暑假作业03 平行四边形的性质与判定（5个知识点+7个题型+创新题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 平行四边形的性质与判定 【知识点1 平行四边形的概念】 1.定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.表示方法 平行四边形通常用符号“▱”表示。以平行四边形ABCD为例，记作“▱ABCD”，其中A、B、C、D为平行四边形的四个顶点，且顶点字母要按顺时针或逆时针方向依次排列。 【知识点2 平行四边形的性质】 性质 数学语言 图示 边 平行四边形的对边相等 四边形是平行四边形， 角 平行四边形的对角相等 四边形是平行四边形， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形是平行四边形， 【拓展延伸】 （1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答. （2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据. （3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形. （4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形面积的四分之一；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值. 【规律方法】 （1）平行四边形的邻角互补； （2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积. 【知识点3 两条平行线之间的距离】 1.定义：两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 2.性质： ①如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等. ②两条平行线之间的任意两条平行的线段长都相等. 【知识点4 平行四边形的判定】 判定方法 数学语言 图形 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形ABCD是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ， 四边形ABCD是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. 【知识点5 三角形的中位线及其定理】 1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 平行四边形的性质】 1．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，若∠B＝50°，则∠EAF的度数是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 2．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（　　） A．3 B．2 C．1 D．1.5 3．在平面直角坐标系中，▱PQMN的三个顶点坐标分别是P（﹣5，﹣10），Q（15，﹣3），M（6，8），则N点坐标是（　　） A．（﹣15，5） B．（﹣14，1） C．（﹣14，5） D．（﹣15，1） 4．如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点F，B为圆心，大于BF长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 5．如图，▱ABCD的对角线交于点O，E为BC的中点，F为的EC中点，若OE⊥AC，OF⊥BD，OE＝2，则OF的长为（　　） A．2 B． C． D． 6．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交CD于点E，过点C作CF⊥BE交BE于点F，G是AB的中点，连接AE，GF，若AE＝4，则GF＝（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 7．如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　） A．12 B．16 C．24 D．36 8．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝a，S△BQC＝b，S▱ABCD＝c，则阴影部分的面积为（　　） A．a+b B． C．c﹣2a﹣b D．2a+b 【题型2 平行四边形的判定】 9．已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，从下列四个条件中选择两个，则选项中的组合能使四边形ABCD是平行四边形的是（　　） ①AB＝CD；②AC＝2OC；③∠BAD＝∠BCD；④BO＝DO． A．①② B．②④ C．①③ D．①④ 10．下面各项不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD∥BC C．∠B＝∠D，∠A＝∠C D．∠B+∠A＝180°，∠B+∠C＝180° 11．如图，平行四边形ABCD对角线交于点O，点M，N，P，F分别在ABCD的四条边上（且不与顶点重合）．现有甲、乙、丙三种方案，则能判定四边形MNPF是平行四边形的是（　　） 甲：使AF＝CN，AM＝CP； 乙：使MP，NF均经过点O； 丙：使NF经过点O，且AM＝DP． A．只有甲、乙 B．只有乙、丙 C．只有甲、丙 D．甲、乙、丙 12．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠BCF；④∠ABE＝∠CDF；其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是　 　 ．（只填序号） 【题型3 三角形的中位线定理】 14．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝70°，则∠GEF的大小是（　　） A．25° B．30° C．20° D．35° 15．如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE，AB＝4，则AC的值为（　　） A．6 B． C．7 D．8 16．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 17．【三角形中位线定理】 已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系； 【应用】 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数； 【拓展】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG． 求证：BD＝AC． 【题型4 平行四边形的判定与性质】 18．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．求BD的长． 19．已知，如图，AD，BE分别是△ABC的BC和AC边上的中线，过C作CF∥AB，交BE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：四边形ABCF是平行四边形； （2）连接DE，若DE＝EC＝3，∠AFC＝45°，求线段BF的长． 20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，DE＝FE． （1）求证：四边形AFCD是平行四边形； （2）若，BC＝6CE＝12，BC⊥AC，求BF的长． 21．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形； （3）若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 22．如图，点O是△ABC内一点，连接OA，OB，并将OA，OB，BC，AC的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形DEFH． （1）求证：四边形DEFH是平行四边形； （2）如果∠OAB＝45°，∠ABO＝30°，OB＝8，求DE的长． 【题型5 平行四边形中多结论问题】 23．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BDBE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BCF≌△DCE，其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 24．