北京市第一六六中学2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题

高二年级 数学学科(试卷) 第1页 共 8 页 北京市第一六六中学 北京市第一六六中学 2024-2025 学年度第二学期阶段测试 高二年级 数学学科 （考试时长：120 分钟） 班级： 姓名： 考查目标 知识：计数原理 概率统计 圆锥曲线 函数与导数 绪论. 能力：数学抽象概括； 逻辑推理论证； 数学建模应用； 直观想象； 数学运算； 空间想象能力. 高二年级 数学学科(试卷) 第2页 共 8 页 北京市第一六六中学 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1. 全集U = R ，集合  23 5 2 0M x x x=  − − Z ，  lgN x y x= = ， 阴影部分表示的集合为 （A） 0 （B） ( 1,0− （C） 1,0− （D） ( )1,0− 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间 (0, )+ 上单调递增的是 （A） 1 ( ) x f x x= + （B） 1 ( ) x f x x= − （C） 2 1 ( )f x x = − （D） 2 ( ) 2 x f x x + = − 3. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确 的是 备注：两组样本数据的相关性越强，相关系数 r 的绝对值越大. （A） 4 2 1 30r r r r    （B） 2 4 3 10r r r r    （C） 4 2 3 10r r r r    （D） 2 4 1 30r r r r    4. 两个不透明的口袋中各自装有若干个除颜色外完全相同的小球，A 口袋中有 2 个白 球，3 个黑球，B 口袋中有 1 个白球，4 个黑球. 现从 A, B 两个口袋中各自随机抽取 2 个球，则四个球中恰有 1 个白球的概率为 （A） 0.36 （B） 0.52 （C）0.16 （D） 0.48 5. 用 0，1，2，3，4 组成一个无重复数字的三位数，要求个位与百位的数字为偶数， 十位数字为奇数，则共计可以组成的正整数的个数为 （A）4 （B）6 （C）8 （D）20 高二年级 数学学科(试卷) 第3页 共 8 页 北京市第一六六中学 6. 已知函数 ( ) 31 , 2, 4 l 2 g , , o a x x f x x x   =    ( )0 1a a 且 ，若其值域为 ( ),− + ，则实数a的取 值范围是 （A）  )2,+ （B） 1 0, 2       （C） )2, + （D） (1, 2 7. 已知函数 ( )f x 的定义域为R ， ( )2 1f = ，对任意 0 2x x 且 ， ( ) ( )2 ' 0x f x−  . 设 ( ) ( )g x x f x=  ，若 ( )g x 是偶函数，则函数 ( )f x 的 （A）奇偶性不能唯一确定 （B）单调递增区间不能确定 （C）极值点不能确定 （D）值域不能确定 8. 设函数 ( ) 21f x x= − ，直线 ( ): 1l y k x m= − + ，则“ 0m  ”是“直线 l 为曲线 ( )y f x= 的一条切线”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 9．已知函数 ( ) e ,xf x x= R . 设 a b ，设     2 2 2 2 ( ) ( )f a f b a b − −  = ，关于，以下说法中正 确的一个是 （A）肯定是负值 （B）设 a 为定值，的值随着b 的增大而增大 （C）肯定是正值 （D）既没有最大值，也没有最小值 10．已知函数 ( )f x x= ， ( )g x x x= − +2 3，若存在 , , , [ , ]nx x x 1 2 9 0 2 ，使得 ( ) ( )f x f x+ +1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nf x g x g x g x g x f x− −+ + = + + + +1 1 2 1 ，则 n的最大值为 （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11. 函数 ( ) 2 2 1x f x = − 的定义域为 ． 高二年级 数学学科(试卷) 第4页 共 8 页 北京市第一六六中学 12. 二项式 6 2 2 1 x x   −    的展开式中， 3x 的系数为 ． 13. 已知实数 ,a b满足 1a  且 1b  ，则 2 3 9 6log 3 loga bb a+ 的最小值为 ． 14．投掷一枚硬币，假设得到正面与反面的概率均为 1 2 . 现投掷这枚硬币三次，在仅有 一次掷得正面的条件下，第三次掷得反面的概率为 ． 15. 已知 ( )f x 是定义在 R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数 ( ) ( ) ( ) ( )a f x f a g x a x a − =  − R ，下列说法正确的有 ． ① 若 ( )f x 在 R 上单调递增，则存在实数 a ，使得 ( )ag x 在 ( , )a + 上单调递增 ② 对于任意实数 a ，存在 R 上的单调递减函数 ( )f x ，使得 ( )ag x 在 ( , )a + 上单调递增 ③ 对于任意实数 a ，若存在实数 1 0M  ，使得 1( )f x M ，则存在实数 2 0M  ，使得 2( )ag x M ④ 若函数 ( )ag x 满足：当 ( , )x a + 时， ( ) 0ag x  ，当 ( , )x a − 时， ( ) 0ag x  ，则 ( )f a 为 ( )f x 的最小值. 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（本小题 14 分） 已知函数 ( ) 3 23 24 1f x x x x= + − + . （I）求曲线 ( )y f x= 在点 ( )( )1, 1f 处的切线方程； （II）求 ( )f x 在区间  4,6− 上的最大值与最小值； （III）求证：在 y 轴右侧（不含 y 轴），除切点 ( )( )1, 1f 之外，曲线 ( )y f x= 在（I）中 切线的上方. 高二年级 数学学科(试卷) 第5页 共 8 页 北京市第一六六中学 17．（本小题 13 分） 篮球比赛是同学们非常喜爱的体育比赛之一，某校举办定点投篮比赛，规定两个投 篮地点：罚球线上，弧顶处三分线上。罚球线上投中一球得 1 分，弧顶处三分线上投中 一球得 3 分。学生小北在罚球线上单次投篮投进的概率为 60%，在弧顶处三分线上单次 投篮投进的概率为 20%，各次投篮之间独立。 （I）第一轮比赛规定，小北有三次在弧顶处三分线上投篮的机会，设 X 表示小北三次 投篮的总得分，求随机变量 X 的分布列与数学期望； （II）第二轮比赛规定，小北共有四次在罚球线上投篮的机会，但若连续两次不进就会 失去剩余投篮机会，求第二轮比赛中小北总共得 2 分的概率； （III）另一名学生小墨在罚球线上单次投篮投进的概率为 40%，在弧顶处三分线上单次 投篮投进的概率为 40%. 小北在罚球线上和弧顶处三分线上各投篮五次，这十次投篮总 得分的期望值记为 ( )E B ，同样，小墨在完成同样的十次投篮后总得分的期望值记为 ( )E M ，试比较 ( )E B 与 ( )E M 的大小关系．（结论不要求证明） 18. （本小题 13分） 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛 10 场，规定每场比赛分数最高者获胜，三 人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 （I）从上述 10 场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； 高二年级 数学学科(试卷) 第6页 共 8 页 北京市第一六六中学 （II）在前 5 场比赛中任选两场，设 X 表示乙获胜的场数，求 X 的分布列和数学期望 ( )E X ； （III）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用频率估计概率. 甲、乙、丙三人 接下来又进行 6 场投篮比赛，设 1Y 为甲获胜的场数， 2Y 为乙获胜的场数， 3Y 为丙获胜的 场数，写出方差 ( )1D Y ， ( )2D Y ， ( )3D Y 的大小关系. 19. （本小题 15 分） 已知椭圆 ( ) 2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b + =   离心率等于 1 2 ， ( ) ( )2,3 , 2, 3P Q − 是椭圆C 上的两 点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ） ,A B 是椭圆上位于直线 PQ 异侧的动点. 当 ,A B 运动时，满足 APQ BPQ =  ，试 问直线 AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说 明理由. 20. （本小题 15 分） 已知函数 ( ) ( ) ( )2 1 ln 0, 2 f x kx x k k= −  R . （I）讨论函数 ( )f x 的单调性； （II）设 0k  ， （i）若函数 ( ) 0f x  恒成立，求实数 k 的取值范围； （ii）若函数 ( )f x 有零点，求证：函数 ( ) ( ) 1 4 g x f x x = + 在 3 0, 3        上无零点. （取 ln 2 0.693= ， ln3 1.098= ， ln5 1.609= ） 高二年级 数学学科(试卷) 第7页 共 8 页 北京市第一六六中学 21．（本小题 15 分） 数列 nA ： 1 2, , , ( 2)na a a n≥ 满足： 1 ( 1,2, , )ka k n = ．记 nA 的前 k 项和为 kS ， 并规定 0 0S = ．定义集合 *{nE k= N ， |k n≤ k jS S ， 0,1, , 1}j k= − ． （Ⅰ）对数列 5A ： 0.3− ， 0.7 ， 0.1− ， 0.9 ， 0.1，求集合 5E ； （Ⅱ）若集合 1 2{ , , , } ( 1n mE k k k m=  ， 1 2 )mk k k   ， 证明： 1 1 ( 1,2, , 1) i ik k S S i m + −  = − ； （Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足 nS C 的数列 nA ，求集合 nE 的元素个数的最小值． 高二年级 数学学科(试卷) 第8页 共 8 页 北京市第一六六中学 草 稿 纸