暑假作业05 菱形性质与判断（4大题型巩固提升练+拓展能力练+仿真考场练）【暑假分层作业】-2024年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 菱形性质与判断类型题精练 知识点1．菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （2）菱形的性质： 1. 菱形具有平行四边形的所有性质； 2、菱形的四条边都相等； 几何描述：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD 3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。 几何描述：∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD,AC平分∠BAD, CA平分∠BCD，BD平分∠CBA，DB平分∠ADC 3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。 知识点2．菱形的判定 1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 2、四条边相等的四边形是菱形。 3、一组邻边相等的平行四边形是菱形。 知识点3．计算菱形的面积 菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是： 题型一：应用菱形的性质进行计算 1．如图，在菱形中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，四边形为平行四边形，四边形为菱形，与交于点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵为平行四边形， ∴， ∴， 故选A． 3．如图，菱形中，，过点作于点，并交于点，过点作于点，若，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即， 故选：D． 4．如图，在菱形中，为对角线的交点， ，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形为菱形， ， 则， ，， ． 故选：A 5．如图，在菱形中，，，对角线与相交于点．将边沿方向平移到，连接．当点是的中点时，四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵将边沿方向平移到，连接， ∴,, ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 6．如图所示，菱形的对角线相交于点，，垂足为．若则的长为 ． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 题型二：应用菱形的性质进行证明 7．（2024·河北唐山·二模）已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， A、∵菱形的四边相等，故本选项不符合题意； B、∵菱形的四边相等， ∴， ∴， 故本选项不符合题意； C、∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故本选项不符合题意； D、∵四边形是菱形， ∴， 故本选项符合题意， 故选：D． 8．证明命题“菱形的一条对角线平分这一组对角”． 已知：如图3，是菱形的一条对角线． 求证：，． 证明：∵四边形是菱形， …， ∴，． 以下是“…”处排乱的证明过程：①∴；②∵；③∴，．正确的证明顺序是（    ）    A．①②③ B．③①② C．②①③ D．③②① 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．由菱形的性质得，然后证明即可． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ③∴，． ②∵， ①∴， ∴，． 故选D． 9．如图，四边形是菱形，于点，于点．求证：．    【答案】见解析 【详解】证明：四边形是菱形， ， ， ， 在与中 ， ， ． 10．（2024·浙江温州·二模）如图，在菱形中，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：，， ， 又四边形是菱形， ，， ． （2）， ， ，， ． 11．如图，在菱形中，点是的中点． (1)请仅用无刻度的直尺作图，作出边的中点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，点是的中点，连接，若的面积为3，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析(2)． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所作； （2）解：∵点是的中点，的面积为3， ∴， ∵点是的中点， ∴． 题型三：菱形的判定与证明 12．如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项A符合题意； B、由四边形是平行四边形，，不能判定四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、由四边形是平行四边形，，不能判定四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 13．已知四边形是平行四边形，则下列结论错误的是（    ） A．当时，它是矩形 B．一定成立 C． D．当时，它是菱形 【答案】B 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、四边形是平行四边形，对角线不一定相等， 不一定成立，故本选项符合题意； C、四边形是平行四边形， ，故本选项不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形，故本选项不符合题意； 故选：B． 14．如图，已知，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点、； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点； （3）分别连接，            则可以直接判定四边形是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【答案】D 【详解】解：由作图得，， ∴， ∵四条边相等的四边形是菱形， ∴四边形是菱形， 故选：D． 15．已知：在四边形中，，如图，求证，四边形是菱形． 证明：，， 四边形是平行四边形， 又…………， 四边形是菱形 在以上证明过程中，“…………”可以表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，可得“…………”可以表示的是． 故选C． 16．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，在平行四边形中，对角线与交于点． （1）添加一个条件 ，则可判定四边形是菱形； （2）若，，则与的周长之差为 ． 【答案】 2 【详解】（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以添加一个条件， 故答案为：； （2）∵平行四边形中，对角线与交于点，，， ∴，，， ∴与的周长之差为， 故答案为：2． 17．将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为______（两张纸条不完全重合）． 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）证明：分别过作于，于，如图1， ， 由题意可得，，，， 四边形是平行四边形， ， 在与中， ， ， ， 是菱形； （2）解：∵是菱形， ， ， 当越大时，菱形的面积越大， 旋转如图位置时，如图2，此时取最大值， 设，则， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，在四边形中，，平分，，为中点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形; （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的面积为． 题型四：菱形的性质与判定的综合 19．如图，在矩形中，，，，边上各有一点，，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：C． 20．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为 ． 