精品解析：广东省揭阳市惠来县第一中学2024-2025学年高一下学期第2次阶段考（6月月考）数学试题

2024—2025学年度第二学期惠来一中第2次阶段考 高一数学试题 （本试题满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得， 故复数z对应的点为，位于第二象限. 故选：B 2. 已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用方差计算公式即可得解. 【详解】令样本数据的平均数为，则，而， 因此，又样本数据均为正数，所以. 故选：C 3. 圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据侧面积公式求解即可. 【详解】依题意，设圆台较大底面的半径为，较小底面的半径为，则， 故. 故选：D 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理结合三角恒等变换可得，可求. 【详解】由，可得， 所以， 所以， 所以，因为，所以， 所以，所以，所以， 因为，所以，所以，所以. 故选：B. 5. 已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式计算即可求解． 【详解】设7个数为， 则， ， 所以， 所以， 则这个数的平均数为， 方差为． 故选：A． 6. 在中，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知数据结合余弦定理直接求解即可. 【详解】在中，， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：C. 7. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为，是夹角为的两个单位向量， 所以， 故， ， ， 故 ， 由于 ，故. 故选：B. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在上的投影向量为 D. 当与的夹角为锐角时，的取值范围为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据判断A，根据向量共线的坐标表示判断B，根据投影向量的定义判断C，根据且不同向判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：当时，，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确． 对于D：当与夹角为锐角时，则，解得，此时向量不同向， 所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为，故D正确； 故选：ACD． 10. 某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论正确的是（ ） A. 成绩在上的人数最多 B. 成绩不低于70分的学生所占比例为70% C. 50名学生成绩的平均分小于中位数 D. 50名学生成绩的极差为50 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出频率，A项可由各矩形高度可判断 ；B项由频率计算可判断；C项分别求出平均数、中位数比较可判断；D项由极差定义可判断. 【详解】设组的频率为，则由各组频率之和为1可得 ，解得； ，，，，各组频率依次为：，，，，： 对于A，组频率最大，即成绩在上的人数最多，故A正确； 对于B，成绩低于70分的学生频率为，即不低于70分的学生频率为， 所以成绩不低于70分的学生所占比例为，故B正确； 对于C，根据频率分布直方图，可得50名学生成绩的平均数是， 由，故50名学生成绩的中位数为80， 所以50名学生成绩的平均分小于中位数，故选项C正确； 对于D，极差为数据中最大值与最小值的差， 已知50名学生的成绩都在区间内， 但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是50，故极差小于等于50， 但不一定等于50，故D错误. 故选：ABC. 11. 过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则点O是的重心 B. 若，，两两垂直，则点O是的垂心 C. 若，，，则三棱锥的外接球的表面积为 D. 若，则二面角的大小为 【答案】BC 【解析】 【分析】A.由条件判断，即可判断A；B.根据垂直关系，结合垂心的定义，即可判断B；利用补体法，即可判断C；根据二面角的定义，构造二面角的平面角，判断D. 【详解】A.若，则，所以点是的外心，故A错误； B.作平面，连结，平面，所以， 因为，，，平面，所以平面，平面，所以， ，平面，所以平面，平面， 所以，同理，所以点是的垂心，故B正确 C. 若，，，根据对棱相等，如图，将三棱锥放置在长方体中，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是同一个外接球， 设长方体的棱长分别为， 则，所以， 所以，则外接球的表面积，故C正确； D. 设，取的中点，连结， 则，，所以为二面角的平面角， ，，所以不等于，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若为纯虚数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据为纯虚数求出的值，再根据复数的模长公式求解即可. 【详解】因为为纯虚数，则，则. . 故答案为：. 13. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，线段EF的长度为1，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则即可求解. 【详解】 因为E，F分别为AD，BC的中点，所以 所以， . 故答案为：. 14. 如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： ①有水的部分始终为四棱柱形； ②没有水的部分始终呈棱柱形； ③水面所在四边形的面积为定值； ④棱始终与水面所在平面平行； ⑤当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．其中所有正确命题的序号是_________． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】根据题意，结合棱柱的几何特征，线面平行，棱柱体积进行判断. 【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形， 在（3）图中有水的部分始终为三棱柱形，所以①错误 将长方体以边将容器倾斜，平面平面,没有水的部分呈现为四棱柱至五棱柱棱柱最后四棱柱，所以②正确； 因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化， 所以水面四边形的面积是变化的，③错误； 因为棱,在水面中，， 所以棱平面平面， 所以棱始终与水面所在平面平行，所以④正确； 因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，所以底面积也不会变，即是定值，所以⑤正确； 故答案为：②④⑤. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求； （2）当为何值时，与垂直? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再由及数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以，则， 所以； 【小问2详解】 当与垂直时， 则有， 解得． 16. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD. （1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； （2）求证：AD⊥PB. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用线面垂直证明线线垂直. 【小问1详解】 连接, ∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°， ∴△为等边三角形， 又 ∵G为AD的中点， ∴ BG⊥AD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD. 【小问2详解】 如图，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD. 由（1）知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB， ∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB. 17. 为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名同学体能成绩分数的平均分和第66百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差． 【答案】（1）平均数为，第66百分位数为73 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意先求出，进一步结合平均数公式、百分位数的定义即可列式求解； （2）首先算出抽样比，再根据加权平均公式以及方差的性质即可列式求解. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 可知每组的频率依次为： 所以平均数为， 因为， 设第66百分位数为，则，则， 解得，故第66百分位数为73． 【小问2详解】 设第二组、第四组同学成绩的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为， 则第二组和第四组所有同学成绩平均数， 第二组和第四组所有同学成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有同学成绩的方差是． 18. 如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. （1）求证:平面; （2）求证: 平面平面; （3）求直线AC与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接交于O，连接OD，则由三角形中位线定理可得，再利用线面平行的判定定理可得结论. （2）由等边三角形性质可得，再由棱柱的性质结合已知可得平面，从而得，由线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论. （3）过C作CE于E，连AE，则可得CE⊥平面，从而中得∠CAE是AC与平面所成的角，然后在直角中求解即可. 【小问1详解】 在三棱柱 中，连接交于O，连接OD， 则O是的中点，又是的中点，， 而平面，OD平面， 所以平面. 【小问2详解】 由，是的中点，得， 由平面，得平面，又AD平面，则， 又､BC是平面内的两条相交直线，因此平面，而AD平面， 所以平面平面 【小问3详解】 在平面内过C作CE于E，连AE， 由（2）知，平面平面，平面平面， 则平面，是AC与平面所成的角， 在直角中，令，则，， 在直角中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知的内角，，的对边为，，，且. （1）求； （2）若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，即可得解； （2）①由面积公式求出，再由，利用数量积的运算律及基本不等式求出的最小值，即可得解；②由等面积法得到，再由基本不等式求出的最大值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理，因为，所以， 所以； 【小问2详解】 ①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由为的中点，所以， 所以 ，当且仅当时，等号取得到， 所以，则，故的最小值为； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 所以， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故，故的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期惠来一中第2次阶段考 高一数学试题 （本试题满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 在中，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在上的投影向量为 D. 当与的夹角为锐角时，的取值范围为． 10. 某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论正确的是（ ） A. 成绩在上人数最多 B. 成绩不低于70分的学生所占比例为70% C. 50名学生成绩的平均分小于中位数 D. 50名学生成绩的极差为50 11. 过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则点O是的重心 B. 若，，两两垂直，则点O是垂心 C. 若，，，则三棱锥的外接球的表面积为 D. 若，则二面角的大小为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若为纯虚数，则______. 13. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC中点，线段EF的长度为1，则______. 14. 如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： ①有水的部分始终为四棱柱形； ②没有水的部分始终呈棱柱形； ③水面所在四边形的面积为定值； ④棱始终与水面所在平面平行； ⑤当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．其中所有正确命题的序号是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求； （2）当何值时，与垂直? 16. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD. （1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； （2）求证：AD⊥PB. 17. 为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名同学体能成绩分数的平均分和第66百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差． 18. 如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. （1）求证:平面; （2）求证: 平面平面; （3）求直线AC与平面所成角的正弦值. 19. 已知内角，，的对边为，，，且. （1）求； （2）若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $