云南师范大学附属中学2026届高三下学期适应性考试（二）数学试题

云南师大附中2026届高三适应性考试（二） 数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求 1.若复数z满足i·z=3-4i,则z=() A.1 B.5 C.7 D.25 2.设U={x∈Nx<7,A={3,4,5},则A=() A.{0,1,2,6} B.{0,12 C.{1,2,6} D.{1,2} 3.下列函数中，既是偶函数又在(0，+o)单调递增的是() A.y=x B.y=x +1 C.y=-x2+1 D.y=2州 4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5，则 MF=() A.7 B.6 C.5 D.4 5.在△6C中，A=45,BC=V0,B=32 C,则△ABC的面积是() 2 A C.3 D.12 6.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为 420π，则圆台较小底面圆的半径为（) A.3 B.5 C.6 D.7 7.点P在以AB为直径的单位圆上运动，则PA+PB+PAPB的最大值为() A.2W2 B.3√2 C.2+22 D.2+3√2 1 8.已知角a,B满足ana=32sinB=cos(a+P)sina,则tamf=（) A青 B. 6 c D.2 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.已知椭圆C:女+父=1的两个焦点分别为R,5,点P为C上的动点，以下正确的是 43 () 试卷第1页，共4页 A.椭圆C离心率为号 B.△PFF的周长为6 CP阳的放小值为 D.△PFF面积的最大值为√ 10.已知采用分层随机抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据 x(i=1,2,…,m)的平均数为x,方差为s;第二部分样本数据y(i=1,2,…,n)的平均数为y, 方差为S,设x≤交，s<s,则以下命题正确的是() A.设总样本的平均数为z,则x≤≤ B.设总样本的平均数为z,则z2≥x·少 C.设总样本的方差为s2,则s≤s≤s D.若m=”元=，则2=+ 2 11.某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒包装盒如图所示，是由等高的半个 圆柱和}个圆柱拼接而成，其中四边形ABCD是边长为4的正方形，点G是弧CD上的动 点（包括端点），且G在平面CED内，则下列说法正确的有() A.若点G为弧CD的中点，则平面BFD⊥平面BCG D B.存在点G,使得BGDF E C.不存在点G,使得直线CF与平面BCG所成的角为60 D.当点G到平面BDF的距离最大时，三棱锥G-BDF外接球 的半径R=23 B 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，向量e,e,，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，请用基底e,g,表示 'er 13.已知将函数fx)=c0s(2x+)的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于原 3 点对称，则常数P的一个取值为 试卷第2页，共4页 14.已知圆O:x2+y2=2,过点M(-3,1)的直线1交圆0于A,B两点，且MA=2MB, 则直线1的方程为一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{a.}满足a2+4。=12,a。=8,数列bn}满足b=1,bn+1=2+bn· (I)求数列{an}前n项和Sn: (2)求数列b,}的通项公式. 16.(本小题满分15分) 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种 野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽 取20个作为样区，调查得到样本数据(x,y)=1,2,·,20),其中x,和y分别表示第i个 样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得乃x=60,乃，=1200， 3c-9=80a y-=900. 2G5-0-列=80. i=1 (①)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动 物数量的平均数乘以地块数)： (2)求样本(x,y)i=1,2,,20)的相关系数（精确到0.01）： (③)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地 区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由. ∑(x-x0y-) 附：相关系数 2≈1.414. 