【答案】10 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故答案为：10． 21．如图所示，四边形是矩形，过其两对角线的交点且与、的延长线分别交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，那么四边形能是菱形吗？若能，请求出此时的大小；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）能， 【详解】（1）连接，如图， 四边形是矩形， ， ， 点是矩形对角线的交点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形能是菱形， 连接，如图， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 若四边形是菱形， 则， ， ， ， 当时，四边形是菱形． 22．如图1，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接    (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，若交于点，且，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析(2)5 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 同理，平分， ， 又， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：菱形中，，，， ，，， ． 23．如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠=35°． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． （2），， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 24．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，，平分，交于点，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为16，，求的大小． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，即 ， ， ∴四边形为平行四边形， 平分， ， ∵， ， ， ， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点，    ∵四边形为菱形， ∴，， ，， ， ∵菱形的周长为， ， 在中， ， 由勾股定理可得：， ． 25．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：≌； (2)证明四边形是菱形； (3)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)10 【详解】（1）证明：∵， ， 是的中点， ， 在和中， ； （2）证明：由（1）知，，则． 为边上的中线 ， ． ∵， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 四边形是菱形； （3）解：连接， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ． 26．如图，边长为3的菱形中，，点是对角线上任意一点（不与、重合），以和为边作平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：设与交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当取最小值时，的值最小， 由“点到直线的距离垂线段最短”可知， 当时，的值最小， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， 在中， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 27．如图，在中，，是的中点，于点，过作的平行线交的延长线于点，延长至点，使，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形，理由见解析 【详解】解：四边形是菱形 理由：∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴平行四边形是菱形． 28．如图，平行四边形的两条对角线与相交于点，，是线段上的两点，且，连接，，，   (1)求证：四边形是平行四边形． (2)从下列条件：①平分，②，③中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形为菱形．我选的是 （请填写序号），并证明． 【答案】(1)见解析(2)①，见解析（答案不唯一） 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：选①平分， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形 ； 选③， ∵平行四边形， ∴为中点， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． 29．如图，平行四边形中，，点为的中点，连接. (1)过点作，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形为菱形； (3)若平行四边形的周长为18，，求四边形的面积. 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)6 【详解】（1）如图，即为所作； （2）证明：∵是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，点为的中点， ∴， ∴四边形为菱形； （3）连接， 设， ∵平行四边形的周长为18， ∴，即， ∵，即， 解得， 又∵四边形为菱形， ∴，， 又∵， ∴是平行四边形， ∴， ∴． 30．如图，在中，对角线、相交于点，，在线段上从点以的速度运动，点在线段上从点以的速度运动，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)若点、同时运动，当为何值时，四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，当为何值时，四边形是菱形？ (3)在（1）的条件下，四边形还可能是矩形吗？为什么？ 【答案】(1)(2)(3)不能；理由见解析 【详解】（1）解： ∵四边形为平行四边形， ∴，， 若四边形为平行四边形， ∴，， ∵在线段上从点以的速度运动，点在线段上从点以的速度运动， ∴，， ∴， ∴， ∴当的值为时，四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 若四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； （3）解：不可以． 若是矩形，， ∴， ∴， 则此时在点上，在上， 显然四边形不是矩形． 31．如图，已知菱形中，过中点作，交对角线于点，交的延长线于点．连接，若，，则的长是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：设与的交点为，过点作，垂足为， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点是中点， ∴， ∵，交对角线于点， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， 故选：A． 32．折叠问题是我们常见的数学问题，数学活动课上，同学们以“矩形的折叠“为主题展开了数学活动．他们发现虽然折叠的形式多样，错综复杂，但一定要把握它的两大特点： ① 折叠前后折痕两侧图形全等；② 折叠前后对应点的连线被折痕所在的直线垂直平分． [尝试感悟]如图1，将矩形纸片折叠，使得点与点重合，折痕与边、分别交于、，再将矩形纸片展开，连接、，折痕与对角线相交于点．猜想： 四边形是变形．    （1）请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠，使得点与点重合， ∴_______，∴， ∵四边形是矩形，∴， ∴，又∵， ∴， ∴_________， 又∵，∴四边形是平行四边形， ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴_______，∴平行四边形是菱形． 【操作发现】同学们再次折叠矩形纸片，将点与点重合改成点落在对角线上，点的对应点记为点，折痕与边，分别交于、．（如图2）．发现：折痕的长度始终保持不变．    （2）请在，的条件下，求折痕的长度． 