有Q点在CD上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形PQCB是平行四边形，②四边形ADQP是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为x cm/s，Q在CD边上，此时PBCQ可为菱形，满足PB＝BC＝CQ，建立方程解决即可． 【解答】解：（1）∵P从A点以1cm/s向B点运动， ∴t s时，AP＝t×1＝t（cm）， ∵AB＝18cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm； （2）∵BC＝13cm， ∴Q在BC上运动时间为13÷2＝6.5（s）， ∵BC+CD＝23+13＝36（cm）， ∴Q运动时间最长为36÷2＝18（s）， ∴6.5s≤t≤18s时，Q在CD边上， 此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形PQCB是平行四边形，如图所示： ∵AB∥CD即PB∥CQ， ∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm， ∵Q以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动， ∴运动时间为t s时，CQ＝2t﹣BC＝（2t﹣13）cm， ∴18﹣t＝2t﹣13， 解得：； ②四边形ADQP是平行四边形，如图所示： 同理∵AP∥DQ， ∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形， 由（1）知，AP＝t cm， 则DQ＝CD+CB﹣2t＝（36﹣2t）cm， ∴36﹣2t＝t， 解得：t＝12， 综上所述：当或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）设Q的速度为x cm/s，由（2）可知，Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形， ∵PB∥CQ， ∴只需满足PB＝BC＝CQ即可， 由（1）知：PB＝（18﹣t）cm， 由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1cm， ∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13， 解得：t＝5s，x＝5.2cm/s， ∴当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形． 【题型6 菱形中求最值问题】 25．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 【分析】连接OE，由菱形的性质得AC⊥BD，OD＝OBBD，OC＝OAAC，利用勾股定理可以求得DC的长为5，又因为EF⊥OC，EG⊥OD，可证四边形OFEG为矩形，根据矩形的对角线相等的性质可得GF＝OE，当OE⊥CD时，OE最短，再利用面积法求出OE的长即可求解FG的最小值． 【解答】解：连接OE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，ODBD＝3，OCAC＝4， 由勾股定理得CD5， 又∵EF⊥OC，EG⊥OD， ∴四边形OFEG为矩形， ∴GF＝OE， 当OE⊥CD时，OE值最小， 此时，S△OCDOC•ODCD•OE， ∴OE2.4， ∴FG的最小值为2.4． 故选：A． 26．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，P是菱形ABCD内的一点，连接BP，CP，AP，DP，且∠ABP+∠DCP＝90°，则△APD面积的最小值为（　　） A．24 B．2 C．44 D．22 【分析】根据菱形的性质证明BP⊥PC，当△APD的面积最小时，点P到AD的距离最小，即点P到BC的距离最大，当△BPC是等腰直角三角形时，即点P到BC的距离最大，过点C作CF⊥AD于点F，PE⊥BC于点E，根据菱形的性质即可解决问题． 【解答】解：在菱形ABCD中， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABP+∠DCP＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∴BP⊥PC， 当△APD的面积最小时，点P到AD的距离最小，即点P到BC的距离最大， 当△BPC是等腰直角三角形时，即点P到BC的距离最大， 如图，过点C作CF⊥AD于点F，PE⊥BC于点E， ∴， 在菱形ABCD中，∠CDA＝∠ABC＝60°，AD＝CD＝BC＝AB＝4， ∴∠FCD＝30°， ∴DFCD＝2， ∴CFDF＝2， ∴点P到AD的距离为， ∴△APD的面积的最小值为， 故选：C． 27．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6 D． 【分析】过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O，点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论． 【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠MAE＝30°， ∴AM＝2ME， ∵MD＝MB， ∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE， 点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小， ∵菱形ABCD的边长为6， ∴DE3， ∴2DE＝6． ∴MA+MB+MD的最小值是6． 故选：D． 28．如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，AB＝2，点E和点F分别在边AB和边BC上运动，且满足AE＝CF，则DF+CE的最小值为（　　） A．4 B． C． D．