2-2,- 试卷第3页，共4页 17.(本小题满分15分) 如图，在正方体ABCD-AB,CD中，P,Q均为线段AC上的动点（不含端点），AQ>AP. (I)证明：BD⊥B,2 (②)设∠PDQ=,CP= 6'CA 入，名：试探究风+业-2)是否为定值，若是，求出该定值 若不是，说明你的理由. D 18.(本小题满分17分) 设函数f(x)=2x2+alnx(a∈R). (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=2x+m,求实数a,m的值： (2)求证：f(x)>xsinx+anx; (3)关于x的方程f(x)+2Cosx=5能否有三个不同的实根？证明你的结论. 19.(本小题满分17分) x2 y2 已知双曲线C:荐-=a>0,6>0)的左右顶点为4B,且|1B2,双曲线C的一条 渐近线的斜率为√2，过点R(2,O)的直线I交双曲线C于M,N两点，O为坐标原点， (①)求双曲线C的方程； ②若双曲线C上存在点刀，且OT=2OW+ON,求此时直线1的方程： 8 ()过点R2,0)的直线乙交双曲线C于P,Q两点，直线？的斜率为(<：<1)，直线 的斜率为k,且太名=子，求M,NRPQ风的最小值。 试卷第4页，共4页 云南师大附中2026届高三适应性考试（二） 数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B A D ABD AD ACD 3-4i(3-4)(-i) 1.B【详解】由题意有z= i(-i) =4-3i,故1z4}+(-3}=5 故选：B 2.A【详解】由题意知U={x∈Nx<7}={0,1,2,3,4,5,6},A={3,4,5}, 所以CA={0,1,2,6}.故选：A 3.B【详解】对于A,函数y=x是奇函数，A不是： 对于B,函数yx+1是偶函数，在(0，+o)上单调递增，B是； 对于C,函数y=-x2+1是偶函数，在(0，+∞)上单调递减，C不是； 对于D,函数y=2是偶函数，在(0，+∞)上单调递减，D不是故选：B 4.D【详解】因为抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2,点M在C上， 所以M到准线x=-2的距离为MF,又M到直线x=-3的距离为5，所以MF+1=5，故 MF=4.故选：D. 5.C【详解】由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC.cosA, 得94C2+AC2-2x324C2cos=10,解得4C=2,则AB=32. 2 所以△ABC的面积为S-)AB4C-Sim4=×2x3N2×5=3.故选：C 2 2 2 6.D【详解】设圆台较小底面圆的半径为r,较大的底面圆的半径为R, 因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，可得2πR=3×2,所以R=3r, 又因为圆台的侧面积为420π，可得S侧=π(r+R)1=4w×15=420π，解得r=7.故选：D. 7.C【详解】因为点P在以AB为直径的单位圆上运动，所以P42+PB2=4,由均值不等式 4=PA2+PB2≥2PA·PB,所以PAPB≤2，当且仅当PA=PB=√2时，“=”成立. (PA+PB)2=PA+PB2+2PAPB=4+2PA·PB≤8，所以PA+PB≤2√2，当且仅当 PA=PB=√2时，“=”成立，所以PA+PB+PAPB≤2+2√2，故选C 答案第1页，共8页 8.C【详解】因为2sinB=cos(a+B)sina,即2sin[(a+B)-a=cos(a+B)sina, 2sin(a+B)cosa-2cos(a+B)sina cos(a+B)sina, 整理得2sin(a+B)cosa=3cos(a+B)sina,变形得an(a+B)=tana= 1 2 所0-ma+-小-：C 9.【答案】ABD 【详解】由题可得a=2,b=√3， 对于A,由椭圆方程可得：c=厅-F=1,则椭圆C离心率为故A正确： 对于B,△PFF的周长CPF5=PF+PF+EF,由椭圆的定义可得PF+PF=2a, 则C,s5=2a+2c=4+2=6,故B正确： 对于C,PF最小值为a-c,即PF的最小值为1，故C错误； 对于D,P听的面积Sm5=注意到0≤小s5,则C%≤5，故 D正确.故选：ABD 10.【答案】AD 【解析】对于A选项，因为，所以2=mx+”<m+”少=) m+n m+n m+n m+n 五=mx+”2mx+”x=x,即x<灯，A正确： m+n m+n m+n m+n 对于B选项，取第一部分数据为1,1,1,1,1，则x=1,s=0, 取第二部分数据为-3,9，则少=3，S2=36, 则-1+x时-招<3=，8不正确： 对于C选项，取第一部分数据为-2，-1,0,1,2，则x=0,s2=2, 取第二部分数据为1,2,3,4,5，则少=3,3=2， 则z=mx+n 0x045x 3 —×3= m+n m+n1010 2 +e]40-r品e+骨高+-骨2=，c不和 m+n 9+52+分- 44 确： 答案第2页，共8页 对于D选项，若m=n,x=),则 ==产+-门n+0-门兰，0正确赦途0 2 11.【答案】ACD 【解答解：连接EC,若点G为弧CD的中点，则∠ECD=∠GCD=45°，所以∠ECG=90°， 即EC⊥CG,因为BF∥EC,所以BF⊥CG,又BF⊥BC,BCOCG=C,所以BF⊥ 平面BCG,BFC平面BFD,则平面BFD⊥平面BCG,故A正确： 假设存在点G,使得BG∥DF,则B,G,D,F四点共面，又该几何体上下两个底面平行， 且BF,DG为平面BGDF与这两个底面的交线，所以BF∥DG,则四边形BGDF为平行四 边形，则有BF=DG,这显然不成立，故B错误； 假设存在点G,使得直线CF与平面BCG所成的角为60°，以A为原点， AF,AB,AD方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，则F(4,0,0), B(0,4,0),C(0,4,4),设∠GCD=0, 则G(-4sin0cos0,4-4cos20,4),所以CF=(4,4,-4),BC=(0,0,4), BG=(-4sin0cos0,-4cos20,4), 设平面BCG的法向量为m=(x,y,z)， 则 「z=0, -4xsim0cos日-4ycos20=0,令y=sin0，则x=-cos0,即 =(-cos0,sin,0), 依题意|cos<CF,mH -4c0s0-4sine Isine+cosol 3 43.cos20+sin20 5 2, 整理得s如20-？，这与$血20∈0，矛盾，所以假设不成立，故C正确 当点G到平面BDF的距离最大时，点G位于点C,三棱锥G-BDF,即三棱锥C-BDF, 即三棱锥F-BDC,可将其补型为一个以AF,AB,AD为同一个顶点出发的三条侧棱的正 方体，棱长为4，其外接球半径R=2√3，故D正确.故选ACD. 12 13 14 2g+4g (答案不唯一) y=1或3x+4y+5=0 6 答案第3页，共8页 12.【答案】2g+4e2 【解析】解：假设竖直向上的一个向量。的起点与终点在网格的格点上， 且长度为最小正方形边长， 那么6=名-名，所以有店=日+6， 那么a=-2g+4名=2g+46.故答案为：26+48： 13.【答案】君/答案不唯- 【解析】将函数f)=c0s(2x+)的图象向右平移子个单位长度得到 y=cas2x-孕+p例=cos2x+p-2的图象， 3 又y=cos(2x+p- 上)的图象关于原点对称，所以p _2r=π+kπ，k∈Z, 32 即9十km,ke乙，当k=-1时，夕=石 6 14.【答案】y=1或3x+4y+5=0. 【解析】由题意得圆心O(0,0),半径r=√2，MO=0>√2，故点M在圆O外， 设点O到直线l的距离为d, 由M=2MB得BH4B,即2P-t-子wor-, 即3√2-d2=√10-d2,解得d=1, 当直线1的斜率不存在时，即x=-3,此时d=3，不符合题意； 13k+1=1, 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=x+)+1，则厌 解得名=0，名=子放直线的方程为y=1或y=+9列+1， 即y=1或3x+4y+5=0,综上所述，直线1的方程为y=1或3x+4y+5=0, 15.解：()等差数列{an}满足a2+ao=12,ag=8, 可得2a6=12,即a6=6, 则2d=as-a6,解得d=1, …3分 所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n,即an=n, …5分 答案第4页，共8页 数列{a}的前n项和为S,=a+a）_”2+n …7分 2 2 (2)由（①）可得b+1=2”+bn,即bn1-bn=2”, …8分 则当n≥2时，b.=b+(亿2-b)+(亿-b2)+…+(b。-b-) =1+2+4+…+20-1=1-2” 1-2 =2"”-1, …10分 当n=1时，2-1=1=b,也符合， 即bn=2”-1(n∈N*). …13分 16.解：①)由已知， 2y=1200, 20个样区野生动物数量的平均数为)0∑y=0×1200=60, .该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000； ………3分 ∑0y,-y)2=9000, 2x-0-0=800, (x,-- i=1 800 8002V2 ..r= V80×9000600v23 ≈0.94 ；…10分 =1 (3)更合理的抽样方法是分层抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块 进行分层抽样 理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地 块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的 方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地 区这种野生动物数量更准确的估计· …15分 17解：（①）证明：连接AB,B,C,AB, 在正方体ABCD-AB,CD中，AD⊥平面ABBA,AB,在平面ABBA,则AD1⊥AB1 又AB⊥AB,AB∩AD1=A,都在平面ABD1内， 所以AB⊥平面ABD1,又BD在平面ABD1,所以AB⊥BD. 同理可得CB1⊥BD1,因为AB∩CB1=B1,都在平面ACB内， 答案第5页，共8页 所以BD⊥平面ACB, 又因为B,QC平面ACB,所以BD1⊥B1Q. …7分 (2)解：(2+1)4-2)为定值-3，证明如下： 连接AD,CD.设LADP=a,则∠ADQ=a+6, 易知△AD,C是正三角形，则∠CD,P=T -a,∠CDQ=-a,其中ae 6 因为C SAD CP CD1·D1Psin √3-tana P= S△DAP AD1·D1 Psina sina 2tano CP V3-tana 所以入= AC V3+tana Q_S△DcQ 同理可得AQ (G-a sin 1-√3tana CQ1-v3tana, SADAQ sin a+ 1+V3tana'μ= AC 2 故(w-2(A+1)=-3-V3tana 23 2 -=一3，为定值.…15分 V3 tano 18,解：(1/回=4+，f四=2， 所以代入切线方程有2×1+m=2,m=0, …2分 又切线斜率为2，所以4×1+a=2,故a=-2. …4分 (2)要证f(x)>xsinx+anx, 即证2x2+alnx>xsinx+alnx,即证，当x>0时，2x2>xsinx,即证2x>sinx, t(x)=2x-sinx,t'(x)=2-cosx>0, 故(x)在(0，+∞)上单调递增，t(x)>t(0)=0, 故f(x)>xsinx+alnx ……9分 (3)不可能有三个不同的实根，证明如下： 令g(x)=f(x)+2cosx,x∈(0，+∞)： 如果g(x)=5有三个不同的实根，则g(x)至少要有三个单调区间， 则g(x)=0至少有两个不等实根， 所以只要证明g'(x)=0在(0，+∞)上至多有一个实根即可. 答案第6页，共8页 g()=4+4-2sinz, 令t)=4r+9-2simx,则）=4-2cosx-是， 当a<0时，4-2cosx>0,2>0, ∴.t(x)>0,∴.g(x)在(0，+o)上单调递增， ∴.g'(x)=0在(0，+∞)上至多有一个实根： 当a≥0时，由(2)得y=4x-2sinx>0,又“当a≥0时，≥0， .d()=4r+4-2sin >0, ∴.g(x)=0在(0，+∞)上没有实根. 综上所述，g'(x)=0在(0，+∞)上至多有一个实根，所以f(x)+2cosx=5不可能有三个不 同的实根得证， …17分 2a=2 19.)由题意， =V2,解得a=l,b=√2， 6 a 则双曲线C的方程为r_ 21 …3分 (2)当直线1的斜率为0时，M(-1,0),N(1,0), 此时O成+O示=0.0，显然不存在点T满足O7=Y2(O+ON): 8 则直线1的斜率不为0，设直线1的方程为x=4y+2,M(x,乃)，N(x2,2), x=ty+2 联立 =1，得(2-1)y2+8t1y+6=0, 2 210,4=6-424-)×6=16胎+24>0，即6≠士 8t1 6 h+=2-1h欧=24-1’ 4 +2=+2+2+2=4助+抛)+4三22-十4三2好 又Oi=(x1,,ON=(a2,2), 答案第7页，共8页 则7-o+O丽)-号+n+切 V2(2-12t-1 即T 2t1 V2(2t号-1)'2t-1 代入-=1， 2 2 V2t 得 1 2t-1 v2(2号-1) 解辆片=该-即=士受合去)或=号 则直线4的方程为x=±乞y+2,即2x士y-4=0, …9分 (③)由(2)知，设直线4的方程为x=y+2,M(x,y),N(x2,y2), 8t1 6 边+次= 2-五h=2-1' 显然直线l2的斜率不为0，设直线2的方程为x=t2y+2,P(x,乃)，Q(x4,y4), 8t2 6 同理可得欢+1=25-五=2号-1' 由6=有<1， 则=-3,1<4<2，即白=3， 右3<2<2，】 6 1+号 所以M-W=V1+行：MV1+行：的=1+分2二司=62号-， 6 1+t号 1P1Q=V1+号V1+号：m=+)g-可=62端-， 所以-PR-IO=66 是=36：，强+月+号+1 4tt号-2(t+)+1 10++号 9 =36 37-2将+均，令u=听+号=号+房，1<号<1， 因为函数y=x+?在L,3)上单调递减，在(3,4)上单调递增， 且x=1时，y=10:x=3时，y=6；x=4时，y=2 ,则u∈6,10)， 4 10+u=36 所以MR-NRPR1QR=f=36·37-2t [1 57 2+237-2m' 函数f(4)在[6,10)上单调递增， 则=G-密.即M风N图PQ西的最小值为 ,…17分 答案第8页，共8页