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BD分别交CE、AF于G、H，试判断下列结论：①△CBE≌△ADF；②CG＝AH；③；④S△CBG＝2S△FHD．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 25．如图，在平行四边ABCD中，P是AD上的一点，连接PB并延长，使BE＝BP，连接PC并延长，使CF＝CP，连接EF，M为EF的中点，连接AE、EC、DM，下列结论中：①∠BAE＝∠CDM，②四边形AEMD是平行四边形，③若AD＝BP，则EC⊥PF，④S四边形BEFC＝3S△PBC，其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6 平行四变形中的动点问题】 26．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（　　） A． B．3 C．3或 D．或 27．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（　　） A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s 28．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，AE＝5cm，BE＝13cm，∠EBD＝∠DBC，点F是BC的中点，若点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AD向点E运动，点N同时以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向点F运动，点P运动到点E时停止运动，点N也同时停止运动，当点P运动 　 　 s时，以点P，F，N，E为顶点的四边形是平行四边形． 【题型7 平行四边形中求最值问题】 29．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝6，点H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 30．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，点P是BC边上的动点，连接AP，DP，E是AD的中点，F是PD的中点，则EF的最小值是 　 　 ． 31．在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且∠DOC＝120°，AC＝6，BD＝4，则AD+BC的最小值是 　 　 ． 32．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC上一点，∠DAC＝30°，E为射线AD上一动点，四边形BCFE为平行四边形，连接BF，则BF的最小值为（　　） A． B． C． D． 33．如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是（　　） 甲方案：在BD上取BN＝MD，连接AN、AM、CN、CM； 乙方案：作AN、CM分别平分∠BAD，∠DCB，连接AM，CN； 丙方案：作AN⊥BD于点N，CM⊥BD于点M．连接AM，CN． A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 34．平行四边形ABCD中，AB＜AD，要求用尺规作图的方法在边BC、AD上分别找点M、N，使得四边形BMDN也为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙都对 B．甲对、乙不对 C．甲不对、乙对 D．甲、乙都不对 35．定义：作平行四边形的一组邻角的平分线，这两条角平分线与这组邻角的公共边组成的三角形为该平行四边形的“伴侣三角形”．如图，△PBC为▱ABCD的“伴侣三角形”，AB＝m，BC＝4，连结AP并延长交直线CD于点Q．若点Q落在线段CD上（包括端点C，D），则m的取值范围是 　 ． 36．定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形ABCD，点E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，△EFG为等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是“等对边四边形”； （2）若∠BAC+∠BDC＝180°，求∠DBC的度数． 37．如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案 （1）正确的方案有 　 　 种； （2）针对上述三种作图方案，请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程． 38．在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线OQ与图形W的一个交点为M，射线PQ与图形W的一个交点为N，且满足四边形OPMN为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段ST的“平心点”．已知点：A（2，2），B（6，2），C（2，0），若点中，是点C关于直线AB“平心点”的有 　 　 ；若点C关于线段AB的“平心点”J的横坐标为a时，则a的取值范围 　 　 ． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 平行四边形的性质与判定 【知识点1 平行四边形的概念】 1.定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.表示方法 平行四边形通常用符号“▱”表示。以平行四边形ABCD为例，记作“▱ABCD”，其中A、B、C、D为平行四边形的四个顶点，且顶点字母要按顺时针或逆时针方向依次排列。 【知识点2 平行四边形的性质】 性质 数学语言 图示 边 平行四边形的对边相等 四边形是平行四边形， 角 平行四边形的对角相等 四边形是平行四边形， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形是平行四边形， 【拓展延伸】 （1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答. （2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据. （3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形. （4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形面积的四分之一；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值. 【规律方法】 （1）平行四边形的邻角互补； （2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积. 【知识点3 两条平行线之间的距离】 1.定义：两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 2.性质： ①如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等. ②两条平行线之间的任意两条平行的线段长都相等. 【知识点4 平行四边形的判定】 判定方法 数学语言 图形 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形ABCD是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ， 四边形ABCD是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. 【知识点5 三角形的中位线及其定理】 1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 平行四边形的性质】 1．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，若∠B＝50°，则∠EAF的度数是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【分析】先根据平行四边形的性质求出∠C＝130°，再由垂直的定义得到∠AEC＝∠AFC＝90°，由此即可利用四边形内角和定理求出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵∠B＝50°， ∴∠C＝180°﹣∠B＝130°， ∵AE⊥BC、AF⊥CD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴∠FAE＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠C＝50°， 故选：B． 