专题24 一元一次方程中含参数的问题（3知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题24 一元一次方程中含参数的问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 1.参数定义：参数是方程中用字母表示的未知常数，如方程ax + b = 0中a、b为参数。 2.分类讨论：当参数在系数位置时，需讨论系数是否为0，确定方程是否为一元一次方程。 当参数在常数项位置时，通过移项、合并同类项，用参数表示未知数。 3.解的情况： 当系数不为0时，方程有唯一解。 当系数为0且常数项也为0时，方程有无数解； 当系数为0但常数项不为0时，方程无解。 【题型1 利用一元一次方程的定义求字母参数】 例题：（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的方程是一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解；关于的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：0． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不为0． 根据一元一次方程的特点得到，，进而求解即可． 【详解】∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·重庆万州·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得，，求解即可． 【详解】由题意得：，解得： ∵，即 ∴ 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知是关于x的一元一次方程，则m的值 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【题型2 利用一元一次方程的解求代数式的值】 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如果是方程的解，那么的值是 ． 【答案】2 【知识点】方程的解 【分析】本题主要考查了方程的解，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程求得a的值即可． 【详解】解：将代入方程可得：，解得：． 故答案为2． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，以及解一元一次方程，将代入原方程是解题的关键．使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于a的一元一次方程，从而可求出a的值． 【详解】解：是关于x的方程的解， ， 解得， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如果是方程的解，那么 ． 【答案】1 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，先把代入方程得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的解， ， ． 故答案为：1． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】方程的解 【详解】把代入方程中得，，即， ∴． 【题型3 利用一元一次方程的解相同求字母参数】 例题：（23-24七年级上·广东湛江·期末）若方程与方程有相同的解，则的值等于 ． 【答案】4 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，先求出方程的解，把代入方程，求出a的值，最后得出答案即可． 【详解】解：解方程得：， 把代入方程得：， 解得：， ∴， 故答案为：4． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为 ． 【答案】3 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先解出的值，再代入，即可解出a的值． 【详解】解：∵关于的方程和方程的解相同， ∴由，得 把代入， 得 整理得 即 则 故答案为：3 2．（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知关于的方程的解与方程的解相同，则 【答案】或 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，先解得到，再把代入即可得到m的值． 【详解】解：解得到， 把代入得到 ， 解得或； 故答案为：或． 【题型4 求一元一次方程含字母参数的方程的解】 例题：（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如果关于的方程的解，则关于的方程的解 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是对方程变形为，令，则原方程变为，根据方程的解为，则，即可． 【详解】∵关于的方程为， ∴对方程进行变形为：， 令， ∴原方程变为：， ∵方程的解为：， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键；所以由题意易得，然后可得，进而求解即可． 【详解】解：由方程可变形为， 因为关于的一元一次方程的解为， 所以把看作一个整体，则方程的解为， 解得：， 故答案为． 2．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 【答案】7 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键．两个方程形式相似，第一个方程的解为，则第二个方程中与x对应，可得，可得结果． 【详解】解：关于的方程的解为， 则 ， ∴， ． 故答案为7 3．（23-24七年级上·江苏南通·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程解为 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将一元一次方程变形可得是方程的解，即可得出答案，解题的关键是得出是方程的解． 【详解】解：将一元一次方程变形得：， 关于的一元一次方程的解为， 是方程的解， 解得：， 故答案为：． 【题型5 一元一次方程含字母参数的解为整数解问题】 例题：（23-24七年级上·福建福州·期末）若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值和为 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】此题考查了此题考查了一元一次方程的解，先求出方程的解，根据解为整数，为整数，求出值，进行计算即可，正确的求出方程的解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∵方程有非负整数解，且为整数， ∴或或， 解得：为或或， ∴的值和为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江台州·期中）关于的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数的值的和为 ． 【答案】6 【知识点】方程的解 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 表示出方程的解，由方程的解是整数确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 【详解】解：方程， 解得：， ∵方程的解为整数， ∴或或， 解得：， 则符合条件的所有整数的值的和为． 故答案为：6． 2．（23-24七年级上·湖北恩施·阶段练习）若关于x的方程的解是整数，则非负整数m的值为 ． 【答案】0或1或3 【知识点】方程的解 【分析】本题主要考查了方程解的定义，先用m的代数式表示x的值，再根据方程的解是整数，求非负整数m的值即可． 