6 【分析】连接AC，作点A关于BC的对称点H，连接AH，交BC于N，连接FH，根据题意证明出△ABF≌△CBE（SAS），得出AF＝CE，得到当点F，点D，点H三点共线时，DF+CE的最小值为DH的长，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：连接AC，作点A关于BC的对称点H，连接AH，交BC于N，连接FH，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝2∠B，∠BAD+∠B＝180° ∴3∠B＝180° ∴∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵点A，点H关于BC对称， ∴AH⊥BC，AN＝NH， ∴FH＝AF， 又∵△ABC是等边三角形， ∴，， ∴， ∵AE＝CF，AB＝BC， ∴BE＝BF， 又∵∠B＝∠B ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴AF＝CE， ∴DF+CE＝DF+AF＝DF+FH≥DH， ∴当点F，点D，点H三点共线时，DF+CE的最小值为DH的长， ∵AH⊥BC， ∴∠HNC＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠HAD＝∠HNC＝90°， ∴， 即DF+CE的最小值为4． 故选：A． 29．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连结PA，在点P的运动过程中，PE+PA+PF的最小值等于 　 ． 【分析】连接AC交BD于点O，连接PC，由菱形的性质和勾股定理得OA＝3，再由三角形面积求出PE+PF＝4.8，即PE+PF的值为定值4.8，然后得出当PA⊥BD时，PA的最小值＝OA＝3，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接PC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OBBD8＝4，AB＝BC＝CD＝5， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA3， ∴OC＝OA＝3， ∵PE⊥BC，PF⊥CD，S△BCP+S△CDP＝S△BCD， ∴BC•PECD•PFBD•OC， ∴5PE+5PF＝8×3， 解得：PE+PF＝4.8， 即PE+PF的值为定值4.8， 当PA最小时，PE+PA+PF有最小值， ∵当PA⊥BD时，PA的最小值＝OA＝3， ∴PE+PA+PF的最小值＝4.8+3＝7.8， 故答案为：7.8． 30．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝120°，点M为菱形ABCD内一动点，连接BM、DM，BM＝4，点H为BM的中点，连接CH，则DM+CH的最小值为 　 　 ． 【分析】取BC中点K，连接MK，过D作DN⊥BC交BC的延长线于N，判定△CBH≌△MBK（SAS），推出MK＝CH，得到DM+CH＝DM+MK，由含30度角的直角三角形的性质得到CNCD＝2，DNCN＝2，由勾股定理求出DK＝2，由三角形三边关系定理得到DM+MK≥DK，即可得到DM+CH的最小值． 【解答】解：取BC中点K，连接MK，过D作DN⊥BC交BC的延长线于N， ∴BKBC， ∵H是MB中点， ∴BHBM， ∵四边形ABCD是边长为4的菱形， ∴CD＝BC＝BM＝4，∠BCD＝∠A＝120°， ∵∠CBH＝∠MBK， ∴△CBH≌△MBK（SAS）， ∴MK＝CH， ∴DM+CH＝DM+MK， ∵∠DCN＝180°﹣120°＝60°， ∴∠CDN＝90°﹣60°＝30°， ∴CNCD＝2，DNCN＝2， ∵CKBC＝2， ∴NK＝CK+CN＝4， ∴DK2， ∵DM+MK≥DK＝2， ∴DM+CH≥2， ∴DM+CH的最小值为2． 故答案为：2． 31．对于问题：“如图，在边长为7的菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ADO＝30°，把一个大小为120°的∠AMN的顶点M放在线段OD上（不与点O，D重合），一边经过点A，另一边与射线BC交于点N，求MN的整数值．”甲的答案：2或3；乙的答案：4或5；丙的答案：6．则下列判断正确的是（　　） A．只有甲的答案对 B．只有乙的答案对 C．甲、乙的答案合在一起才完整 D．乙、丙的答案合在一起才完整 【分析】如图，连接MC，由菱形的性质推出AC⊥BD，∠CDM＝∠ADM，∠ABC＝∠ADC，由含30度角的直角三角形的性质得到AOAD＝3.5，由菱形的对称性得到MC＝AM，∠MCB＝∠MAB，由补角的性质推出∠MNC＝∠MAB，得到∠MNC＝∠MCB，推出MN＝MC，因此MN＝MA，由OA＜MA＜AD，得到3.5＜MN＜7，即可得到答案． 【解答】解：如图，连接MC， ∵四边形ABCD是边长为7的菱形， ∴AC⊥BD，∠CDM＝∠ADM，AD＝7，∠ABC＝∠ADC， ∴∠AOD＝90°， ∵∠ADO＝30°， ∴AOAD＝3.5， ∵菱形ABCD是轴对称图形，DB所在的直线是菱形的对称轴， ∴MC＝AM，∠MCB＝∠MAB， ∵∠ABC＝∠ADC＝2∠ADO＝60°，∠AMN＝120°， ∴∠MAB+∠MNB＝360°﹣120°﹣60°＝180°， ∵∠MNC+∠MNB＝180°， ∴∠MNC＝∠MAB， ∴∠MNC＝∠MCB， ∴MN＝MC， ∴MN＝MA， ∵OA＜MA＜AD， ∴3.5＜MN＜7， ∴MN的整数值是4，5，6． 故选：D． 32．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＞∠C．P为BC边上一动点（包含端点），分别作点P关于AB，AC所在直线的对称点D、E．连接DE交AB，AC于点F，G．甲说：DE最大值为，乙说：DF2+GE2＝FG2；丙说：当BP＝DF时，四边形PCEG为菱形．下列判断正确的是（　　） A．甲乙丙都对 B．甲丙对，乙错 C．甲乙对，丙错 D．乙丙对，甲错 【分析】根据对称的性质分别对几个选项进行分析． 【解答】解： 连接AP，AD，PF，CE，AE，PG，BD， ∵P与D关于AB对称，P与E关于AC对称， ∴AD＝AP，AE＝AP，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠2+∠3＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE＝2（∠2+∠3）＝90°， ∴DE2＝AD2+AE2＝2AP2， 当点P与点C重合时，AP最大，则DE最大， ∴DE2＝2AC2， ∴， 所以甲对； ∵AD＝AP＝AE，∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠AED＝45°， ∵AD＝AP，∠1＝∠2，AF＝AF， ∴△ADF≌△APF（SAS）， ∴∠ADF＝∠ADE＝45°， 同理可证：△APG≌△AEG， ∴∠APG＝∠AED＝45°， ∴∠EPG＝90°， ∴PF2+PG2＝FG2， 由对称得：DF＝PF，GE＝PG， ∴DF2+GE2＝FG2， 所以乙对； 当BP＝DF时，由对称可得：BD＝BP，DF＝PF， ∴BD＝BP＝DF＝PF， ∴四边形BPFD为菱形， ∵P与D关于AB对称， ∴BD＝BP，FD＝FP， ∵BP＝DF， ∴BD＝BP＝FD＝FP， ∴四边形DBPF为菱形， ∴DF∥BC， ∴∠AGF＝∠ACB， ∵P与E关于AC对称， ∴GP＝GE，CP＝CE，∠PGC＝∠CGE， ∵∠AGF＝∠CGE， ∴∠ACB＝∠PGC， ∴PG＝PC， ∴PG＝PC＝CE＝GE， ∴四边形PCEG为菱形， 所以丙对． 故答案为：A． 33．如图，这是由10个全等的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，我们把三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，△ABC是格点三角形，将 △ABC平移后仍为格点三角形（本身除外）的方法有（　　） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【分析】根据菱形的性质画出图形解答即可． 【解答】解：如图所示： 故选：C． 34．邻边长分别为3，a（a＞3）的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于3的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去，若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值 　 　 ． 【分析】根据题意，进行分类讨论，再根据菱形的性质，列出方程求解即可． 【解答】解：①如图，经历三次折叠后，四边形IJHF为菱形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝3， ∴DF＝CE＝a﹣3， ∵四边形GCEH为菱形， ∴GC＝CE＝a﹣3， ∴DG＝FH＝3﹣（a﹣3）＝6﹣a， ∵四边形DGJI为菱形， ∴DI＝DG＝6﹣a， ∴IF＝a﹣3﹣（6﹣a）＝2a﹣9， ∵四边形IJHF为菱形， ∴IF＝HF，即6﹣a＝2a﹣9， 解得：a＝5； ②如图，经历三次折叠后，四边形DIHF为菱形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝3， ∴DF＝CE＝a﹣3， ∵四边形JCEG，IJGH，DIHF都为菱形， ∴DICD＝2或CD＝1 ∴a﹣3＝2或a﹣3＝1 解得：a＝5或4； 综上：a的值为5． 故答案为：5或4． 35．定义：若点P为四边形ABCD内一点，且满足∠APB+∠CPD＝180°，则称点P为四边形ABCD的一个“互补点”． （1）如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，若∠APD＝60°，则∠BPC＝　120°　 ； （2）如图2，点P是菱形ABCD对角线BD上的任意一点（不与点B，D重合），求证：点P为菱形ABCD的一个“互补点”． 【分析】（1）根据称点P为四边形ABCD的一个“互补点”的定义直接求解即可； （2）如图2，连接AP、CP，证得∠APB+∠CPD＝180°即可． 【解答】（1）解：∵如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD＝60°， ∴∠BPC＝180°﹣∠APD＝180°﹣60°＝120°，即∠BPC＝120°； （2）证明：如图2，连接AP、CP， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP． 在△ADP与△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴∠APD＝∠CPD． 又∠APB+∠APD＝180°， ∴∠APB+∠CPD＝180°，即点P为菱形ABCD的一个“互补点”． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 菱形的性质与判定 【知识点1 菱形的定义及性质】 1.菱形的定义：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形. （1）菱形必须具备两个条件：①是平行四边形；②是有一组邻边相等.这两个条件缺一不可. （2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法. 2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质， 性质 数学语言 图形 边 菱形的四条边都相等 四边形是菱形， . 对角线 菱形的两条对角巷互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形是菱形， , 对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴 （1）菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在直线. （2）菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和. （3）如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形. 3.菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形. 菱形的面积=底×高. 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积=对角线长的乘积的一半 【拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半. 【知识点2 菱形的判定】 判定方法 数学语言 图示 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）. 在中， 是菱形. 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形中， 四边形是菱形. 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在中， 是菱形. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 菱形的性质】 1．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠OBC＝65°，则∠DAC的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．60 C．96 D．192 3．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝45°，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AB于点E，连接CE，则CE的长为（　　） A．4 B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（2，0），∠OAB＝120°，则顶点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．如图，菱形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE且AE≠ED，连接EF，其中DE＝BF，BE＝BC，过点C作CH∥AE交BE于点H．则图中与∠BAE相等（∠BAE除外）的角有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．如图，菱形ABCD的面积为，∠ABC＝120°，点O为BD的中点，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（　　） A． B． C．4 D．6 7．如图，在菱形ABCD和菱形CEFG（点D在边CG上）中，连接AF，EG相交于点P，连接CP．若BC＝5，CE＝10，EG＝12，则CP的长是（　　） A．8 B．9 C． D． 【题型2 平行四边形的判定】 8．在四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交点O，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝BC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝CD，∠AOD＝90° C．OA＝OC，∠ABD＝∠CBD D．AC＝BD，AC⊥BD 9．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　） ①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD． A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ 10．如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下： 甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形． 乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形． 则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（　　） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 11．依据所标数据，下列一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 12．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，M，N分别在AD及其延长线上，CM∥BN，连接BM，CN． （1）求证：四边形BMCN是平行四边形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN是菱形？判断并说明理由． 【题型3 菱形的判定与性质】 13．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长． 14．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE、CE相交于点E． （1）求证：四边形CEBD是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，若AB＝10，CF＝3，求DG的长． 16．如图，点D为Rt△ABC的斜边AB的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，连接BE、DE，DE交BC于点O，BE∥CD． （1）求证：四边形BDCE为菱形； （2）若∠A＝60°，AC＝4，点M、N分别为线段OB、CD的中点，连接MN，求线段MN的长． 【题型4 菱形中多结论问题】 17．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，连接BF，交DE于点G，连接GC．现有下列结论：①∠BGD＝120°；②GC平分∠BGD；③CG＝DG+BG；④S四边形DGBCCG2．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S菱形ABCD＝AB2；⑤2DEDC；⑥BF＝BC，正确结论的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 19．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG．则下列结论：①；②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 20．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OBOA；③∠MPN＝60°； ④PM+PNBD．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型5 平行四变形中的动点问题】 21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝120cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（　　） A．20秒 B．18秒 C．12秒 D．6秒 22．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　　） A． B． C． D． 23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，点D从点B出发沿BA方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度向点C匀速运动，当其中一个点达到终点时，另一点也随之停止运动，设点D、E运动的时间为t秒．过点D作DF⊥BC于点F，若平面内存在一点H，使得以H、E、F、D为顶点的四边形为菱形，则t的值为 　 　 ． 24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝18cm，BC＝13cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示PB； （2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ （3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 【题型6 菱形中求最值问题】 25．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 26．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，P是菱形ABCD内的一点，连接BP，CP，AP，DP，且∠ABP+∠DCP＝90°，则△APD面积的最小值为（　　） A．24 B．2 C．44 D．22 27．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6 D． 28．如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，AB＝2，点E和点F分别在边AB和边BC上运动，且满足AE＝CF，则DF+CE的最小值为（　　） A．4 B． C． D．6 29．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连结PA，在点P的运动过程中，PE+PA+PF的最小值等于 　 ． 30．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝120°，点M为菱形ABCD内一动点，连接BM、DM，BM＝4，点H为BM的中点，连接CH，则DM+CH的最小值为 　 　 ． 31．对于问题：“如图，在边长为7的菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ADO＝30°，把一个大小为120°的∠AMN的顶点M放在线段OD上（不与点O，D重合），一边经过点A，另一边与射线BC交于点N，求MN的整数值．”甲的答案：2或3；乙的答案：4或5；丙的答案：6．则下列判断正确的是（　　） A．只有甲的答案对 B．只有乙的答案对 C．甲、乙的答案合在一起才完整 D．乙、丙的答案合在一起才完整 32．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＞∠C．P为BC边上一动点（包含端点），分别作点P关于AB，AC所在直线的对称点D、E．连接DE交AB，AC于点F，G．甲说：DE最大值为，乙说：DF2+GE2＝FG2；丙说：当BP＝DF时，四边形PCEG为菱形．下列判断正确的是（　　） A．甲乙丙都对 B．甲丙对，乙错 C．甲乙对，丙错 D．乙丙对，甲错 33．如图，这是由10个全等的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，我们把三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，△ABC是格点三角形，将 △ABC平移后仍为格点三角形（本身除外）的方法有（　　） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 34．邻边长分别为3，a（a＞3）的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于3的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去，若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值 　 　 ． 35．定义：若点P为四边形ABCD内一点，且满足∠APB+∠CPD＝180°，则称点P为四边形ABCD的一个“互补点”． （1）如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，若∠APD＝60°，则∠BPC＝　120°　 ； （2）如图2，点P是菱形ABCD对角线BD上的任意一点（不与点B，D重合），求证：点P为菱形ABCD的一个“互补点”． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$