暑假作业17 平行四边形中的动点、最值与定值问题（4大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）

完成时间： 月 日 天气： 作业17 平行四边形中的动点运动、最值与定值问题 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：平行四边形中的动点运动问题 】 1．（2024春•铜官区校级期中）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2024春•新沂市期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝12cm，点P从A出发以1cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2cm/s的速度向B运动，两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若运动时间为t秒时，以A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025•重庆模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 4．（2024秋•蓬莱区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝16cm，∠ABC的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　） A．2s B．5s C．2s或 D．5s或 5．（2024春•启东市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝12cm，点E为BC上一点，EC＝7，点P从A出发以1cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2cm/s的速度向B运动，两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．当运动时间为t秒时，以A、P、Q、E四个点为顶点的四边形为平行四边形，则t的值是 　 　． 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由向C运动B，则 　　 秒后四边形ABQP成为一个平行四边形． 7．（2024春•禅城区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发　 　秒后其中一个新四边形为平行四边形． 8．（2024春•宁江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝36cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ截四边形ABCD为两个四边形．问：当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ 9．（2024秋•钢城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段PD＝ 　 　；CQ＝ 　 　；QE＝ 　 　（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 10．（2024春•鹿寨县校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上的一点，且BM＝9cm．点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止．设运动时间为t s，则： （1）AE＝ 　 　，MF＝ 　 　.（用含t的代数式表示） （2）是否存在时间t，使得以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 13．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图所示，在四边形中，，，，点P从A向终点D以的速度运动．点Q从点C向终点B以的速度运动，Q两点同时出发，有一点到达终点停止后另一点也停止运动，直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形． (1)当运动t秒时，线段______，______（用含有t的代数式表示）； (2)直线运动多少秒后将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形？ (3)直线运动多少秒后将四边形截得两个面积相等的四边形？ 【题型一：平行四边形中的最小值问题 】 1．（2024春•凤城市期末）如图，l1∥l2，直线l1与直线l2之间的距离为4，点A是直线l1与l2外一点，点A到直线l1的距离为2，点B，D分别是直线l1与直线l2上的动点，以点B为圆心，AD的长为半径作弧，再以点D为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点C，则点A与点C之间距离的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2023•肥西县一模）如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2023春•安新县期末）如图，四边形OABC为平行四边形，点A坐标为（1，﹣3），点B坐标为（4，0），M为AB上一点，将点M移动到OC上，则移动的最短距离为（　　） A． B． C．4 D． 4．（2024春•湖州月考）已知点D与点A（8，0），B（2，8），C（a，﹣a+2）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值是（　　） A．10 B．8 C．7 D．9 5．（2024春•赣榆区校级月考）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是 　 　 ． 6．（2024八年级上·山东临沂·期中）已知如图，．为x轴上一条动线段，D在C点右边且，当的最小值为 . 7．（2024八年级下·全国·期中）如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点、分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是 ． 8．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 9．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，D在延长线上，作平行四边形，则的最小值为 ． 10．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在中，，，．为边上的一点，，为边上的一动点，将沿翻折得，连接、，则面积的最小值为 ． 11．【教材原题改编】改编自人教版八年级下册数学教材第61页第14题． 如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E和点F．求证：OE＝OF； 【结论应用】若∠ADB＝90°，AB＝5，AD＝3，则四边形ADFE的面积为 　　 ，EF的最小值为 　 　 ． 12．（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）已知，等腰中，，，的边经过点，点是线段上一动点，连接． (1)如图1，若点是的中点，，求的长； (2)如图2，连接，当时，求证：； (3)如图3，等腰中，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值． 【题型二：平行四边形中的最大值问题 】 1．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点E是折线BC﹣CD﹣DA上的一个动点（不与A、B重合）．则△ABE的面积的最大值是（　　） A． B．1 C．3 D．2 2．如图，△APB中，AB，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD，正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积最大值是（　　） A．1 B．2 C． D． 3．在等边△ABC中，AD为边BC的中线，将此三角形沿AD剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形．如果AB＝2，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是 　 　 ． 4．已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线y＝mx﹣3m+4（m为常数且m）上，AB＝4，点C是平面内一点，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是 　 　． 5．问题探究： （1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 　 　 ． （2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝ 10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 6．如图1，在▱ABCD中，∠B＝45°，过点C作CE⊥AD于点E，连接AC，过点D作DF⊥AC于点F，交CE于点G，连接EF． （1）若DG＝8，求对角线AC的长； （2）求证：AF+FGEF； （3）如图2，点P是直线AB上一动点，过点A作AM⊥BC于点M，取线段AB的中点N，作点B关于直线PM的对称点B'，连接NB'，若AB＝10，请直接写出当NB'取得最大值时PB的长． 【题型三：平行四边形中的定值问题 】 1．如图，直线MA平行于NB，定点A在直线MA上，动点B在直线BN上，P是平面上一点，且P在两直线中间（不包括边界），始终有∠PAM＝∠PBN，则在整个运动过程中，下列各值： ①∠APB； ②PA+PB； ③； ④S△PAB中， 一定为定值的是 　 　 ．（填序号） 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上（不与点B，C重合），且BD＞CD，过点D作DP⊥BC，分别交BA的延长线和AC于点P和点Q． （1）求证：AP＝AQ． （2）若点Q是线段DP的中点，探索AQ与QC的数量关系． （3）若△ABC的形状和大小都确定，说说DP+DQ的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由． 3．如图所示四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． （1）四边形ABCD 　 　 平行四边形（是或不是）； （2）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF； （3）当点E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 4．如图1，点B，C分别是∠MAN的边AM、AN上的点，满足AB＝BC，点P为射线AB上的动点，点D为点B关于直线AC的对称点，连接PD交AC于E点，交BC于点F． （1）在图1中补全图形； （2）求证：∠ABE＝∠EFC； （3）当点P运动到满足PD⊥BE的位置时，在射线AC上取点Q，使得AE＝EQ，此时是否是一个定值，若是请求出该定值，若不是，请说明理由． 5．在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积． 解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积． （1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 　 　 cm2． （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，求线段AB的最小值． （3）如图3，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且∠BOC＝60°；AC+BD＝10，则AD是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出AD的最小值及此时平行四边形ABCD的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业17 平行四边形中的动点运动、最值与定值问题 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：平行四边形中的动点运动问题 】 1．（2024春•铜官区校级期中）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据平行四边形的性质得出DP＝BQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∵P在AD上运动， ∴t≤15÷1＝15，即t≤15， ∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴DP＝BQ， 分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C， 由题意得：4t﹣15＝15﹣t， 解得：t＝6； ②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B， 由题意得：15﹣（4t﹣30）＝15﹣t， 解得：t＝10； ③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C， 由题意得：4t﹣45＝15﹣t， 解得：t＝12； 综上所述，t的值为6或10或12， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解此题的关键． 2．（2024春•新沂市期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝12cm，点P从A出发以1cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2cm/s的速度向B运动，两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若运动时间为t秒时，以A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据题意计算AP、PD、BQ、CQ，再根据平行四边形的判定方法进行判定． 【解答】解：A．t＝1时，AP＝1cm，PD＝5cm，CQ＝2cm，BQ＝10cm，此时构不成平行四边形，不符合题意； B．t＝2时，AP＝2cm，PD＝4cm，CQ＝4cm，BQ＝8cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形PDCQ，不符合题意； C．t＝3时，AP＝PD＝3cm，CQ＝BQ＝6cm，则CQ＝BQ＝AD，因AD∥BC，此时有2个平行四边形：平行四边形ADCQ和平行四边形ADQB，符合题意； D．t＝4时，AP＝4cm，PD＝2cm，CQ＝8cm，BQ＝4cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形APQB，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟记平行四边形的判定方法． 3．（2025•重庆模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 【分析】由题意已知，AD∥BC，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，列出等式可求解． 【解答】解：∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时，且P在BC上， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣3t， ∴16﹣t＝21﹣3t， 解得t， ∴当t秒时，四边形PQDC是平行四边形； 当点P在BC延长线上时， ∴16﹣t＝3t﹣21， 解得t， ∴t秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 【点评】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 4．（2024秋•蓬莱区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝16cm，∠ABC的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　） A．2s B．5s C．2s或 D．5s或 【分析】由平行四边形ABCD，BF是∠ABC的平分线，可得∠AFB＝∠CBF＝∠ABF，则AF＝AB＝6，由题意得，点P运动到F时间为6÷1＝6s，点Q运动到E时间为8÷2＝4s，当0≤t＜4时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝8﹣2t，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE，即6﹣t＝8﹣2t，计算求解即可；当4≤t＜6时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝2t﹣8，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE，即6﹣t＝2t﹣8，计算求解即可． 【解答】解：∵平行四边形ABCD，BF是∠ABC的平分线， ∴∠AFB＝∠CBF＝∠ABF， ∴AF＝AB＝6， ∵点E是BC的中点， ∴， ∴点P运动到F时间为6÷1＝6s，点Q运动到E时间为8÷2＝4s， 当0≤t＜4时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝8﹣2t， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE， ∴6﹣t＝8﹣2t， 解得，t＝2， 当4≤t＜6时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝2t﹣8， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE， ∴6﹣t＝2t﹣8， 解得，， 综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为2s或， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5．（2024春•启东市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝12cm，点E为BC上一点，EC＝7，点P从A出发以1cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2cm/s的速度向B运动，两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．当运动时间为t秒时，以A、P、Q、E四个点为顶点的四边形为平行四边形，则t的值是 　 　． 【分析】分两种情形列出方程即可解决问题． 【解答】解：①当点Q在线段CE上，AP＝QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝7﹣2t，解得t， ②当Q在线段BE上，AP＝QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝2t﹣7，解得t＝7＞6（不合题意舍去）， 综上所述，t时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：． 【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由向C运动B，则 　　 秒后四边形ABQP成为一个平行四边形． 【分析】由运动时间为x秒，则AP＝x，QC＝2x，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP＝BQ，则得方程x＝6﹣2x求解． 【解答】解：∵运动时间为x秒， ∴AP＝x cm，QC＝2x cm． ∵四边形ABQP是平行四边形， ∴AP＝BQ． ∴x＝6﹣2x． ∴x＝2． 答：2秒后四边形ABQP是平行四边形． 故答案为：2． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．此题根据路程＝速度×时间，得出AP、QC的长，然后根据已知条件列方程求解． 7．（2024春•禅城区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发　 　秒后其中一个新四边形为平行四边形． 【分析】当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可； 当PD＝CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可． 【解答】解：根据题意有AP＝t cm，CQ＝2t cm，PD＝（12﹣t）cm，BQ＝（15﹣2t）cm． ①∵AD∥BC， ∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形． ∴t＝15﹣2t， 解得t＝5． ∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形； ②AP＝t cm，CQ＝2t cm， ∵AD＝12cm，BC＝15cm， ∴PD＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm， ∵AD∥BC， ∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形． 即：12﹣t＝2t， 解得t＝4s， ∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形． 综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形． 故答案为：4或5． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中，解题的关键是把握“化动为静”的解题思想． 8．（2024春•宁江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝36cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ截四边形ABCD为两个四边形．问：当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ 【分析】设当P，Q同时出发，t秒后其中一个四边形为平行四边形，则AP＝tcm，DP＝（24﹣t）cm，CQ＝2tcm，BQ＝（36﹣2t）cm，分为两种情况：①当ABQP是平行四边形时，根据AP＝BQ得出方程，求出方程的解即可；②当CDPQ是平行四边形时，根据DP＝CQ得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设当P，Q同时出发，t秒后其中一个四边形为平行四边形， 则AP＝tcm，DP＝（24﹣t）cm，CQ＝2tcm，BQ＝（36﹣2t）cm， ①当ABQP是平行四边形时， AP＝BQ， 即t＝36﹣2t， 解得：t＝12； ②当CDPQ是平行四边形时， DP＝CQ， 即24﹣t＝2t， 解得：t＝8； 即当P，Q同时出发，12s或8s后其中一个四边形为平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质的应用．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 9．（2024秋•钢城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段PD＝ 　 　；CQ＝ 　 　；QE＝ 　 　（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【分析】（1）AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点，得PD＝6﹣AP，BE＝CE＝8，则QE＝8﹣CQ或QE＝CQ﹣8，而CQ＝2t，AP＝t，则PD＝6﹣t；若点Q与点E重合，则2t＝8，求得t＝4；若点P与点D重合，则t＝6，所以当0＜t＜4时，则QE＝8﹣2t，当4＜t＜6时，则QE＝2t﹣8，于是得到问题的答案； （2）由PD∥QE，可知当PD＝QE时，以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，再分两种情况讨论，一是当0＜t＜4，且PD＝QE时，则6﹣t＝8﹣2t；二是当4＜t＜6，且PD＝QE时，则6﹣t＝2t﹣8，解方程求出相应的t值即可． 