【探索研究】同学们合作交流后又有两个发现： （3）① 当与满足一定的关系时，始终有．请写出与满足的关系式，并说明理由； ② 折痕在某一位置时，能使、、三点共线．请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出折痕（保留作图的痕迹，不写作法）．    【答案】（1）见解析（2）（3）①，理由见解析；②见解析 【详解】解：（1）证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠，使得点与点重合， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴， ∴平行四边形是菱形． 故答案为：垂直平分；；． （2）连接    ∵四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，， ， ， ，， 在中，， ， ， ． （3）①当时，始终有． 理由：∵四边形是矩形，    ，，，， ， ， 又，，， ， 是等边三角形， ， 由折叠得：， ， ， 故当时，始终有． ②如图所示，直线即为所画折痕．    33．【问题探究】 （1）如图，已知点与点关于对称，则________；（填“”“”或“”） （2）如图，在菱形中，点是上的点，连接，将沿翻折得到，点的对应点恰好落在边上，延长，交的延长线于点．若菱形的边长为，，求的长； 【问题解决】 （3）如图，某地有一块形如平行四边形的空地，已知，，．园林规划局计划在这片空地上开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．根据规划要求，点在线段上，点在线段上，且点与点关于对称，点在线段上，，求栅栏的长（即四边形的周长）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵点与点关于对称， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长，相交于点， ∵将沿翻折得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵菱形的边长为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，与相交于点，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴栅栏的长． 34．（2023·湖南·中考真题）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴, 故选：C． 35．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则的值为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 36．（2023·山东临沂·中考真题）一个对角线长分别为和的菱形，这个菱形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：菱形的面积为， 故答案为：． 37．（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知等边，，为中点．以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．过点作交射线于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：等边， 是中点，， 是中点， ， 是等边三角形 ， 由尺规作图可知平分， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：等边，， ， ，                              四边形是菱形， ， ， ， ， ． 38．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，．    (1)如图①，求证； (2)如图②，若，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∵， ∴．    39．（2023·江苏·中考真题）对于平面内的一个四边形，若存在点，使得该四边形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形中，对角线、相交于点，则点是矩形的一个“旋点”．    (1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形的边长是_______； (2)如图1，四边形为“可旋四边形”，边的中点是四边形的一个“旋点”．求的度数； (3)如图2，在四边形中，，与不平行．四边形是否为“可旋四边形”？请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)是 【详解】（1）解：∵菱形为“可旋四边形”， 则菱形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合， 即， 则菱形为正方形， ∵菱形的面积为， ∴菱形的边长是． 故答案为：． （2）解：连接，如图：    ∵四边形为“可旋四边形”，且点是四边形的一个“旋点”， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴． （3）解：四边形是“可旋四边形”；理由如下： 分别作，的垂直平分线，交于点，连接，，，，如图：    ∵点在线段和线段的垂直平分线上， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 则， 即， ∴四边形是“可旋四边形”． 试卷第36页，共38页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 菱形性质与判断类型题精练 知识点1．菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （2）菱形的性质： 1. 菱形具有平行四边形的所有性质； 2、菱形的四条边都相等； 几何描述：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD 3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。 几何描述：∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD,AC平分∠BAD, CA平分∠BCD，BD平分∠CBA，DB平分∠ADC 3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。 知识点2．菱形的判定 1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 2、四条边相等的四边形是菱形。 3、一组邻边相等的平行四边形是菱形。 知识点3．计算菱形的面积 菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是： 题型一：应用菱形的性质进行计算 1．如图，在菱形中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形为平行四边形，四边形为菱形，与交于点，，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，菱形中，，过点作于点，并交于点，过点作于点，若，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 4．如图，在菱形中，为对角线的交点， ，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，，，对角线与相交于点．将边沿方向平移到，连接．当点是的中点时，四边形的面积为 ． 6．如图所示，菱形的对角线相交于点，，垂足为．若则的长为 ． 题型二：应用菱形的性质进行证明 7．（2024·河北唐山·二模）已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（  ） A． B．C． D． 8．证明命题“菱形的一条对角线平分这一组对角”． 已知：如图3，是菱形的一条对角线． 求证：，． 证明：∵四边形是菱形， …， ∴，． 以下是“…”处排乱的证明过程：①∴；②∵；③∴，．正确的证明顺序是（    ）    A．①②③ B．③①② C．②①③ D．③②① 9．如图，四边形是菱形，于点，于点．求证：．    10．（2024·浙江温州·二模）如图，在菱形中，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．