2．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（　　） A．3 B．2 C．1 D．1.5 【分析】由平行四边形的性质推出CD∥AB，CD＝AB＝7，DO＝OB，由平行线的性质推出∠APD＝∠CDP，由角平分线定义得到∠ADP＝∠CDP，因此∠ADP＝∠APD，推出AP＝AD＝4，求出PB＝AB﹣AP＝7﹣4＝3，由三角形中位线定理得到OEPB＝1.5． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB＝7，DO＝OB， ∴∠APD＝∠CDP， ∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠CDP， ∴∠ADP＝∠APD， ∴AP＝AD＝4， ∴PB＝AB﹣AP＝7﹣4＝3， ∵O是BD中点，E是PD中点， ∴OE是△DPB的中位线， ∴OEPB＝1.5． 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，▱PQMN的三个顶点坐标分别是P（﹣5，﹣10），Q（15，﹣3），M（6，8），则N点坐标是（　　） A．（﹣15，5） B．（﹣14，1） C．（﹣14，5） D．（﹣15，1） 【分析】设N（x，y），根据平行四边形的性质结合P（﹣5，﹣10），Q（15，﹣3），M（6，8），得出|x﹣6|＝|﹣5﹣15|，|y+10|＝|8+3|，结合N点在第二象限得出得出x，y的值即可推出结果． 【解答】解：设N（x，y）， ∵四边形PQMN是平行四边形，P（﹣5，﹣10），Q（15，﹣3），M（6，8）， ∴|x﹣6|＝|﹣5﹣15|，|y+10|＝|8+3|， ∵N点在第二象限， ∴x＜0，y＞0， ∴x＝﹣14，y＝1， ∴N（﹣14，1）， 故选：B． 4．如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点F，B为圆心，大于BF长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】设AE交BF于点O．证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题． 【解答】解：如图，设AE交BF于点O． 由作图可知：AB＝AF，∠FAE＝∠BAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE＝AF， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是菱形， ∴OA＝OE，OB＝OF＝3， 在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°， ∴OA4， ∴AE＝2OA＝8． 故选：C． 5．如图，▱ABCD的对角线交于点O，E为BC的中点，F为的EC中点，若OE⊥AC，OF⊥BD，OE＝2，则OF的长为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】令OF＝x，求出OD2，OB2，构建方程求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AB＝CD，OB＝OD，AB∥CD， ∵E为BC中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴CD＝2OE＝4，OE∥AB， ∴OE∥CD， ∵OE⊥AC， ∴DC⊥AC， ∵OE⊥OC于点O，点F是EC中点， ∴OFEC， ∴OF＝EF＝FC， 令OF＝x， ∴EC＝2x， ∴BF＝BE+EF＝2x+x＝3x， ∵OC2＝EC2﹣OE2＝4x2﹣4， ∴OD2＝CD2+OC2＝42+4x2﹣4＝4x2+12， ∵OB2＝BF2﹣OF2＝8x2， ∴4x2+12＝8x2， x． 故选：D． 6．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交CD于点E，过点C作CF⊥BE交BE于点F，G是AB的中点，连接AE，GF，若AE＝4，则GF＝（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 【分析】根据平行四边形的性质求出AB∥CD，根据平行线的性质、角平分线的定义求出∠CEB＝∠CBE，根据等腰三角形的判定与性质求出BF＝EF，再根据三角形中位线的判定与性质求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠CEB＝∠CBE， ∴CB＝CE， ∵CF⊥BE， ∴BF＝EF， ∵G是AB的中点， ∴GF是△ABE的中位线， ∴GFAE， ∵AE＝4， ∴GF＝2， 故选：B． 7．如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　） A．12 B．16 C．24 D．36 【分析】由AD∥BC，AB∥CD，得∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠DCE，∠ABC+∠DCB＝180°，而∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠DCE＝∠BCE∠DCB，所以∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE，∠CBE+∠BCE＝90°，则∠BEC＝90°，BC＝AD＝6，所以CE2+BE2＝BC2＝36，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3， ∴DC＝AB＝3，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠DCE，∠ABC+∠DCB＝180°， ∵∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，点E恰好在AD边上， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠DCE＝∠BCE∠DCB， ∴∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE，∠CBE+∠BCE（∠ABC+∠DCB）＝90°， ∴AE＝AB＝3，DE＝DC＝3，∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝90°， ∴BC＝AD＝AE+DE＝3+3＝6， ∴CE2+BE2＝BC2＝62＝36， 故选：D． 8．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝a，S△BQC＝b，S▱ABCD＝c，则阴影部分的面积为（　　） A．a+b B． C．c﹣2a﹣b D．2a+b 【分析】根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形EDC的面积，连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFQ＝S△BCQ，S△EFD＝S△ADF，所以S△EFG＝S△BCQ，S△EFP＝S△ADP，因此可以推出四边形EPFQ的面积就是S△APD+S△BQC．再根据面积差可得答案． 【解答】解：连接E、F两点，过点E作EM⊥DC于点M， ∵S△DEC，S▱ABCD＝DC•EM＝c， ∴S△DECc， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC＝S△BCF， ∴S△EFQ＝S△BCQ， 同理：S△EFD＝S△ADF， ∴S△EFP＝S△ADP， ∵S△APD＝a，S△BQC＝b， ∴S四边形EPFQ＝a+b， 故阴影部分的面积为＝S△DEC﹣S四边形EPFQc﹣a﹣b． 故选：B． 【题型2 平行四边形的判定】 9．已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，从下列四个条件中选择两个，则选项中的组合能使四边形ABCD是平行四边形的是（　　） ①AB＝CD；②AC＝2OC；③∠BAD＝∠BCD；④BO＝DO． A．①② B．②④ C．①③ D．①④ 【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可． 【解答】解：①②不能证明△AOB≌△COD，不能证明AB∥CD，故不能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意； ②④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形，故B符合题意； ①③不能证明△ABD≌△CDB，进而得到AD＝CB，故不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意； ①④不能证明△AOB≌△COD，不能证明AB∥CD，故不能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意． 故选：B． 10．下面各项不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD∥BC C．∠B＝∠D，∠A＝∠C D．∠B+∠A＝180°，∠B+∠C＝180° 【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判断四边形ABCD是平行四边形，可能是等腰梯形，本选项符合题意； B、由AB∥CD，AD∥BC，能判断四边形ABCD是平行四边形，本选项不符合题意； C，由∠B＝∠D，∠A＝∠C，能判断四边形ABCD是平行四边形，本选项不符合题意； D、由∠B+∠A＝180°，∠B+∠C＝180°，推出AB∥CD，AD∥BC，能判断四边形ABCD是平行四边形，本选项不符合题意； 故选：A． 11．如图，平行四边形ABCD对角线交于点O，点M，N，P，F分别在ABCD的四条边上（且不与顶点重合）．现有甲、乙、丙三种方案，则能判定四边形MNPF是平行四边形的是（　　） 甲：使AF＝CN，AM＝CP； 乙：使MP，NF均经过点O； 丙：使NF经过点O，且AM＝DP． A．只有甲、乙 B．只有乙、丙 C．只有甲、丙 D．甲、乙、丙 【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②③不能证明对角线互相平分，只有①可以，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC，∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， 甲∵AF＝CN，AM＝CP， ∴DF＝BN，BM＝DP， ∴△AMF≌△CPN（SAS），△BMN≌△DPF（SAS）， ∴MF＝NP，MN＝PF， 则四边形MNPF是平行四边形； 故甲能判定四边形MNPF是平行四边形； 乙∵▱ABCD的对角线交于点O，MP，NF均经过点O， ∴OF＝ON，OP＝OM， 则四边形MNPF是平行四边形； 故乙能判定四边形MNPF是平行四边形； 丙NF经过点O，AM＝PD．F，N的位置未知， 故丙不能判定四边形MNPF是平行四边形； 综上所述：能判定四边形MNPF是平行四边形的有甲乙． 故选：A． 12．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题． 【解答】解：∵只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选：B． 13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠BCF；④∠ABE＝∠CDF；其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是　②③　 ．（只填序号） 【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②③不能证明对角线互相平分，只有①④可以，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC， ①OE＝OF， 则四边形DEBF是平行四边形； 故①能判定四边形DEBF是平行四边形； ②DE＝BF时，不能证明OE＝OF， 故②不能判定四边形DEBF是平行四边形； ③∠ADE＝∠BCF时，不能证明OE＝OF， 故③不能判定四边形DEBF是平行四边形； ④∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF， 又∵OB＝OD， ∴四边形DEBF是平行四边形； 故④能判定四边形DEBF是平行四边形； 故答案为：②③． 【题型3 三角形的中位线定理】 14．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝70°，则∠GEF的大小是（　　） A．25° B．30° C．20° D．35° 【分析】根据三角形中位线定理得到EGAB，EG∥AB，FGCD，FG∥CD，根据平行线的性质求出∠EGF＝140°，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵E，G分别是AD，BD的中点， ∴EG是△ABD的中位线， ∴EGAB，EG∥AB， ∴∠EGD＝∠ABD＝30°， ∵F，G分别是BC，BD的中点， ∴FG是△BCD的中位线， ∴FGCD，FG∥CD， ∴∠DGF＝180°﹣∠BDC＝110°， ∴∠EGF＝30°+110°＝140°， ∵AB＝CD， ∴EG＝FG， ∴∠GEF＝∠GFE（180°﹣140°）＝20°， 故选：C． 15．如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE，AB＝4，则AC的值为（　　） A．6 B． C．7 D．8 【分析】延长BD交AC于F，可证得△ABD≌△AFD，从而AF＝AB＝4，可证得DE是△BCF的中位线，从而得出CF的值，进一步可得出结果． 【解答】解：如图， 延长BD，交AC于F， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠ADF＝90°， 在△ABD和△AFD中， ， ∴△ABD≌△AFD（ASA）， ∴BD＝DF，AF＝AB＝4， ∵BE＝CE， ∴CF＝2DE＝3， ∴AC＝AF+CF＝4+3＝7， 故答案为：C． 16．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】连接BE并延长交AC的延长线于点F，易证明△ABF是等腰三角形，则得AF的长，点E是BF的中点，求得CF的长，从而DE是中位线，即可求得DE的长． 【解答】解：连接BE并延长交AC的延长线于点F，如图， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝∠AEF＝90°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠FAE， ∴∠ABE＝∠AFE， ∴△ABF是等腰三角形， ∴AF＝AB＝5，点E是BF的中点， ∴CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2，DE是△BCF的中位线， ∴． 故选：A． 17．【三角形中位线定理】 已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系； 【应用】 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数； 【拓展】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG． 求证：BD＝AC． 【分析】【三角形中位线定理】根据三角形中位线定理即可得到结论； 【应用】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可； 【拓展】取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH∥AC且MHAC，NH∥BD且NHBD，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【解答】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DEBC； 理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC； 【应用】连接BD，如图所示， ∵E、F分别是边AB、AD的中点， ∴EF∥BD，BD＝2EF＝4， ∴∠ADB＝∠AFE＝45°， ∵BC＝5，CD＝3， ∴BD2+CD2＝25，BC2＝25， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°； 【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH． ∵M、H分别是AD、DC的中点， ∴MH是△ADC的中位线， ∴MH∥AC且MHAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）， 同理可得NH∥BD且NHBD． ∵EF＝EG， ∴∠EFG＝∠EGF， ∵MH∥AC，NH∥BD， ∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM， ∴∠HMN＝∠HNM， ∴MH＝NH， ∴AC＝BD． 