【解答】解：（1）∵AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上， ∴PD＝6﹣AP，BE＝CEBC＝8， ∴QE＝8﹣CQ或QE＝CQ﹣8， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动， ∴AP＝t， ∴PD＝6﹣t； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动， ∴CQ＝2t， 若点Q与点E重合，则2t＝8， 解得t＝4； 若点P与点D重合，则t＝6， 当0＜t＜4时，则QE＝8﹣2t， 当4＜t＜6时，则QE＝2t﹣8， 故答案为：6﹣t，2t，8﹣2t或2t﹣8． （2）∵AD∥BC，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上， ∴PD∥QE， ∴当PD＝QE时，以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形， 当0＜t＜4，且PD＝QE时，则6﹣t＝8﹣2t， 解得t＝2； 当4＜t＜6，且PD＝QE时，则6﹣t＝2t﹣8， 解得t， 综上所述，当t＝2或t时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【点评】此题重点考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． 10．（2024春•鹿寨县校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上的一点，且BM＝9cm．点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止．设运动时间为t s，则： （1）AE＝ 　 　，MF＝ 　 　.（用含t的代数式表示） （2）是否存在时间t，使得以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意得AE＝t cm，CF＝3t cm，当点F在线段CM上，则MF＝（3﹣3t）cm，当点F在线段BM上，则MF＝（3t﹣3）cm，于是得到问题的问题的答案； （2）由AE∥MF，可知当AE＝MF时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，再分两种情况讨论，一是点F在线段CM上，则t＝3﹣3t，求得t；二是点F在线段BM上，则t＝3t﹣3，求得t． 【解答】解：（1）∵点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动， ∴AE＝t cm； ∵M是BC上的一点，且BC＝12cm，BM＝9cm， ∴CM＝BC﹣BM＝3cm， ∵点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动， ∴CF＝3t cm， 当点F在线段CM上，则MF＝（3﹣3t）cm， 当点F在线段BM上，则MF＝（3t﹣3）cm， 故答案为：t cm，（3﹣3t）cm或（3t﹣3）cm． （2）存在， ∵AD∥BC，点E在AD上，点F在BC上， ∴AE∥MF， ∴当AE＝MF时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形， 当AE＝MF，且点F在线段CM上，则t＝3﹣3t， 解得t； 当AE＝MF，且点F在线段BM上，则t＝3t﹣3， 解得t， 综上所述，存在时间t，使得以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，t的值为s或s． 【点评】此题重点考查列代数式、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键． 13．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图所示，在四边形中，，，，点P从A向终点D以的速度运动．点Q从点C向终点B以的速度运动，Q两点同时出发，有一点到达终点停止后另一点也停止运动，直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形． (1)当运动t秒时，线段______，______（用含有t的代数式表示）； (2)直线运动多少秒后将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形？ (3)直线运动多少秒后将四边形截得两个面积相等的四边形？ 【答案】(1)， (2)9或12秒 (3)秒 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式、平行四边形的判定等知识点，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用路程、速度、时间的关系，结合各线段之间的关系，用含t的代数式表示出、的长即可； （2）由，再分或两种情况，分别根据平行四边形的判定定理以及将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形并结合（1）列出关于t的一元一次方程求解即可； （3）由直线将四边形截得两个面积相等的四边形，列出关于t的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：当运动t秒时，线段，，，． 故答案为：，； （2）解：∵， 当或时，将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形． 当时，，解得：； 当时，，解得： 答：直线运动9或12秒后，将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形． （3）解：根据题意得：， 所以，解得： 答：直线运动秒后，将四边形截得两个面积相等的四边形． 【题型一：平行四边形中的最小值问题 】 1．（2024春•凤城市期末）如图，l1∥l2，直线l1与直线l2之间的距离为4，点A是直线l1与l2外一点，点A到直线l1的距离为2，点B，D分别是直线l1与直线l2上的动点，以点B为圆心，AD的长为半径作弧，再以点D为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点C，则点A与点C之间距离的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】过C作CK∥l1，过A作AH⊥CK，交l1于M，交l2于N，作CP⊥l2于P，得到CK∥l2，因此AM＝2，MN＝4，由平行四边形的性质推出，△ABM≌△CDQ（ASA），CP＝AM＝2，得到HN＝2，求出AH＝8，由AC≥AH，即可求出AC的最小值． 【解答】解：过C作CK∥l1，过A作AH⊥CK，交l1于M，交l2于N，作CP⊥l2于P， ∵l1∥l2， ∴CK∥l2， ∴AH⊥l1，AH⊥l2， ∴AM＝2，MN＝4， 由题意得：BC＝AD，CD＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠BAM＝∠QCD，AB＝CD， ∵l1∥l2， ∴∠ABM＝∠CDQ， ∴△ABM≌△CDQ（ASA）， ∴CP＝AM＝2， ∴HN＝CP＝2， ∴AH＝2+4+2＝8， ∵AC≥AH， ∴点A与点C之间距离的最小值是8． 故选：B． 【点评】本题考查平行线之间的距离，点到直线的距离，关键是通过作辅助线，得到AC≥AH，求出HN即可解决问题． 2．（2023•肥西县一模）如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求． 【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图： ∵四边形OABC是平行四边形， ∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC， ∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴， ∴AM∥CN， ∴四边形ANCM是平行四边形， ∴∠MAN＝∠NCM， ∴∠OAF＝∠BCD， ∵∠OFA＝∠BDC＝90°， ∴∠FOA＝∠DBC， 在△OAF和△BCD中， ， ∴△OAF≌△BCD． ∴BD＝OF＝1， ∴OE＝4+1＝5， ∴OB． 由于OE的长不变，点B在直线x＝5上运动，当点B在x轴上时，OB最小，最小值为OB＝OE＝5． 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 3．（2023春•安新县期末）如图，四边形OABC为平行四边形，点A坐标为（1，﹣3），点B坐标为（4，0），M为AB上一点，将点M移动到OC上，则移动的最短距离为（　　） A． B． C．4 D． 【分析】过点A作AN⊥OB于点N，过点B作BE⊥OC于点E，设点M移动到OC上，移动的最短距离为h，先由勾股定理得AB，再由平行四边形的性质得OC＝AB，OA＝BC，从而证明△OBC≌△BOA，进而利用面积法即可求得h的值，从而问题得解． 【解答】解：过点A作AN⊥OB于点N，过点B作BE⊥OC于点E，设点M移动到OC上，移动的最短距离为h， ∵点A坐标为（1，﹣3），点B坐标为（4，0）， ∴OB＝4，AN＝3，AB， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OC＝AB，OA＝BC， ∵OB＝BO， ∴△OBC≌△BOA（SSS）， ∴， ∴， 解得． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定及勾股定理是解题的关键． 4．（2024春•湖州月考）已知点D与点A（8，0），B（2，8），C（a，﹣a+2）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值是（　　） A．10 B．8 C．7 D．9 【分析】本题分两种情况讨论：①CD是平行四边形的一条边，那么有AB＝CD，则CD的长可求出；②CD是平行四边形的一条对角线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，证△DBN≌△CAM，推出DN＝CM＝a﹣2，BN＝AM＝8﹣a，得出D（10﹣a，a+6），由勾股定理得：CD2＝（10﹣a﹣a）2+（a+6+a﹣2）2＝8a2﹣24a+116＝8（a）2+98，由此求出CD的最小值为7． 【解答】解：有两种情况： 如图1，CD是平行四边形的一条边， A（8，0），B（2，8）， 由勾股定理得， AB2＝82+（8﹣2）2 ＝100， 那么有AB＝CD＝10； 如图2，CD是平行四边形的一条对角线， 过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N， 则∠BND＝∠DFA＝∠CMA＝∠QFA＝90°， ∠CAM+∠FQA＝90°，∠BDN+∠DBN＝90°， ∵四边形ACBD是平行四边形， ∴BD＝AC，∠BCD＝∠ADB，BD∥AC， ∴∠BDF＝∠FQA， ∴∠DBN＝∠CAM， ∵在△DBN和△CAM中， ， ∴△DBN≌△CAM（AAS）， ∴DN＝CM＝a﹣2，BN＝AM＝8﹣a， ∴D（10﹣a，a+6）， 由勾股定理得：CD2＝（10﹣a﹣a）2+（a+6+a﹣2）2＝8a2﹣24a+116＝8（a）2+98， 当a时，CD有最小值，是7， ∵10， ∴CD的最小值是7． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值的应用，关键是能得出关于a的二次函数解析式，题目比较好，难度偏大． 5．（2024春•赣榆区校级月考）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是 　 　 ． 【分析】根据平行四边形的性质可得△AOF≌△EOC可得AE＝EC，进而确定当EF取最小值时，四边形ABFE周长的最小，即EF⊥BC；然后求得EF取最小值即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠OAF＝∠ECO， ∵∠AOF＝∠EOC， ∴△AOF≌△EOC， ∴AE＝EC， ∴四边形ABFE周长为AF+AB+BE+EF＝EC+AB+BE+EF＝AB+BC+EF＝10+EF， ∴当EF取最小值时，四边形ABFE周长的最小，即EF⊥BC， 如图：过A点作AG⊥BC，即AG的长为EF的最小值， ∵∠ABC＝30°， ∴，即EF的最小值为2， ∴四边形ABFE周长的最小值为10+2＝12． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形判定与性质、直角三角形的性质等知识点，确定四边形ABFE周长取最小值时点E、F的位置成为解题的关键． 6．（2024八年级上·山东临沂·期中）已知如图，．为x轴上一条动线段，D在C点右边且，当的最小值为 . 【分析】本题考查了“将军饮马”求最值的模型，涉及了平行四边形的判定与性质、两点之间线段最短等知识点，将点向右平移1个单位长度得到点构造平行四边形是解题关键． 【详解】解：将点向右平移1个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的值最小，如图所示： ∵，且 ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵点关于轴的对称点为， ∴ ∴ ∵ ∴的最小值为： 故答案为： 7．（2024八年级下·全国·期中）如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点、分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是 ． 【分析】由条件可先证得是等边三角形，过点作于点，当点，，在一条直线上，此时最短，可求得和的长，进而得出的最小值． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 是等边三角形， ，， 平行四边形中，，，， ， 是等边三角形，， ，是等边三角形， 为中点， ，为中点， ， ， ， 当点，，在一条直线上，此时最短，即的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查坐标与图形性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，判断出当点，，在一条直线上，最短是解题的关键． 8．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的性质，先作辅助线，延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，根据勾股定理和平行四边形的性质得到线段的长度，证明出四边形为平行四边形，再根据三角形全等得到对应边相等，再根据垂线段最短得到最小值，即可求解． 【详解】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示： ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小，此时， ∴最小值为， 故答案为： ． 9．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，D在延长线上，作平行四边形，则的最小值为 ． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，轴对称—最短路线，勾股定理，作于，由题意可得在平行于且与距离为的直线上运动，作关于直线的对称点，连接，，则，、、三点共线，结合，得出当且仅当，，，依次共线时取等号，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴在平行于且与距离为的直线上运动， 作关于直线的对称点，连接，， 则，、、三点共线， ∵， ∴， ∴，当且仅当，，，依次共线时取等号， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 10．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在中，，，．为边上的一点，，为边上的一动点，将沿翻折得，连接、，则面积的最小值为 ． 【分析】取的中点G，连接，得，根据，，得是等边三角形，得，，得 ，得，得，根据,，得当点在上时，取得最小值，得面积的最小值为． 【详解】解：取的中点G，连接， ∵， ∴， ∵在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当点在上时，最小, 由折叠知，， ∴最小值为， ∴面积的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形折叠．熟练掌握平行四边形性质，折叠性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，两点之间线段最短，三角形面积公式，是解题的关键． 11．【教材原题改编】改编自人教版八年级下册数学教材第61页第14题． 如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E和点F．求证：OE＝OF； 【结论应用】若∠ADB＝90°，AB＝5，AD＝3，则四边形ADFE的面积为 　　 ，EF的最小值为 　 　 ． 【分析】【教材原题改编】由四边形ABCD是平行四边形，得到OB＝OD，AB∥DC，因此∠EBO＝∠FDO，又∠BOE＝∠DOF，即可证明△BEO≌△DFO，得到OE＝OF． 