精品解析：辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷

2024~2025学年度下学期高一年级6月份考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答无效． 4．本卷命题范围：人教B版必修第三册，必修第四册第九章~第十一章第1节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚数单位的运算性质化简已知等式，再通过复数的除法运算法则求出. 【详解】由可得， 可得. 故选：D. 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量垂直的坐标表示列方程，求参数值. 【详解】由题设，可得. 故选：A 3. 以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘高求出即可； 【详解】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径，高， 侧面积， 故选：D. 4. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，其中，，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，分析出原图形中的位置及数量关系，再根据三角形面积公式计算即可. 【详解】在直观图中，在轴上且， 所以在原图形中，在轴上，且， 在直观图中，在轴上且， 所以在原图形中，在轴上，且， 并且原图形中， 所以. 故选：A 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式，把，再结合正弦函数的单调性可比较的大小，再引入1，可判断与的大小. 【详解】根据诱导公式，可得. 因为函数在上单调递增，所以 . 又在上单调递增，所以， 所以. 故选:D 6. 如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，取AC的中点D，可得BD⊥平面，分别计算四棱锥的体积与正三棱柱的体积，即可得解. 【详解】正三棱柱中，设， 取AC的中点D，连接BD， 则BD⊥AC，BD＝，， 正三棱柱体积， 平面ABC，BD平面ABC，则BD， 又BD⊥AC，，平面，则BD⊥平面， ， 则四棱锥的体积． 故选：B． 7. 如图，小胡同学为了测量地面上一栋大楼AB的高度（大楼AB垂直于地面），在与楼底同一水平面内选取两个测量基点和，在点测得大楼顶部的仰角是，在点测得大楼顶部的仰角是，测得水平面上的米，则该大楼的高度为（ ） A. 37米 B. 38米 C. 39米 D. 40米 【答案】B 【解析】 【分析】设出大楼高度，然后分别表示出相关线段长度，最后在中利用余弦定理列出方程求解. 【详解】设大楼米. 在中，因为在点测得大楼顶部的仰角是，，，所以. 在中，因为在点测得大楼顶部的仰角是，，，所以.  已知在中，，米，根据余弦定理. 将，，代入上式可得：， 即，移项可得，即，解得 得到，（高度不能为负舍去）.  该大楼的高度为38米. 故选：B. 8. 已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】以菱形的对角线为坐标轴，对角线的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及基本不等式求解即可. 【详解】解：由，可建立如图所示平面直角坐标系， 设，， 则， 所以， 则 ， 故， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一个多面体至少有4个面 B. 圆柱的母线与它的轴可以不平行 C. 用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面 D. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 【答案】AC 【解析】 【分析】根据多面体和旋转体的定义判断即可． 【详解】对于A，多面体至少有4个面，故A正确； 对于B，圆柱的母线与它的轴平行，故B错误； 对于C，用任意的平面截一个球得到的截面都是一个圆面，故C正确； 对于D，满足条件的几何体可能是组合体，如图所示，故D错误． 故选：AC． 10. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，由，所以C不正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：AD. 11. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则角的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由是锐角三角形，可得，取正弦化简判断，对于B，由题意可得，化简变形后进行判断，对于C，由选项A可知，两边加上，化简进行判断，对于D，利用余弦定理结合基本不等式分析判断. 【详解】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，同理可得， 所以，故A正确； 对于B，因为是锐角三角形，所以， 所以， 所以，又，， 所以，故B错误； 对于C，因为是锐角三角形，所以， 所以，所以， 所以， 又，所以，， 所以，故C正确； 对于D，因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，又，所以角的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数为纯虚数，则实数的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】因为为纯虚数，则，解得. 故答案为：. 13. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上､下底面周长分别为的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用台体的体积公式直接计算即得． 【详解】依题意，该四棱台的上、下底面边长分别为，，而棱台的高为， 所以该香料收纳罐的容积为． 故答案为： 14. 已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过逐步分析画出在一个周期内的函数图象，根据长度的最小值得到等量关系，解方程可得结果. 【详解】令，则原函数可化为， ∴，的最小正周期为， 作出在上的函数图象，如图1， ∴在上的函数图象如图2， 由得，，的最小正周期为，故在的图象如图3， 如图，当点为一个周期内的最高点和最低点时，的长度最小，此时， ∵， ∴，即，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，． （1）若，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知：，，进而可求和其模长； （2）整理可得，结合复数的几何意义运算求解. 小问1详解】 由题可知：，，则， 所以． 【小问2详解】 由题意可知：， 因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得， 故实数m的取值范围为． 16. 已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意设，结合模长公式即可列式求解参数，进而得解； （2）对已知等式两边平方并化简可得，利用转换法可求的模，根据数量积的运算律可求得与的数量积，结合向量夹角公式即可得解. 【小问1详解】 因为，且，所以可设，， 所以，解得， 所以或． 小问2详解】 因为，所以，所以， 又，所以，解得， 又，所以， 又， 设与的夹角为，所以， 即与的夹角的余弦值为． 17. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若方程在有两个根，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由给定对称性求出即可. （2）利用正弦函数的单调性列出不等式，求解即得. （3）探讨函数在上的性质，借助直线与函数的图象交点问题求解. 【小问1详解】 函数， 由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由，解得， 所以函数的单调递减区间是. 【小问3详解】 当时，，由，得， 则函数在上单调递增，函数值从增大到0，在上单调递减，函数值从0减小到， 当时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程在有两个根， 所以的取值范围. 18. 如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2． （1）求挖掉的正三棱柱的体积； （2）求该几何体的表面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由三棱柱的体积公式计算即可； （2）根据几何图形性质解得圆锥底面圆半径和圆锥高，利用圆锥表面积、矩形的面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为正三棱柱的底面边长为，高为2， 则， 所以正三棱柱的体积． 【小问2详解】 在正三棱柱中，由（1）知，， ， 设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形的中心，设圆O半径为， 有，即， 令的中点为，连接，则， 且，，， 于是，解得， 则圆锥的母线长， 圆锥的底面圆面积，侧面积， 三棱柱的表面积为， 所以该几何体的表面积为： . 19. 在中，是边上靠近的三等分点. （1）若，证明：； （2）若. （i）求面积的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由已知，可得，在利用余弦定理可得，化简即可； （2）（i）由已知，在中，由余弦定理可得，再利用基本不等式得，则，即可求得面积的最大值；（ii）在中， 由正弦定理，可得，由，利用余弦定理，可得，可得，即可求得的最小值. 【小问1详解】 因为是边上靠近三等分点，所以， 所以， 设内角的对边分别为，则， 所以，即， 在中，由余弦定理得， 所以， 化简得， 即. 【小问2详解】 （i）在中，由余弦定理得， 又， 所以， 当且仅当，即为等边三角形时等号成立， 所以， 又是边上靠近的三等分点， 所以， 即的面积的最大值为. （ii）在中，， 由正弦定理，得， 又， 所以， 因为，所以， 由余弦定理，得， 将代入上式，化简得， 所以 ，其中， 当，即时，取得最小值， 的最小值为. 【点睛】关键点点睛：（2）（i）由余弦定理可得后，再利用基本不等式得；（ii）因为，得到，利用余弦定理角化边，再将由正弦定理得到的代入，化简为，求得的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度下学期高一年级6月份考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答无效． 4．本卷命题范围：人教B版必修第三册，必修第四册第九章~第十一章第1节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 3. 以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，其中，，则的面积为（ ） A 6 B. 9 C. 12 D. 15 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小胡同学为了测量地面上一栋大楼AB的高度（大楼AB垂直于地面），在与楼底同一水平面内选取两个测量基点和，在点测得大楼顶部的仰角是，在点测得大楼顶部的仰角是，测得水平面上的米，则该大楼的高度为（ ） A. 37米 B. 38米 C. 39米 D. 40米 8. 已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一个多面体至少有4个面 B. 圆柱母线与它的轴可以不平行 C. 用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面 D. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 10. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ） A. B. C D. 11. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则角的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数为纯虚数，则实数的值为_______． 13. 某款厨房用具中香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上､下底面周长分别为的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________. 14. 已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，． （1）若，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围． 16. 已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且，求与的夹角的余弦值． 17. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若方程在有两个根，求的取值范围. 18. 如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2． （1）求挖掉正三棱柱的体积； （2）求该几何体的表面积． 19. 在中，是边上靠近的三等分点. （1）若，证明：； （2）若. （i）求面积的最大值； （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$