如图，在菱形中，点是的中点． (1)请仅用无刻度的直尺作图，作出边的中点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，点是的中点，连接，若的面积为3，求菱形的面积． 题型三：菱形的判定与证明 12．如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 13．已知四边形是平行四边形，则下列结论错误的是（    ） A．当时，它是矩形 B．一定成立 C． D．当时，它是菱形 14．如图，已知，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点、； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点； （3）分别连接，            则可以直接判定四边形是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 15．已知：在四边形中，，如图，求证，四边形是菱形． 证明：，， 四边形是平行四边形， 又…………， 四边形是菱形 在以上证明过程中，“…………”可以表示的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，在平行四边形中，对角线与交于点． （1）添加一个条件 ，则可判定四边形是菱形； （2）若，，则与的周长之差为 ． 17．将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为______（两张纸条不完全重合）． 18．如图，在四边形中，，平分，，为中点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的面积． 题型四：菱形的性质与判定的综合 19．如图，在矩形中，，，，边上各有一点，，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．3 20．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为 ． 21．如图所示，四边形是矩形，过其两对角线的交点且与、的延长线分别交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，那么四边形能是菱形吗？若能，请求出此时的大小；若不能，请说明理由． 22．如图1，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接    (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，若交于点，且，，求菱形的边长． 23．如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，，求的度数． 24．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，，平分，交于点，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为16，，求的大小．    25．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：≌； (2)证明四边形是菱形； (3)若，，求菱形的面积． 26．如图，边长为3的菱形中，，点是对角线上任意一点（不与、重合），以和为边作平行四边形，则的最小值为 ． 27．如图，在中，，是的中点，于点，过作的平行线交的延长线于点，延长至点，使，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 28．如图，平行四边形的两条对角线与相交于点，，是线段上的两点，且，连接，，，   (1)求证：四边形是平行四边形． (2)从下列条件：①平分，②，③中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形为菱形．我选的是 （请填写序号），并证明． 29．如图，平行四边形中，，点为的中点，连接. (1)过点作，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形为菱形； (3)若平行四边形的周长为18，，求四边形的面积. 30．如图，在中，对角线、相交于点，，在线段上从点以的速度运动，点在线段上从点以的速度运动，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)若点、同时运动，当为何值时，四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，当为何值时，四边形是菱形？ (3)在（1）的条件下，四边形还可能是矩形吗？为什么？ 31．如图，已知菱形中，过中点作，交对角线于点，交的延长线于点．连接，若，，则的长是（    ） A． B． C．4 D． 32．折叠问题是我们常见的数学问题，数学活动课上，同学们以“矩形的折叠“为主题展开了数学活动．他们发现虽然折叠的形式多样，错综复杂，但一定要把握它的两大特点： ① 折叠前后折痕两侧图形全等；② 折叠前后对应点的连线被折痕所在的直线垂直平分． [尝试感悟]如图1，将矩形纸片折叠，使得点与点重合，折痕与边、分别交于、，再将矩形纸片展开，连接、，折痕与对角线相交于点．猜想： 四边形是变形．    （1）请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠，使得点与点重合， ∴_______，∴， ∵四边形是矩形，∴， ∴，又∵， ∴， ∴_________， 又∵，∴四边形是平行四边形， ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴_______，∴平行四边形是菱形． 【操作发现】同学们再次折叠矩形纸片，将点与点重合改成点落在对角线上，点的对应点记为点，折痕与边，分别交于、．（如图2）．发现：折痕的长度始终保持不变．    （2）请在，的条件下，求折痕的长度． 【探索研究】同学们合作交流后又有两个发现： （3）① 当与满足一定的关系时，始终有．请写出与满足的关系式，并说明理由； ② 折痕在某一位置时，能使、、三点共线．请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出折痕（保留作图的痕迹，不写作法）．          33．【问题探究】 （1）如图，已知点与点关于对称，则________；（填“”“”或“”） （2）如图，在菱形中，点是上的点，连接，将沿翻折得到，点的对应点恰好落在边上，延长，交的延长线于点．若菱形的边长为，，求的长； 【问题解决】 （3）如图，某地有一块形如平行四边形的空地，已知，，．园林规划局计划在这片空地上开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．根据规划要求，点在线段上，点在线段上，且点与点关于对称，点在线段上，，求栅栏的长（即四边形的周长）． 34．（2023·湖南·中考真题）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 35．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则的值为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 36．（2023·山东临沂·中考真题）一个对角线长分别为和的菱形，这个菱形的面积为 ． 37．（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知等边，，为中点．以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．过点作交射线于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的面积． 38．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，．    (1)如图①，求证； (2)如图②，若，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等． 39．（2023·江苏·中考真题）对于平面内的一个四边形，若存在点，使得该四边形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形中，对角线、相交于点，则点是矩形的一个“旋点”．    (1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形的边长是_______； (2)如图1，四边形为“可旋四边形”，边的中点是四边形的一个“旋点”．求的度数； (3)如图2，在四边形中，，与不平行．四边形是否为“可旋四边形”？请说明理由． 试卷第36页，共38页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$