【结论应用】由勾股定理求出BD的长，求出△ABD的面积，由△BEO≌△DFO，得到四边形ADFE的面积＝△ABD的面积＝6，当EF⊥AB时，EF的值最小，由三角形面积公式即可求出EF的最小值为2.4． 【解答】【教材原题改编】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB∥DC， ∴∠EBO＝∠FDO， ∵∠BOE＝∠DOF， ∴△BEO≌△DFO， ∴OE＝OF． 【结论应用】解：∵∠ADB＝90°，AB＝5，AD＝3， ∴BD4， ∴△ABD的面积AD•BD＝6， ∵△BEO≌△DFO， ∴四边形ADFE的面积＝△ABD的面积＝6， 当EF⊥AB时，EF的值最小， ∵△ABD的面积AD•BDAB•FE， ∴3×4＝5FE， ∴EF＝2.4， ∴EF的最小值为2.4． 故答案为：6，2.4． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的面积，关键是由△BEO≌△DFO，得到四边形ADFE的面积＝△ABD的面积；当EF⊥AB时，EF的值最小，由三角形的面积公式，即可求解． 12．（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）已知，等腰中，，，的边经过点，点是线段上一动点，连接． (1)如图1，若点是的中点，，求的长； (2)如图2，连接，当时，求证：； (3)如图3，等腰中，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值． 【分析】（1）根据点是的中点，得出 ，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （2）延长、，交于，延长交于，先证明，证明，进而证明，得出，进而即可得证； （3）过点作于，作，且，连接，作点关于的对称点，交于，连接交于，勾股定理求得，，证明得出点在与成的直线上运动，当、、三点共线时，的周长最小，此时点与点重合，最小值为，进而证明，得出，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等腰中，，， ∴， 点是的中点， ， 在中，， ， ； （2）证明：延长、，交于点，延长交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ；． （3）解：如图3，过点作于，作，且，连接，作点关于的对称点，交于，连接交于， 则， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在与成的直线上运动， ， 当、、三点共线时，的周长最小，此时点与点重合，最小值为， 在和中， ， ， ，， ，， ， 周长的最小值为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键． 【题型二：平行四边形中的最大值问题 】 1．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点E是折线BC﹣CD﹣DA上的一个动点（不与A、B重合）．则△ABE的面积的最大值是（　　） A． B．1 C．3 D．2 【分析】分三种情况讨论： ①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大，②当E在CD上时，如图2，△ABE的面积不变，③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论． 【解答】解：分三种情况： ①当点E在BC上时，E与C重合时，△ABE的面积最大，如图1， 过A作AF⊥BC于F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠C+∠B＝180°， ∵∠C＝120°， ∴∠B＝60°， Rt△ABF中，∠BAF＝30°， ∴BFAB＝1，AF， ∴此时△ABE的最大面积为2； ②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积S▱ABCD2； ③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积＝2， 综上，△ABE的面积的最大值是2； 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题． 2．如图，△APB中，AB，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD，正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积最大值是（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】先延长EP交BC于点F，得出PF⊥BC，再判定四边形PCDE平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积＝EP×CF＝abab，最后根据a2+b2＝8，判断ab的最大值即可． 【解答】解：如图，延长EP交BC于点F， ∵∠APB＝90°，∠APE＝∠BPC＝60°， ∴∠EPC＝150°， ∴∠CPF＝180°﹣150°＝30°， ∴PF平分∠BPC， 又∵PB＝PC， ∴PF⊥BC， 设Rt△ABP中，AP＝a，BP＝b， 则CFCPb，a2+b2＝（2）2＝8， ∵△APE和△ABD都是等边三角形， ∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°， ∴∠EAD＝∠PAB， 在△EAD和△PAB中， ， ∴△EAD≌△PAB（SAS）， ∴ED＝PB＝CP， 同理可得：△APB≌△DCB（SAS）， ∴EP＝AP＝CD， ∴四边形PCDE是平行四边形， ∴四边形PCDE的面积＝EP×CF＝abab， 又∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0， ∴2ab≤a2+b2＝8， ∴ab≤2， 即四边形PCDE面积的最大值为2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线． 3．在等边△ABC中，AD为边BC的中线，将此三角形沿AD剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形．如果AB＝2，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是 　 　 ． 【分析】根据平行四边形的判定方法作出图形，结合勾股定理分析计算． 【解答】解：在等边△ABC中，AD为边BC的中线，AB＝2， ∴BDBCAB＝1，AD， ①在平行四边形ACBD中，此时对角线长度为AB＝2， ②在平行四边形ADCB中，延长AD，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E， 则四边形DECB是矩形， ∴CE＝BD＝1，DE＝BC＝AD， 在Rt△AEC中，AC， ③在平行四边形ACDB中，延长BD，过点C作CM⊥BD，交BD的延长线于点M， 则四边形ACMD是矩形， ∴AC＝MD＝1，CM＝AD， 在Rt△BCM中，BC， 综上，在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是， 故答案为：． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，掌握勾股定理，利用分类讨论思想解题是关键． 4．已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线y＝mx﹣3m+4（m为常数且m）上，AB＝4，点C是平面内一点，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是 　 　． 【分析】由直线关系式可知直线过定点（3，4），根据点到直线的距离求△ABO的最大面积，进一步即可确定平行四边形的最大面积． 【解答】解：直线y＝mx﹣3m+4＝m（x﹣3）+4， ∴直线过定点M（3，4）， ∴OM＝5， 过点O作OH⊥AB于点H，如图所示： 则OH≤OM， ∵AB＝4， ∴△AOB的面积最大值4×5÷2＝10， ∴以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是20， 故答案为：20． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特征，涉及平行四边形的性质，点到直线的距离等，作出直线过定点（3，4）是解决本题的关键． 