精品解析：湖南省邵阳市城步苗族自治县十校2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2025年八年级（下）期中学情质量监测 数学 温馨提示：本卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数． 2. 如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 3. 如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则点到的距离为（ ） A. 10 B. 2.5 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，角平分线的定义，直角三角形的性质， 作，根据尺规作图的步骤可知平分，根据角平分线的定义得，再根据含直角三角形的性质得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点H， 根据题意可知平分，且， ∴． 在中，． 所以点D到的距离是5． 故选：D． 4. 在平面直角坐标系内有一点A到x轴的距离是2，到y轴距离是4，且A点在第四象限内，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，第四象限点坐标的特征．熟练掌握点到坐标轴的距离，第四象限点坐标的特征是解题的关键． 由A到x轴的距离是2，到y轴距离是4，可得，，由A点在第四象限内，可得，，然后作答即可． 【详解】解：∵A到x轴的距离是2，到y轴距离是4， ∴，， ∵A点在第四象限内， ∴，， ∴点A的坐标是， 故选：A． 5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形， 根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，又是中心对称图形，所以符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意． 故选：A． 6. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定逐一判断即可求解． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则说法错误，故A选项不符合题意； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，则说法错误，故B选项不符合题意； C、对角线相等且平分的四边形是矩形，则说法错误，故C选项不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，则说法正确，故D选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键． 7. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】连接矩形的两条对角线，利用三角形中位线定理得到新四边形各边与矩形对角线的关系，结合矩形对角线相等的性质，推出新四边形四边相等，根据菱形的判定定理得到结果． 【详解】解：连接矩形的对角线和，设分别为矩形各边的中点． ∵分别是矩形各边的中点， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 9. 如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵等边，于点D，长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴新钢架减少用钢 ， 故选：D． 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与D关于直线AC对称， ∴DN=BN， 连接BD，BM交AC于N′，连接DN′， ∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值， ∴AC是线段BD的垂直平分线， 又∵CD=4，DM=1 ∴CM=CD-DM=4-1=3， 在Rt△BCM中，BM= 故DN+MN的最小值是5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 如图，，的垂直平分线交于，连接，若，则的度数为_________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据角的和差关系即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为，较短直角边长为6，则图中小正方形（空白区域）的面积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，求解小正方形的边长是解题的关键． 由勾股定理可求解直角三角形的较长的直角边，进而可求得小正方形的边长，即可求解面积． 【详解】解∶由勾股定理可得∶较长的直角边的边长为， 空自小正方形的边长为， 空白小正方形的面积为． 故答案为∶4． 13. 一个多边形从一个顶点可引对角线7条，这个多边形内角和等于_________． 【答案】##1440度 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和以及对角线，解题的关键是求得多边形的边数． 求得多边形的边数，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：一个多边形从一个顶点可引对角线7条，则多边形的边数为10， 则内角和等于： 故答案为： 14. 如图，在平行四边形中，，，平分交边于点，平分交边于点，则线段_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，，再根据等腰三角形的性质，利用即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 平分交边于点E，平分交边于点F， ，， ，， ， ， 故答案为：4． 15. 如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为________．（填一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，由，得出四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出答案，熟练掌握矩形的判定是解此题的关键． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形， 当或时，四边形是矩形， 故答案为：或（答案不唯一）． 16. 若点在轴上，则点位于第________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据x轴上点的纵坐标为0求出n，然后确定出点B的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴点为， ∴点B位于第二象限． 故答案为：二． 17. 如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定、勾股定理以及含有的直角三角形，先证明是菱形，过点作的垂线，交于点，利用勾股定理求出的长度，最后代入菱形面积公式即可． 【详解】纸条对边平行 平行于，平行于 是平行四边形 两条纸条宽度都为 是菱形 过点作的垂线，交于点，即 解得：， 故答案为：． 18. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，则的最小值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，即得到最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， ，分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，则，最小，即得到最小值， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 如图，，，垂足分别为C，D，与交于点O，，求证：． 【答案】 证明：， 在和中 ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用证明是解题的关键． 首先得到，然后证明出，进而求解即可． 【详解】略 20. 如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，则，再证明，即可证明． 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为． （1）写出点F的坐标． （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）由点D的坐标可知，，根据翻折的性质可知，由勾股定理可求得，进而可求出点F的坐标． （2）设，由折叠得，则，在△中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵点D的坐标为，在矩形中， ∴，， 由折叠的性质的可知：， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【小问2详解】 解：设，由折叠得，则， ∵， ∴， 在△中，， 解得： ， ∴． 22. 