【题型4 平行四边形的判定与性质】 18．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．求BD的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，即可得出结论； （2）由勾股定理得AC＝4，则OAAC＝2，再由勾股定理求出OB，进而解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵E，F分别是OB，OD的中点， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴AC， ∴OAAC＝2， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB， ∴BD＝2OB＝2． 19．已知，如图，AD，BE分别是△ABC的BC和AC边上的中线，过C作CF∥AB，交BE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：四边形ABCF是平行四边形； （2）连接DE，若DE＝EC＝3，∠AFC＝45°，求线段BF的长． 【分析】（1）利用AAS证明△ABE≌△CFE，根据全等三角形的性质求出BE＝FE，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得证； （2）根据三角形中位线的判定与性质求出DEAB，DE∥AB，结合平行线的性质、等腰三角形的性质求出∠EDC＝∠ECD＝45°，AC＝AB＝6，则∠BAC＝90°，再根据勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠ABE＝∠CFE，∠BAE＝∠FCE， ∵BE是△ABC的AC边上的中线， ∴AE＝CE， 在△ABE和△CFE中， ， ∴△ABE≌△CFE（AAS）， ∴BE＝FE， 又∵AE＝CE， ∴四边形ABCF是平行四边形； （2）解：如图， ∵四边形ABCF是平行四边形， ∴∠ABC＝∠AFC＝45°，BE＝EFBF， ∵AE＝CE，AD是△ABC的BC边上的中线， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB，DE∥AB， ∴∠EDC＝∠ABC＝45°， ∵DE＝EC＝AE＝3， ∴∠EDC＝∠ECD＝45°，AC＝AB＝6， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴BE3， ∴BF＝2BE＝6． 20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，DE＝FE． （1）求证：四边形AFCD是平行四边形； （2）若，BC＝6CE＝12，BC⊥AC，求BF的长． 【分析】（1）由AB∥CD，得∠EDC＝∠EFA，∠ECD＝∠EAF，而DE＝FE，可根据“AAS”证明△ECD≌△EAF，得CD＝AF，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFCD是平行四边形； （2）由BC＝6CE＝12，得CE＝2，由平行四边形的性质得AE＝CE＝2，AF＝CD＝2，所以AC＝4，由勾股定理求得AB4，则BF＝AB﹣AF＝2． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠EDC＝∠EFA，∠ECD＝∠EAF， 在△ECD和△EAF中， ， ∴△ECD≌△EAF（AAS）， ∴CD＝AF， ∵CD∥AF，CD＝AF， ∴四边形AFCD是平行四边形． （2）解：∵BC＝6CE＝12， ∴CE＝2， ∵四边形AFCD是平行四边形， ∴AE＝CE＝2，AF＝CD＝2， ∴AC＝2AE＝4， ∵BC⊥AC， ∴∠ACB＝90°， ∴AB4， ∴BF＝AB﹣AF＝422， ∴BF的长是2． 21．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形； （3）若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠AEB，根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠DAE，证明∠BAE＝∠AEB，得出BE＝AB，即可证明结论； （2）证明△ADF≌△ECF（ASA），得出DF＝CF，根据AF＝EF，即可证明结论； （3）证明△ABE是等边三角形，得出AB＝AE＝4，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明△ADF≌△ECF，根据平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积求出结果即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB， ∴BE＝CD； （2）证明：由（1）知BE＝AB， ∵BF平分∠ABE， ∴AF＝EF， 在△ADF和△ECF中， ， ∴△ADF≌△ECF（ASA）， ∴DF＝CF， 又∵AF＝EF， ∴四边形ACED是平行四边形； （3）解：由（1）知BE＝AB， 又∵∠BEA＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝AE＝4， ∵BF⊥AE， ∴， 在Rt△ABF中，由勾股定理得，， ∵∠DAE＝∠AEB，AF＝EF，∠AFD＝∠CFE， ∴△ADF≌△ECF， ∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积． 22．如图，点O是△ABC内一点，连接OA，OB，并将OA，OB，BC，AC的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形DEFH． （1）求证：四边形DEFH是平行四边形； （2）如果∠OAB＝45°，∠ABO＝30°，OB＝8，求DE的长． 【分析】（1）由D，E，F，H分别是OA，OB、BC、AC的中点，根据三角形中位线定理得DE∥AB，且DEAB，HF∥AB，且HFAB，则DE∥HF，且DE＝HF，即可证明四边形DEFH是平行四边形； （2）作OG⊥AB于点G，因为∠OAB＝45°，∠ABO＝30°，OB＝8，所以∠AOG＝∠OAB＝45°，OGOB＝4，则AG＝OG＝4，BG4，求得AB＝4+4，则DEAB＝2+2． 【解答】（1）证明：∵D，E，F，H分别是OA，OB、BC、AC的中点， ∴DE∥AB，且DEAB，HF∥AB，且HFAB， ∴DE∥HF，且DE＝HF， ∴四边形DEFH是平行四边形． （2）解：作OG⊥AB于点G，则∠AGO＝∠BGO＝90°， ∵∠OAB＝45°，∠ABO＝30°，OB＝8， ∴∠AOG＝∠OAB＝45°，OGOB＝4， ∴AG＝OG＝4，BG4， ∴AB＝AG+BG＝4+4， ∴DEAB（4+4）＝2+2， ∴DE的长是2+2． 【题型5 平行四边形中多结论问题】 23．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BDBE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BCF≌△DCE，其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】①由等腰直角三角形的性质可求BDBE； ②由余角的性质和平行四边形的性质可求∠A＝∠C＝∠BHE； ③由“ASA”可证△BHE≌△DCE，可得BH＝CD； ④在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等，则△BCF与△DCE不全等． 【解答】解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC， ∴∠DBE＝∠BDE＝45°， ∴BE＝DE， ∴BDBE，故①正确； ∵DE⊥BC，BF⊥CD， ∴∠BEH＝∠DEC＝90°， ∴∠BHE+∠HBE＝90°＝∠HBE+∠C， ∴∠C＝∠BHE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C＝∠BHE，故②正确； ∵∠C+∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠HBE， 在△BHE和△DCE中， ， ∴△BHE≌△DCE（ASA）， ∴BH＝CD＝AB，故③正确， 在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等， ∴△BCF与△DCE不全等，故④错误． 