专题十 菱形-2023年数学八年级暑假培训专题复习

数学八年级下暑假培优专题训练 专题十、菱形 【专题导航】 目录 【考点一 利用菱形的判定性质求角度】.....................................1 【考点二 利用菱形的判定性质求线段长度】.................................4 【考点三 利用菱形的判定性质求面积】.....................................6 【考点四 利用菱形的判定性质求最值】.....................................7 【考点五 利用菱形的判定性质证明】.......................................9 【聚焦考点】 性质： 1.在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.菱形具有平行四边形的一切性质； 3.菱形的四条边都相等； 4.菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线分别平分一组对角; 5.菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线，菱形还是中心对称图形; 6.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半；当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算  方法计算菱形面积S=底×高 判定： 1. 定义：在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4. 四条边都相等的四边形是菱形 【典例剖析1】 【考点一 利用菱形的判定性质求角度】 【典例1-1】如图1，在四边形中，已知，和均为锐角，点P是对角线上一点交于点Q，交于S，四边形是平行四边形．    (1)当点P与点B重合时，图1变为图2，若，求证． (2)对于图1，若四边形也是平行四边形，此时，你能推出四边形还应满足什么条件？ 【典例1-2】如图，在中，对角线，相交于点O，E为的中点，连接，． (1)实践与操作：利用尺规在线段上作出点F，使得四边形为平行四边形，连接，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)应用与求解：若，求的长． 【典例1-3】如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求： (1)的度数． (2)的度数． 针对训练1 【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF． (1)求证：四边形EBFD为菱形； (2)若，，求∠ABE的度数． 【变式1-2】阅读下列材料，并完成相应的学习任务： 一次有意义的动手实践活动——在格点图中巧作角平分线 实践背景 在一次动手实践课上，老师提出如下问题：在如图1所示由边长为1的小正方形组成的格点图中，点，，都在小正方形的顶点处，仅用无刻度的直尺作出的角平分线． 成果展示 小明、小亮展示了如下作法： 小明：如图2，在格点图中取格点，．连接，交于点．作出射线． ∵四边形是矩形，∴（依据1）． ∵，∴平分． 小亮：如图3，在格点图中取格点．连接，与小正方形的边交于点．则． ∵，． ∴（依据2）． ∴，即平分． 学习任务： (1)实践反思： ①请填写出上述材料中的依据1和依据2． 依据1：______；依据2：______． ②请根据小亮的作法，证明． (2)创新再探 请你根据实践背景问题要求，采用不同于小明和小亮的作法，描出作图过程中的所取得的点，作出的角平分线（不写作法，不需要说明理由）． 【变式1-3】如图，在△ABC中． (1)在边BC上求作一点D，使点D到AB、AC的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在平面内把△ABC沿BC翻折，翻折后A点的对应点标为点，连接，求证：点D也在线段上． 【典例剖析2】 【考点二 利用菱形的判定性质求线段长度】 【典例2-1】如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【典例2-2】已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点，连接，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【典例2-3】如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，．    (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，，求的值． 针对训练2 【变式2-1】4．如图，在中，，点D为的中点，连接，过点C作，且，连接，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，当，时，求的长． 【变式2-2】如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．    (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，则的长为______ 【典例剖析3】 【考点三 利用菱形的判定性质求面积】 【典例3-1】如图，矩形的对角线、相交于点