已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形． （1）你添加的条件是：______；（填序号） （2）添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 【答案】（1）① （2） 证明：在和中， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可知，再添加即可证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可； （2）证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可． 【小问1详解】 解：添加的条件是①：； 而②，③，根据已有条件无法证明三角形全等，无法判断四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：①． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等判定和性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 23. 如图，一架5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为3米． （1）此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ （2）如果梯子的顶端沿墙向上移动米，则底端向内移动多少米？ 【答案】（1）这架梯子的顶端距离地面有高 （2）底端向内移动了 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，勾股定理在直角三角形中的正确运用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （）根据勾股定理即可得到结论； （）先求出，再根据勾股定理求出的长，然后根据即可求解． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得， 即， ∴，负值舍去， 答：这架梯子的顶端距离地面有高； 【小问2详解】 解：，， 在中，由勾股定理得， 即， ∴，负值舍去， ∴， 答：底端向内移动了． 24. 如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是单位1． （1）按要求作图：关于轴对称的图形； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图所示， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握关于轴对称的图形的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可得到关于轴对称的图形； （2）将补成长方形，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1，进一步根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：关于轴对称图形， ∴即为所求作． 【小问2详解】 解：如图所示，将补成矩形，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1， ∴，，，，，， ∴， ， ， ， ∴， 即， ∴的面积为． 25. 【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上，线段上的8个格点中，是，两点的勾股点的有 　 　个． （2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】（1）4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）2，，，8． 【解析】 【分析】（1）根据新定义“勾股点”可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点与，能构成四个直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）略 （3）解：若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图， 为的中点，， ， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图， 为的中点， ， ． 综上所述，的长为2，，，8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理的应用，新定义“强勾股点”，直角三角形斜边中线的性质等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． 26. 已知正方形和正方形． （1）如图1，当正方形在正方形在外部时，连接，．求证：； （2）如图2，将（1）中正方形绕点C旋转，使点G落在上． ①若，，求线段的长； ②如图3，与交于点O，连接．判断线段与的数量关系并说明理由． 【答案】（1） 证明：在正方形和正方形中，，，， ，即， ； （2）4； 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质；掌握这些性质进行角和边关系的推理是解题的关键． （1）由正方形可得，，即可利用证明； （2）①作于点，由正方形性质可得，再由勾股定理求出，得到，最后由得到； ②连接，由正方形性质和得到，，再由点是、的中点，最后根据斜边中线性质得到，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图2，作于点， 在正方形和正方形中，，， ， ，， ，， ， ， 由（1）可得， ； ②，理由如下 在正方形和正方形中，，， ， 由（1）可得， ， ， ， 是、的中点， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年八年级（下）期中学情质量监测 数学 温馨提示：本卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 16 3. 如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则点到的距离为（ ） A. 10 B. 2.5 C. 6 D. 5 4. 在平面直角坐标系内有一点A到x轴的距离是2，到y轴距离是4，且A点在第四象限内，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 7. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 5 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 如图，，的垂直平分线交于，连接，若，则的度数为_________． 12. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为，较短直角边长为6，则图中小正方形（空白区域）的面积为__________． 13. 一个多边形从一个顶点可引对角线7条，这个多边形内角和等于_________． 14. 如图，在平行四边形中，，，平分交边于点，平分交边于点，则线段_________． 15. 如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为________．（填一个即可） 16. 若点在轴上，则点位于第________象限． 17. 如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_______． 18. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，则的最小值为 __． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 如图，，，垂足分别为C，D，与交于点O，，求证：． 20. 如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为． （1）写出点F的坐标． （2）求的长． 22. 已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形． （1）你添加的条件是：______；（填序号） （2）添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 23. 如图，一架5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为3米． （1）此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ （2）如果梯子的顶端沿墙向上移动米，则底端向内移动多少米？ 24. 如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是单位1． （1）按要求作图：关于轴对称的图形； （2）求的面积． 25. 【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上，线段上的8个格点中，是，两点的勾股点的有 　 　个． （2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长． 26. 已知正方形和正方形． （1）如图1，当正方形在正方形在外部时，连接，．求证：； （2）如图2，将（1）中正方形绕点C旋转，使点G落在上． ①若，，求线段的长； ②如图3，与交于点O，连接．判断线段与的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $