3.1《 等量关系和方程》 课件 2025—2026学年湘教版数学七年级上册

3.1 等量关系与方程 1.了解方程的概念，理解一元一次方程、方程的解的概念.（重点） 2.经历寻找等量关系、列方程的过程；（难点） 学习目标 情景1：为进一步推动全民健身，弘扬奥运精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛，比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分。若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分。 探究一：方程及一元一次方程的概念 问：（1）其中蕴含了怎样的等量关系？ 胜的场数得分+输的场数得分=总得分 （2）如何根据等量关系，列出等式求胜了几场？ 胜的场数+输的场数=总场数 可以设该队胜了 场， 则该队输了 场。 情景2：如图，这是一个长方体形的包装盒，长为1.2 m，高为1 m，表面积为6.8m2. 其中蕴含了怎样的等量关系？ （长×宽+宽×高+长×高)×2 =表面积 假设包装盒底面的宽是 m，则根据题意可得以下等式： 含有未知数的表示等量关系的等式叫做方程。 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1， 这样的整式方程叫做一元一次方程。 ①含有未知数 ②是等式 ①只含有一个未知数 ②未知数的次数是1 ③等号两边是整式 ③表示等量关系 判断下列式子是不是方程？ 我们把含有未知数的等式叫做方程. 两个必要条件 √ × × × 思考 2.4y + 2y + 2.4= 6.8 我们把只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程. 2.4y + 2y + 2.4= 6.8 观察上面的方程，你能发现它们未知数个数和未知数次数有什么共同特征？ ①只含一个未知数 ②未知数的次数是1 ③分母不含未知数 一元 一次 整式 特征 思考 下列哪些方程是一元一次方程？ （1） ； （3） ； （2） ； （4） ； （5） ； （6） ； √ × √ × × × ①2x2－5＝4；②－m＋8＝1；③x＝1；④x＋y＝1； ⑤x＋3>0；⑥2x2－2(x2－x)＝1；⑦ ；⑧πx＝12. ①只含有一个未知数； ②未知数的指数是 1； ③方程中的代数式都是整式. 判断一个方程是一元一次方程，化简后必须满足三个条件： √ √ √ √ 典例精析 例1 判断下列各式是不是一元一次方程： 1. 是一元一次方程，则 k = ________. 3. 是一元一次方程，k =_____. 2. 是一元一次方程，则 k =_____. 1 或 -1 -1 -2 注意：未知数的次数为 1，且系数不等于 0. 练一练 5.（福州·期末）“x 的 5 倍与 2 的和等于 x 的 与 4 的差”， 用等式表示为 . 4.（厦门·期中）已知长方形的长与宽分别为 16、x，周长为 40，根据条件，列出方程为 . 2(16 + x) = 40 练一练 探究2：填写下表： 合作探究 x 1 2 3 4 5 6 7 8 … 3x - 6 2x + 1 -3 3 0 5 3 7 6 9 9 11 12 13 15 15 18 17 … … 观察表格，当 x = 1 时， 3x - 6 = ； 当 2x + 1 = 11 时，x = ；当 x = 时，3x - 6 = 2x + 1. -3 5 7 方程的解 2 知识要点 总结 把方程的左边和右边分别看成多项式，找到一个数，将这个数代入方程，能使左、右两边的多项式的值相等，则这个数就是方程中未知数的一个值. x 1 2 3 4 5 6 7 8 … 3x - 6 2x + 1 -3 3 0 5 3 7 6 9 9 11 12 13 15 15 18 17 … … 当 x = 7 时，3x - 6 = 2x + 1. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元 400 年前后，传本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第 31 题就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔? (1) 找出，上述趣题中的等量关系； 兔的只数＋鸡的只数＝35； 兔的脚数＋鸡的脚数＝94. 做一做 设免有 x 只，则鸡有 (35－x) 只. 由于每只兔有 4 只脚，每只鸡有 2 只脚，并且笼子里总共有 94 只脚， 因此，可得如下一元一次方程： 4x + 2(35 - x) = 94 将方程左边的多项式整理得 4x + 2(35 - x) = 4x + (70 - 2x) = 2x + 70 (2) 适当设未知数，列出一元一次方程. 从而方程变成 2x + 70 = 94 怎么求出 x 的值？ 学以致用 练习 1.已知下列方程：① ；② ；③ ; ④ ;⑤ ；⑥ .其中属于一元一次方程的是_____________.（填序号） 学以致用 2.关于x的方程 是一元一次方程，则m的值为_____. 变式1：关于x的方程 是一元一次方程，则 m 的取值范围是________. 练习 变式2：关于x的方程 是一元一次方程，则 m 的值为________. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作,成书于公元400年前后，传本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第31题就是有趣的“鸡兔同笼”问题:有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.问笼中各有多少只鸡和兔? (1)找出上述趣题中的等量关系; (2)适当设未知数，列出一元一次方程. 能使方程左、右两边相等的未知数的值，叫方程的一个解. 做一做 解：(1)把x=300代入原方程得， 例 检验下列x的值是否是方程2.5x+318=1 068的解. 例题讲解 左边=2.5×300+318=1068， 所以x=300是方程2.5x+318=1 068的解. 左边=右边， (1)x=300; (2)x=330 (2)把x=330代入原方程得， 左边=2.5×330+318=1 143， 所以x=330不是方程2.5x+318=1 068的解. 左边≠右边， 课本P98 学以致用 1.判断下列各数是不是方程2x-6=7x+4的解： (1)x= 2 ______方程的解；(填“是”或"不是") (2)x= -2 ______方程的解. (填“是”或"不是") 练习 课本P98 练习 第3题 学以致用 4.下面左边x的值是右边哪个方程的解？请用线连接起来. 课堂练习 1. 下列各式中，是一元一次方程的有______(填序号). (1) ＋8＝3；(2) 18－x；(3) 1＝2x＋2； (4) 5x2＝20；(5) x＋y＝8；(6) 3x＋5＝3x＋2. 2. x＝2________方程 4x－1＝3 的解．(填“是”或“不是”) (1)(3) 不是 3. 若关于 x 的方程 (k－2)x|k－1| + 4 = 0 是一元一次方程， 则 k＝____. 0 4. 在一次植树活动中，甲班植树的株数比乙班多 20%，乙班植树的株数比甲班的一半多 10 株. 设乙班植树 x 株. (1) 列两个不同的含 x 的代数式，分别表示甲班植树的株数. (2) 根据题意列出含未知数 x 的方程. 解：(1) 根据甲班植树的株数比乙班多 20%，得甲班植树的株数为 (1 + 20%)x；根据乙班植树的株数比甲班的一半多 10 株，得甲班植树的株数为 2(x - 10). (2) (1 + 20%)x = 2(x - 10). (3) 检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和35株. (3) 把 x = 25 分别代入方程的左边和右边，得 左边 = (1 + 20%)×25 = 30， 右边 = 2×(25 - 10)=30. 因为左边 = 右边， 所以 25 是方程 (1 + 20%)x = 2(x - 10)的解. 这就是说乙班植树的株数是 25 株，从上面检验过程可得甲班植树的株数是 30 株，而不是 35 株. 课堂小结 $$