故选：B． 24．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BD分别交CE、AF于G、H，试判断下列结论：①△CBE≌△ADF；②CG＝AH；③；④S△CBG＝2S△FHD．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平行四边形的性质得到BC＝AD，AB＝CD，∠CBE＝∠ADF，根据全等三角形的判定定理得到△CBE≌△ADF（SAS），故①正确；根据全等三角形的性质得到∠BCG＝∠DAH，CG＝AH，故②正确；根据平行四边形的性质得到CE∥AF，求得BGDG，故③正确；根据全等三角形的判定和性质得到S△CBG＝2S△BEG＝2S△FHD．故④正确． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，AB＝CD，∠CBE＝∠ADF， ∵E、F分别是边AB、CD的中点， ∴AE＝BEAB，DF＝CFCD， ∴BE＝DF， ∴△CBE≌△ADF（SAS），故①正确； ∴∠BCG＝∠DAH， ∵BC∥AD， ∴∠CBG＝∠ADH， ∴△BCG≌△DAH（ASA）， ∴CG＝AH，故②正确； ∵AE＝BEAB，DF＝CFCD， ∴AE＝CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴CE∥AF， ∴BG＝HG，DH＝HG， ∴BG＝HG＝DH， ∴BGDG，故③正确； ∵BE＝DF，∠EBG＝∠FDH，∠GEB＝∠HFD， ∴△BEG≌△DFH（SAS）， ∴EG＝FH， ∵FHCG， ∴EGCG， ∴S△CBG＝2S△BEG＝2S△FHD．故④正确， 故选：D． 25．如图，在平行四边ABCD中，P是AD上的一点，连接PB并延长，使BE＝BP，连接PC并延长，使CF＝CP，连接EF，M为EF的中点，连接AE、EC、DM，下列结论中：①∠BAE＝∠CDM，②四边形AEMD是平行四边形，③若AD＝BP，则EC⊥PF，④S四边形BEFC＝3S△PBC，其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由BE＝BP，CF＝CP，得BC∥EF，BCEF，因为EMEF，所以BC∥EM，且BC＝EM，而BC∥AD，BC＝AD，则EM∥AD，EM＝AD，所以四边形AEMD是平行四边形，可判断②正确；由∠BAE+∠BAD+∠ADM＝180°，得∠BAE＝180°﹣（∠BAD+∠ADM），由∠BAD+∠ADM+∠CDM＝180°，得∠CDM＝180°﹣（∠BAD+∠ADM），则∠BAE＝∠CDM，可判断①正确；由BC＝BP＝BE，得∠BCP＝∠BPC，∠BCE＝∠BEC，可证明∠PCE＝90°，则EC⊥PF，可判断③正确；由S△PBCS△PEC，S△PECS△PEF，得S△PBCS△PEF，S△四边形BEFC＝3S△PBC，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵BE＝BP，CF＝CP， ∴BC∥EF，BCEF， ∵M为EF的中点， ∴EMEF， ∴BC∥EM，且BC＝EM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD， ∴EM∥AD，EM＝AD， ∴四边形AEMD是平行四边形， 故②正确； ∵AE∥DM， ∴∠BAE+∠BAD+∠ADM＝180°， ∴∠BAE＝180°﹣（∠BAD+∠ADM）， ∵AB∥DC， ∴∠BAD+∠ADM+∠CDM＝180°， ∴∠CDM＝180°﹣（∠BAD+∠ADM）， ∴∠BAE＝∠CDM， 故①正确； ∵AD＝BP＝BE，BC＝AD， ∴BC＝BP＝BE， ∴∠BCP＝∠BPC，∠BCE＝∠BEC， ∵∠BCP+∠BPC+∠BCE+∠BEC＝∠BPC+∠BEC+∠PCE＝180°， ∴2（∠BCP+∠BCE）＝2∠PCE＝180°， ∴∠PCE＝90°， ∴EC⊥PF， 故③正确； ∵BPPE，CPPF， ∴S△PBCS△PEC，S△PECS△PEF， ∴S△PBCS△PEFS△PEF， ∴S△PEF＝4S△PBC， ∴S△四边形BEFC＝4S△PBC﹣S△PBC＝3S△PBC 故④正确， 故选：D． 【题型6 平行四变形中的动点问题】 26．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（　　） A． B．3 C．3或 D．或 【分析】分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题． 【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝9+3t﹣12，解得t， ②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝12﹣9﹣3t，解得t， 综上所述，t或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 故选：D． 27．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（　　） A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s 【分析】过点D作DG⊥AB于点G，由∠A＝45°，可得△ADG是等腰直角三角形，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，利用勾股定理得EH＝6cm，由题意可得AE＝2t cm，CF＝t cm，然后分两种情况列方程求出t的值即可． 【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm， 如图，过点D作DG⊥AB于点G， ∵∠A＝45°， ∴△ADG是等腰直角三角形， ∴AG＝DGAD＝8， 过点F作FH⊥AB于点H， 得矩形DGHF， ∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH， ∵EF＝10cm， ∴EH6cm， 由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm， ∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm， ∴2t﹣2＝22﹣t， 解得t＝8， 当F点在E点左侧时， 由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm， ∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm， ∴2t﹣14＝22﹣t， 解得t＝12， ∵点E到达点B时，两点同时停止运动， ∴2t≤22，解得t≤11． ∴t＝12不符合题意，舍去， ∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s， 故选：C． 28．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，AE＝5cm，BE＝13cm，∠EBD＝∠DBC，点F是BC的中点，若点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AD向点E运动，点N同时以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向点F运动，点P运动到点E时停止运动，点N也同时停止运动，当点P运动 　 　 s时，以点P，F，N，E为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】要使点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形，则需PE＝FN，据此先表示出PE、FN，结合题意可得PE＝5﹣t，FN＝2t﹣CF或EN＝CF﹣2t，据此可知需求得CF的长，由于F是BC的中点，可将答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ADB＝∠CBD． ∵∠EBD＝∠DBC， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴EB＝ED＝13cm． ∵AE＝5cm， ∴AD＝18cm． ∵点F是BC的中点， ∴CF＝BC＝AD＝9（cm）． 要使点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形，则PE＝FN即可． 设当点P运动t秒时，点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形， 根据题意得5﹣t＝9﹣2t或5﹣t＝2t﹣9， 解得t＝4或t． ∴当点P运动4秒或秒时，以P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：4或． 【题型7 平行四边形中求最值问题】 29．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝6，点H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 【分析】由三角形中位线定理可得EFAG，当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，连接AG，过点A作AN⊥BC于N， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝120°， ∴∠B＝60°， ∵AN⊥BC， ∴∠BAN＝30°， ∴BNAB＝2， ∴ANBN＝2， ∵E、F分别为AH、GH的中点， ∴EFAG， ∴当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值， ∴当点G与点N重合时，AG的最小值为2， ∴EF的最小值为， 故选：B． 30．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，点P是BC边上的动点，连接AP，DP，E是AD的中点，F是PD的中点，则EF的最小值是 　 　 ． 【分析】由三角形中位线定理可得EFAP，当AP⊥BC时，AP有最小值，即EF有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，过点A作AN⊥BC于N， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝120°， ∴∠B＝60°， ∵AN⊥BC， ∴∠BAN＝30°， ∴BNAB＝1， ∴AN， ∵E、F分别为AD、DP的中点， ∴EFAP， ∴当AP⊥BC时，AP有最小值，即EF有最小值， ∴当点P与点N重合时，AP的最小值为， ∴EF的最小值为． 故答案为：． 31．在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且∠DOC＝120°，AC＝6，BD＝4，则AD+BC的最小值是 　 　 ． 【分析】以DA、DB为邻边构造▱ADBM，再利用含30°的Rt△得AN＝3，CN＝3，再利用勾股定理得CM＝2．最后利用三角形三边关系计算即可． 【解答】解：以DA、DB为邻边构造▱ADBM，过C作CN⊥AM． ∴AM＝DB＝4，BM＝AD，∠NAC＝∠COB＝180°﹣∠DOC＝60°， ∴ANAC＝3， ∴CNAN＝3， ∴NM＝AM﹣AN＝1， ∴CM2． ∵BC+BM≥CM， ∴AD+BC＝BM+BC最小值＝2． 32．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC上一点，∠DAC＝30°，E为射线AD上一动点，四边形BCFE为平行四边形，连接BF，则BF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】延长BC到点G，使CG＝BD，作直线FG，作BH⊥FG于点H，由∠ACB＝90°，∠DAC＝30°，得AD＝2CD，则ACCD＝3，求得CD，则CG＝BD＝4，所以BG＝8，再证明四边形DGFE是平行四边形，则FG∥DE，可证明∠GBH＝30°，则GHBG＝4，而BG＝2GH，则BHGH＝4，所以BF的最小值为4，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长BC到点G，使CG＝BD，作直线FG，作BH⊥FG于点H， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∠DAC＝30°， ∴AD＝2CD， ∵ACCD＝3， ∴CD， ∴CG＝BD＝4， ∴BG＝BC+CG＝4+48， ∵四边形BCFE是平行四边形， ∴BC∥EF，BC＝EF， ∵DG∥EF，DG＝CG+CD＝BD+CD＝BC＝EF， ∴四边形DGFE是平行四边形， ∴FG∥DE， ∴点F在经过点G且与DE平行的直线上运动， ∵∠BHG＝90°，∠BGH＝∠ADG＝90°﹣∠DAC＝60°， ∴∠GBH＝90°﹣∠BGH＝30°， ∴GHBG（8）＝4， ∵BG＝2GH， ∴BHGH（4）＝4， ∵BF≥BH， ∴BF≥4， ∴BF的最小值为4， 故选：C． 33．如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是（　　） 甲方案：在BD上取BN＝MD，连接AN、AM、CN、CM； 乙方案：作AN、CM分别平分∠BAD，∠DCB，连接AM，CN； 丙方案：作AN⊥BD于点N，CM⊥BD于点M．连接AM，CN． A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，所以∠ABM＝∠CDN，由BN＝MD，推导出BM＝DN，则△ABM≌△CDN，所以AM＝CN，∠AMN＝∠CNM，则AM∥CN，所以四边形ANCM是平行四边形，可判断甲方案正确；由AD∥CB，得∠BAD＝∠DCB，而∠DAN∠BAD，∠BCM∠DCB，所以∠DAN＝∠BCM，可证明△DAN≌△BCM，得AN＝CM，∠AND＝∠CMB，则AN∥CM，所以四边形ANCM是平行四边形，可判断乙方案正确；由AB∥CD，得∠ABN＝∠CDM，由AN⊥BD于点N，CM⊥BD于点M，得AN∥CM，∠ANB＝∠CMD＝90°，可证明△ABN≌△CDM，得AN＝CM，所以四边形ANCM是平行四边形，可判断丙方案正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：甲方案：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABM＝∠CDN， ∵BN＝MD， ∴BN+MN＝MD+MN， ∴BM＝DN， 在△ABM和△CDN中， ， ∴△ABM≌△CDN（SAS）， ∴AM＝CN，∠AMN＝∠CNM， ∴AM∥CN， ∴四边形ANCM是平行四边形， 故甲方案正确； 乙方案：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝CB，∠BAD＝∠DCB， ∴∠ADN＝∠CBM， ∵AN、CM分别平分∠BAD，∠DCB， ∴∠DAN＝∠BAN∠BAD，∠BCM＝∠DCM∠DCB， ∴∠DAN＝∠BCM， 在△DAN和△BCM中， ， ∴△DAN≌△BCM（ASA）， ∴AN＝CM，∠AND＝∠CMB， ∴AN∥CM， ∴四边形ANCM是平行四边形， 故乙方案正确； 方案丙：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABN＝∠CDM， ∵AN⊥BD于点N，CM⊥BD于点M， ∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD＝90°， 在△ABN和△CDM中， ， ∴△ABN≌△CDM（AAS）， ∴AN＝CM， ∴四边形ANCM是平行四边形， 故丙方案正确， 故选：A． 34．平行四边形ABCD中，AB＜AD，要求用尺规作图的方法在边BC、AD上分别找点M、N，使得四边形BMDN也为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙都对 B．甲对、乙不对 C．甲不对、乙对 D．甲、乙都不对 【分析】由甲的作法可知，AN＝AB，CM＝CD，由平行四边形的性质得AD∥CB，AD＝CB，AB＝CD，所以AN＝CM，可证明DN＝BM，则四边形BMDN是平行四边形，可判断甲的作法正确；由乙的作法可知，∠ABN＝∠CBN，∠CDM＝∠ADM，而∠ANB＝∠CBN，∠CMD＝∠ADM，所以∠ANB＝∠ABN，∠CMD＝∠CDM，则AN＝AB，CM＝CD，可证明四边形BMDN是平行四边形，可判断乙的作法正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：甲的作法是，在AD上截取AN＝AB，在CB上截取CM＝CD，连接BN、DM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝CB，AB＝CD， ∵AN＝AB，CM＝CD， ∴AN＝CM， ∴AD﹣AN＝CB﹣CM， ∴DN∥BM，且DN＝BM， ∴四边形BMDN是平行四边形， 故甲的作法正确； 乙的作法是：分别作∠ABC、∠CDA的平分线交AD、CB于点N、M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝CB，AB＝CD， ∴∠ANB＝∠CBN，∠CMD＝∠ADM， ∵∠ABN＝∠CBN，∠CDM＝∠ADM， ∴∠ANB＝∠ABN，∠CMD＝∠CDM， ∴AN＝AB，CM＝CD， ∴AN＝CM， ∴AD﹣AN＝CB﹣CM， ∴DN∥BM，且DN＝BM， ∴四边形BMDN是平行四边形， 故乙的作法正确， 故选：A． 35．定义：作平行四边形的一组邻角的平分线，这两条角平分线与这组邻角的公共边组成的三角形为该平行四边形的“伴侣三角形”．如图，△PBC为▱ABCD的“伴侣三角形”，AB＝m，BC＝4，连结AP并延长交直线CD于点Q．若点Q落在线段CD上（包括端点C，D），则m的取值范围是 　 ． 【分析】根据平行四边形的性质可得∠BPC＝90°，当点Q与点C重合时，当点Q与点D重合时，分别作图，根据全等三角形的性质求出m的值，即可确定m的取值范围． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BP平分∠ABC，PC平分∠BCD， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠BCD， ∴∠PBC+∠PCB（∠ABC+∠BCD）＝90°， ∴∠BPC＝90°， 当点Q与点C重合时，如图所示： ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵∠BPC＝90°， ∴∠APB＝∠BPC＝90°， ∵BP＝BP， ∴△ABP≌△CBP（ASA）， ∴AB＝BC， ∵BC＝4， ∴m＝4， 当点Q与点D重合时，如图所示： 延长CP交BA的延长线于点K， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵∠BPC＝90°， ∴∠KPB＝∠BPC＝90°， ∵BP＝BP， ∴△KBP≌△CBP（ASA）， ∴BK＝BC，KP＝CP， ∵AB∥CD， ∴∠K＝∠DCP， 又∵∠KPA＝∠CPD， ∴△KPA≌△CPD（ASA）， ∴CD＝AK， ∵AB＝CD， ∴BC＝2AB＝4， ∴AB＝2， ∴m＝2， 综上所述：当点Q落在线段CD上时，m的取值范围是2≤m≤4， 故答案为：2≤m≤4． 36．定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形ABCD，点E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，△EFG为等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是“等对边四边形”； （2）若∠BAC+∠BDC＝180°，求∠DBC的度数． 【分析】（1）由三角形中位线定理推出CD＝2FG，AB＝2EG，即可得到CD＝AB，推出四边形ABCD是“等对边四边形”； （2）过B作BM⊥CA交CA延长线于M，过C作CN⊥BD于N，由补角的性质得到∠BAM＝∠CDN，由AAS推出△BAM≌△CDN（AAS），得到BM＝CN，由HL推出Rt△BCM≌Rt△CBN，得到∠DBC＝∠ACB，由三角形中位线定理推出EG∥AB，FG∥CD，得到∠CEG＝∠BAC，∠BFG＝∠BDC，由平角定义推出∠EFD+∠FEA＝60°，由三角形内角和定理得到∠DBC+∠ACB＝60°，因此∠DBC60°＝30°． 【解答】（1）证明：∵△EFG为等边三角形， ∴EG＝FG， ∵点E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点， ∴EG是△CBA的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴CD＝2FG，AB＝2EG， ∴CD＝AB， ∴四边形ABCD是“等对边四边形”； （2）解：过B作BM⊥CA交CA延长线于M，过C作CN⊥BD于N， ∵∠BAC+∠BDC＝180°，∠BAC+∠BAM＝180°， ∴∠BAM＝∠CDN， ∵∠AMB＝∠DNC＝90°，AB＝DC， ∴△BAM≌△CDN（AAS）， ∴BM＝CN， ∵BC＝CB， ∴Rt△BCM≌Rt△CBN（HL）， ∴∠DBC＝∠ACB， ∵EG是△CBA的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴EG∥AB，FG∥CD， ∴∠CEG＝∠BAC，∠BFG＝∠BDC， ∵∠BAC+∠BDC＝180°， ∴∠CEG+∠BFG＝180°， ∵△EFG是等边三角形， ∴∠EFG＝∠FEG＝60°， ∵∠BFG+∠EFG+∠EFD+∠CEG+∠FEG+∠FEA＝180°+180°， ∴∠EFD+∠FEA＝60°， ∴∠DBC+∠ACB＝60°， ∴∠DBC60°＝30°． 37．如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案 （1）正确的方案有 　 　 种； （2）针对上述三种作图方案，请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程． 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确； 方案乙，证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确； 方案丙，证△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，则∠ANM＝∠CMN，证出AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确． 【解答】解：（1）正确的方案有3种； 故答案为：3； （2）方案甲中，连接AC，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵BN＝NO，OM＝MD， ∴NO＝OM， ∴四边形ANCM为平行四边形，故方案甲正确； 方案乙中，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABN＝∠CDM， ∵AN⊥BD，CM⊥BD， ∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD， 在△ABN和△CDM中， ， ∴△ABN≌△CDM（AAS）， ∴AN＝CM， 又∵AN∥CM， ∴四边形ANCM为平行四边形，故方案乙正确； 方案丙中，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABN＝∠CDM， ∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD， ∴∠BAN＝∠DCM， 在△ABN和△CDM中， ， ∴△ABN≌△CDM（ASA）， ∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD， ∴∠ANM＝∠CMN， ∴AN∥CM， ∴四边形ANCM为平行四边形，故方案丙正确． 38．在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线OQ与图形W的一个交点为M，射线PQ与图形W的一个交点为N，且满足四边形OPMN为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段ST的“平心点”．已知点：A（2，2），B（6，2），C（2，0），若点中，是点C关于直线AB“平心点”的有 　 　 ；若点C关于线段AB的“平心点”J的横坐标为a时，则a的取值范围 　 　 ． 【分析】根据题意描出相应的点，然后利用一次函数确定函数解析式，确定交点，再由平行四边形的判定和性质即可求点C关于直线AB“平心点”；根据题意结合图象，得出点J的运动轨迹为点JJ1，即可求a的取值范围． 【解答】解：根据题意作图如下： A（2，2），B（6，2），C（2，0），O（0，0），D（1，1）， ∴直线AB所在直线解析式为y＝2， 设直线OD所在直线解析式为y＝mx， 将点D（1，1）代入得：m＝1， ∴直线OD所在直线解析式为y＝x， 当y＝2时，x＝2， ∴直线OD交直线y＝2于点（2，2）， 设直线CD所在直线为y＝nx+d， ， 解得， ∴直线CD所在直线为y＝﹣x+2， 当y＝2时，2＝﹣x+2， 解得x＝0， ∴直线CD交直线y＝2于点（0，2）， ∴两个交点之间的距离为4﹣2＝2， ∵AB所在直线平行于x轴， ∴四边形OCAM为平行四边形，即点D符合题意； 同理可得点E不符合题意；点F符合题意； 根据题意结合图象，如图，连接AC，则中点即J（2，1）， 连接OB，则中点即J1（3，1）， ∴2≤a≤3； 故答案为：D、F；2≤a≤3． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$