5．问题探究： （1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 　 　 ． （2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 【分析】（1）先求出平行四边形ABCD的面积，利用面积和差关系可得四边形BMDN的面积＝5DM，则当DM有最小值时，四边形BMDN的面积有最大值，即可求解； （2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求AB的长，由线段的和差关系可求解； （3）如图3，过点D作DH∥AC，交BC的延长线于H，过点B作BN⊥DH于N，可证四边形ADHC是平行四边形，可AD＝CH，AC＝DH，则△AOD与△BOC的周长之和为10+BH，由直角三角形的性质可求BH的长，即可求解． 【解答】解：（1）过点B作BE⊥AD，交DA延长线于E，过点B作BF⊥CD，交DC的延长线于F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5， ∴∠BAE＝∠ABC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝60°， ∴∠ABE＝∠CBF＝30°， ∴AEAB，CFBC， ∴BE，BF， ∴四边形ABCD的面积＝AD×BE， ∵四边形BMDN的面积＝S四边形ABCD﹣S△ABM﹣S△BCNAMCN（5﹣DM）（﹣1+DM）， ∴四边形BMDN的面积＝5DM， 则当DM有最小值时，四边形BMDN的面积有最大值， ∵DM+DN＝4， ∴DN＝4﹣DM， ∵DN≤3， ∴4﹣DM≤3， ∴DM≥1， ∴当DM＝1时，四边形BMDN的面积， 故答案为； （2）存在， 设AC＝x， ∵AC+BC＝4， ∴BC＝4﹣x， ∴AB， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝4， ∴当x＝2时，△ABC的周长的最小值为4+2； （3）△AOD与△BOC的周长之和不是定值， 理由如下：如图3，过点D作DH∥AC，交BC的延长线于H，过点B作BN⊥DH于N， ∵AD∥BC，DH∥AC， ∴四边形ADHC是平行四边形， ∴AD＝CH，AC＝DH， ∴C△AOD+C△BOC＝AD+AO+OD+BC+BO+OC＝CH+BC+AC+BD＝BH+BD+DH＝10+BH， 设BD＝x，则AC＝DH＝10﹣x， ∵AC∥DH， ∴∠BDH＝∠BOC＝180°﹣∠AOB＝60°， ∴∠DBN＝30°， ∴DNDB， ∴BNx， ∵NH＝10﹣BD﹣DN＝10x， ∴BH， ∴C△AOD+C△BOC＝10， ∴△AOD与△BOC的周长之和不是定值， ∴当x＝5时，△AOD与△BOC的周长之和的最小值为15． 【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 6．如图1，在▱ABCD中，∠B＝45°，过点C作CE⊥AD于点E，连接AC，过点D作DF⊥AC于点F，交CE于点G，连接EF． （1）若DG＝8，求对角线AC的长； （2）求证：AF+FGEF； （3）如图2，点P是直线AB上一动点，过点A作AM⊥BC于点M，取线段AB的中点N，作点B关于直线PM的对称点B'，连接NB'，若AB＝10，请直接写出当NB'取得最大值时PB的长． 【分析】（1）证明△ACE≌△GDE（ASA），可得结论； （2）过点E作EM⊥AF于点M，EN⊥DF于点N．证明四边形EMFN是正方形，AM＝GM，可得结论； （3）如图2中，连接MB′，MN．由题意NB′≤MN+MB′＝5+5，推出当B′在NM的延长线上时，NB′的值最大，如图3中，求出BP即可． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠ADC＝45°， ∵CE⊥AD，DF⊥AC， ∴∠DEG＝∠CFG＝90°，∠ECD＝∠EDC＝45°， ∴EC＝ED， ∵∠EGD＝∠CGF， ∴∠EDG＝∠ACE， 在△ACE和△GDE中， ， ∴△ACE≌△GDE（ASA）， ∴AC＝DG＝8； （2）证明：过点E作EM⊥AF于点M，EN⊥DF于点N． ∵△ACE≌△DGE， ∴∠CAE＝∠DGE，AE＝EG， ∵∠EMF＝∠ENF＝∠MFN＝90°， ∴四边形EMFN是矩形， ∴∠MEN＝∠AEC＝90°， ∴∠AEM＝∠GEN， 在△EMA和△ENG中， ． ∴△EMA≌△ENG（AAS）， ∴EM＝EN，AM＝GN， ∴四边形EMFN是正方形， ∴EFFM， ∴FA+FG＝FM+AM+FN﹣GN＝2FMEF； （3）解：如图2中，连接MB′，MN． ∵AB＝10，∠AMB＝90°，AN＝BN， ∴AM＝BM＝5，MNAB＝5， ∵B，B′关于PM对称， ∴MB′＝MB＝5， ∴NB′≤MN+MB′＝5+5， ∴当B′在NM的延长线上时，NB′的值最大，如图3中， ∵∠BMN＝45°， ∴∠BMB′＝180°﹣45°＝135°， ∴∠PMB＝∠PMB′（360°﹣135°）＝112.5°， ∴∠AMP＝112.5°﹣90°＝22.5°， ∵∠BAM＝∠PMA+∠APM＝45°， ∴∠PMA＝∠APM＝22.5°， ∴AP＝AM＝5， ∴PB＝AB+AP＝10+5． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题． 【题型三：平行四边形中的定值问题 】 1．如图，直线MA平行于NB，定点A在直线MA上，动点B在直线BN上，P是平面上一点，且P在两直线中间（不包括边界），始终有∠PAM＝∠PBN，则在整个运动过程中，下列各值： ①∠APB； ②PA+PB； ③； ④S△PAB中， 一定为定值的是 　 　 ．（填序号） 【分析】过点P作PQ∥AM交B'P'于点Q，可得 AM∥BN∥PQ，进而可得∠APB＝2∠PAM，△P'PQ 是等腰三角形，可得①②为定值；再根据比值及面积公式推出③④中式子的值是发生变化的． 【解答】解：如图，过点P作PQ∥AM交B′P′于点Q， ∵AM∥BN， ∴AM∥BN∥PQ， ∴∠APQ＝∠PAM，∠BPQ＝∠PBN， ∵∠PAM＝∠PBN， ∴∠APQ＝∠PAM＝∠BPQ＝∠PBN， ∴∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝2∠PAM，为定值， 故①符合题意． 由题意可知，P′B′∥PB， ∵BN∥PQ， ∴∠P'QP＝∠BPQ，且四边形 PBB'Q 是平行四边形， ∴∠BPQ＝∠APQ＝∠P'Q，B'Q＝BP， ∴P'P＝PQ， ∴AP+PB＝AP'+P'P+PB＝AP'+P'Q+QB'＝AP'＝P'B′，为定值， 故②符合题意． 由题意可知，点B从下往上运动的过程中，AP逐渐变短，PB逐渐变长， ∴的值会发生变化，且点B从下往上运动的过程中，的值逐渐变小， 故③不符合题意． 设PA+PB＝t，则PA＝t﹣PB， 假设∠PAM＝45°，则∠APB＝90°， ∴， 随着PB的长度发生变化，S△PAB的值也发生变化， 同理可得，当∠PAM为其他值时，S△PAB的值也会发生变化， 故④不符合题意； 故答案为：①②． 【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，的值根据图形变化进行推理，S△PAB的值先表达，再分析，比较复杂，所以选取特殊值．注意，特殊值不能证明，只能推翻一些结论． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上（不与点B，C重合），且BD＞CD，过点D作DP⊥BC，分别交BA的延长线和AC于点P和点Q． （1）求证：AP＝AQ． （2）若点Q是线段DP的中点，探索AQ与QC的数量关系． （3）若△ABC的形状和大小都确定，说说DP+DQ的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得出结论； （2）过点P作PE∥BC，交CA的延长线于点E，证明△EQP≌△CQD（AAS），由全等三角形的性质得出QE＝QC，则可得出结论； （3）方法一：过点A作AM⊥BC于点M，延长AM至E，使AM＝ME，连接CE，延长QD交CE于点F，证明△AMB≌△EMC（SAS），得出∠B＝∠ECM，证出PF＝AE＝2AM，DQ＝DF，则可得出结论． 方法二：过A作PQ垂线，由等腰三角形的性质可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DP⊥BC， ∴∠B+∠P＝∠C+∠CQD＝90°， ∴∠AQP＝∠CQD＝∠P， ∴AP＝AQ． （2）解：QC＝2AQ． 理由：过点P作PE∥BC，交CA的延长线于点E， ∴∠E＝∠C，∠APE＝∠B， 由题意，得∠E＝∠APE， ∴AE＝AP＝AQ． ∴QE＝2AQ． ∵点Q是线段DP的中点， ∴PQ＝DQ， ∵∠EQP＝∠DQC， ∴△EQP≌△CQD（AAS）， ∴QE＝QC， ∴QC＝2AQ． （3）解：DP+DQ的值是定值，这个定值是BC边上的高的2倍． 方法一：过点A作AM⊥BC于点M，延长AM至E，使AM＝ME，连接CE，延长QD交CE于点F， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BM＝CM， ∵∠AMB＝∠CME，AM＝ME， ∴△AMB≌△EMC（SAS）， ∴∠B＝∠ECM， ∴AB∥CE， ∵AM⊥BC，PD⊥BC， ∴AM∥PD， ∴四边形AEFP是平行四边形， ∴PF＝AE＝2AM， ∵AM＝ME，AM⊥CM， ∴AC＝CE， ∴∠CAM＝∠CEM， ∵AE∥QFD， ∴∠CAM＝∠CQF，∠CEM＝∠CFQ， ∴∠CQF＝∠CFQ， ∴CQ＝CF， ∴DQ＝DF， ∴PD+DQ＝PD+DF＝PF＝2AM． 即DP+DQ的值是定值，这个定值是BC边上的高的2倍． 方法二：过A作PQ垂线，由等腰三角形的性质可得出结论． 【点评】本题考查了等腰三角形与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．如图所示四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． （1）四边形ABCD 　 　 平行四边形（是或不是）； （2）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF； （3）当点E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 【分析】（1）根据AB＝BC＝CD＝DA＝4可知四边形ABCD是平行四边形，即可得答案； （2）根据平行四边形及∠BAD＝120°，可证得△ABC和△ACD为等边三角形，则∠BAC＝60°，∠ABE＝∠4＝60°，AC＝AB，再结合△AEF是等边三角形，进而证得∠1＝∠3，利用ASA即可证明△ABE≌△ACF，即可得结论； （3）根据△ABE≌△ACF，得S△ABE＝S△ACF，故由S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，可知四边形AECF的面积是定值，作AH⊥BC于H点，由等边三角形的性质求得BH＝2，进而求得AH即可求得S△ABC，可得定值． 【解答】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下： ∵AB＝BC＝CD＝DA＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：是． （2）证明：由（1）知四边形ABCD为平行四边形，则AB∥CD，AD∥BC， ∵∠BAD＝120°，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°， 又∵AB＝BC＝CD＝DA＝4， ∴△ABC和△ACD为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，∠4＝60°，AC＝AB， ∵△AEF是等边三角形， ∴∠EAF＝60°， ∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°， ∴∠1＝∠3， 又∵∠ABE＝∠4＝60°，AC＝AB， ∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴BE＝CF； （3）解：四边形AECF的面积不变，为定值． 理由如下：由（2）得△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF， 故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值， 作AH⊥BC于H点， ∵∠BAC＝60°，AB＝AC＝4， ∴，则， ∴， 综上，四边形AECF的面积不变，为定值． 【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 4．如图1，点B，C分别是∠MAN的边AM、AN上的点，满足AB＝BC，点P为射线AB上的动点，点D为点B关于直线AC的对称点，连接PD交AC于E点，交BC于点F． （1）在图1中补全图形； （2）求证：∠ABE＝∠EFC； （3）当点P运动到满足PD⊥BE的位置时，在射线AC上取点Q，使得AE＝EQ，此时是否是一个定值，若是请求出该定值，若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据要求画出图形即可． （2）证明△AEB≌△AED（SSS），推出∠ABE＝∠D，证明AD∥BC，推出∠D＝∠EFC即可解决问题． （3）结论：1，是一个定值．如图2中，作QK∥AD交PD于K，连接BK．证明四边形BCQK是平行四边形，△BEK是等腰直角三角形即可解决问题． 【解答】（1）解：图形如图1所示： （2）证明：∵B，D关于AC对称， ∴AB＝AD，BE＝DE，∵AE＝AE， ∴△AEB≌△AED（SSS）， ∴∠ABE＝∠D， ∵BA＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝∠CAD， ∴AD∥BC， ∴∠D＝∠EFC， ∴∠ABE＝∠EFC． （3）结论：，是一个定值． 理由：如图2中，作QK∥AD交PD于K，连接BK． ∵AD∥QK， ∴∠EAD＝∠EQK， ∵AE＝EQ，∠AED＝∠QEK， ∴△AED≌△QEK（ASA）， ∴AD＝KQ， ∵AB＝BC＝AD，AD∥BC， ∴BC＝KQ，BC∥KQ， ∴四边形BCQK是平行四边形， ∴CQ＝BK，CQ∥BK， ∵PD⊥BE， ∴∠DEB＝90°， ∴∠AEB＝∠AED＝45°， ∴∠EBK＝∠AEB＝45°， ∵∠BEK＝90°， ∴△BEK是等腰直角三角形， ∴BKBEDE， ∴CQDE， ∴． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题． 5．在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积． 解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积． （1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 　 　 cm2． （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，求线段AB的最小值． （3）如图3，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且∠BOC＝60°；AC+BD＝10，则AD是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出AD的最小值及此时平行四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形AEC的面积，从而可以得到四边形ABCD的面积； （2）由勾股定理可得AB，由二次函数的性质可求解； （3）由平行四边形的性质可得BO+CO＝5，AD＝BC，由勾股定理可求BC，由二次函数的性质可求BC的最小值，即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得，AE＝AC＝5，∠EAC＝90°， 则△EAC的面积AE•AC5×5＝12.5（cm2）， 即四边形ABCD的面积为12.5cm2， 故答案为：12.5； （2）∵AC+BC＝4， ∴BC＝4﹣AC， ∵∠ACB＝90°， ∴AB， ∴当AC＝2时，AB的最小值为2； （3）如图，过点B作BH⊥AC于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝BC， ∵AC+BD＝10， ∴BO+CO＝5， ∴CO＝5﹣BO， ∵∠BOC＝60°，BH⊥AC， ∴∠OBC＝30°， ∴HOBO，BHHOBO， ∴CH＝CO﹣HO＝5BO， ∵BC， ∴当BO时，BC有最小值为，即AD的最小值为， 此时：BO＝BC，∠BOC＝60°， ∴△BOC是等边三角形， ∴S▱ABCD＝4S△BOC＝4（）2． 【点评】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，二次函数的应用等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$