【详解】解：由方程， 解得：， ∵方程的解是整数， ∴非负整数m的值为0或1或3． 故答案为：0或1或3． 3．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）关于x的方程的解为整数，则符合条件的正整数m的值为 ． 【答案】1或3或15 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】本题考查了一元一次方程的解，先将方程化简为，根据方程的解为整数，得到关于m的方程，解出并找出符合题意的m的值即可得出答案，解题的关键是熟练掌握解方程的步骤． 【详解】， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵方程的解为整数， ∴或， 解得：或3或或15， 又∵m为正整数， ∴符合条件的正整数m的值为1或3或15， 故答案为：1或3或15． 【题型6 一元一次方程含字母参数的新定义型问题】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． (1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是巧合方程，请求出b的值； (3)若和都是巧合方程，请求出的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程——拓展 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可； （2）先解方程，再根据“巧合方程”定义，建立关于b的方程求解即可； （3）同理（2）求出，n的值，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 是巧合方程； （2）解： ， 方程是巧合方程， ； （3）解： ， 方程是巧合方程， ，即， 解得：； 解得：， 方程是巧合方程， ， ， ， ， 解得：， ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母、方程的解 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，再由“兄弟方程”的定义得到关于x的方程：的解为，据此把代入方程中求出m的值即可； （2）根据“兄弟方程”的定义得到另一个解为，进而得到或，解方程即可； （3）解方程得，解方程得，根据“兄弟方程”的定义得到，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为6， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值． 【答案】(1)不是合并式方程，理由见解析； (2)． 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母、已知式子的值，求代数式的值 【分析】（1）根据“合并式方程”的定义进行计算即可； （2）由“合并式方程”的定义可得，解方程组即可． 本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，已知式子的值求代数值的值，理解一元一次方程的解的定义以及“合并式方程”的定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：依题意，一元一次方程的解为， 而， ∴一元一次方程不是“合并式方程”； （2）解： 关于的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为， ， 即， ∵，它的解为， ∴ 把代入 得 解得， 再把代入 解得， 答：． 3．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x方程与是“美好方程”，求n的值． 【答案】(1)不是“美好方程”，理由见解析 (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程——拓展 【分析】本题主要考查解一元一次方程以及“美好方程”的定义，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）解出方程的解即可判断； （2）求出关于的方程的解，根据两个一元一次方程的解之和为1求出答案即可； （3）求出关于的方程的解，根据两个一元一次方程的解之和为1求出答案即可； 【详解】（1）解：的解为， 的解为， ， 故不是“美好方程”； （2）解：的解为， 的解为， 根据题意可得：， 解得； （3）解：的解为， 的解为， 根据题意可得， 解得． 一、单选题 1．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）若是关于的一元一次方程，则的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，且未知数最高次为1的整式方程，是一元一次方程，据此即可解答． 【详解】解：是关于的一元一次方程， ， 解得：， 的值不可能为， 故选：A． 2．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）若关于的方程的解是，则的值为（    ） A． B．1 C． D．9 【答案】A 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程的解，将代入方程得，即可求解；理解“能使方程成立的未知数的值叫做方程的解．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故选：A． 3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）若是关于x的一元一次方程，则m等于（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的次数为，这样的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义可得：，，再解即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程， ，， 解得：， 故选：A． 4．（24-25六年级下·山东泰安·期中）对于非零的两个数、，规定，若，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了新定义及解一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．先根据定义得到一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：B． 5．（24-25七年级下·山东威海·期中）小海同学在解关于的方程，去分母时，方程右边的忘记乘以6，得方程的解为，则方程中的值和正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解一元一次方程的解法是解答关键．先把把代入方程右边的忘记乘以6的方程，求出，再正常解原方程即可． 【详解】解：去分母时，方程右边的忘记乘6，则所得的方程是， 把代入方程得， 解得：， 把代入方程得 ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 故选：A． 6．（24-25七年级下·福建泉州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键：先求出的解，根据新定义，得到的解，再利用换元法求出的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴方程的解为：， ∴关于y的方程即：的解为：， ∴； 故选A． 二、填空题 7．（24-25六年级下·山东泰安·期中）若是方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数、等式的性质2 【分析】本题主要考查了方程的解，等式的性质，先把方程的解代入方程得出，再根据等式的性质即可得出． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 8．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数．未知数的最高次数为1且两边都为整式的方程，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）已知是关于的方程的解，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义，代数式求值，由一元一次方程解的定义可得，进而代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键． 首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值． 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且 解得：， 故答案为：，． 11．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）若关于的方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解和整数的特征是解题的关键．先解方程求解，得，再利用为整数，解为整数，得出，，，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得：， 化简，得：， 解得：， ∵为整数，解为整数， ∴，，， 解得：，，，，，， 和为：， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏南通·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】4 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，令，则原方程可化为，进而根据题意得到关于的一元一次方程的解为，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：令，则关于的一元一次方程可以化为，即， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：4． 三、解答题 13．（24-25七年级下·福建泉州·期中）当为何值时，关于的方程的解与方程的解相同． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得出方程的解，再根据两个方程的解相同，把方程的解代入方程中计算m的值即可． 【详解】解：解方程得， ∵关于的方程的解与方程的解相同， ∴是关于的方程的解， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知是关于的方程的解，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)0 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值． （1）将代入关于x的方程，得到a和b的数量关系并代入计算即可； （2）由（1）得，将其代入计算即可． 【详解】（1）解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：由（1）得， ∴ ． 15．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）小红解关于的方程，在去分母的过程中，等号右边的常数项2漏乘公分母6，因而求得方程的解为． (1)求的值． (2)求出方程的正确解． (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 【答案】(1) (2) (3)去分母时，不要漏乘不含分母的项（ 或“移项时，要变号”，答案不唯一） 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程的解的定义（已知方程的解求参数）等知识点，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． （1）由题意得，是方程的解，把代入方程，得，解方程即可求出的值； （2）由（1）得，原方程为，然后按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为； （3）根据自身学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项即可． 【详解】（1）解：由题意得： 是方程的解， 把代入方程，得： ， 解得：； （2）解：由（1）得：原方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （3）解：答案不唯一，例如： “去分母时，不要漏乘不含分母的项”或“移项时，要变号”等等． 16．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______． (2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】（）先解方程，再根据“有趣方程”的定义解答即可求解； （）先解方程，再根据“有趣方程”的定义及方程的解为列式解答即可求解； 本题考查了解一元一次方程，方程的解，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程，得， ∵方程是“有趣方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：解方程，得， ∵方程是“有趣方程”， ∴，， 解得，． 17．（24-25七年级上·广东江门·期中）对于，，定义，若，则称与是关于1的“对称数”． (1)填空：7与_________是关于1的“对称数”，与_________是关于1的“对称数”． (2)若，，判断与是不是关于1的“对称数”，并说明理由． (3)已知，，其中，均为常数，且无论取何值，与都是关于1的“对称数”，求，的值． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 (3) 【知识点】整式加减中的无关型问题、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了新定义的运算，解题的关键是熟练掌握整式的加减混合运算法则和运算顺序． （1）根据题中所给关于1的“对称数”的定义，即可进行解得； （2）将a和b相加，看结果是否为2，若为2，则与是关于1的“对称数”，否则不是； （3）根据无论取何值，A与都是关于1的“对称数”可得的结果等于2，且含有x的项系数为0，即可进行求解． 【详解】（1）解：设7与m是关于1的“对称数”， 则，解得， 设与n是关于1的“对称数”， 则，解得：， 故答案为：，． （2）是，理由如下： ， ∴与是关于1的“对称数”． （3） ∵无论取何值，A与都是关于1的“对称数”， ∴， ∴． 18．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：若两个一元一次方程的解的乘积为1，则这两个方程互为“倒数方程”，如：方程与互为“倒数方程”． (1)关于x的方程与互为“倒数方程”，则 ； (2)关于x的方程与其“倒数方程”的解都是整数，求n的值； (3)关于x的方程与互为“倒数方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)4 (2)或 (3) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了新定义，一元一次方程的解，解一元一次方程，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义和解一元一次方程的一般步骤． （1）先解已知条件中的两个方程，求出方程的解，再根据“倒数方程”的定义列出关于的方程，解方程即可； （2）先解已知条件中的方程，然后求出其倒数方程的解，最后根据关于的方程与其“倒数方程”的解都是整数，列出关于的方程，解方程即可； （3）先解方程，然后根据“倒数方程”的定义，求出的解，再根据的解列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 关于的方程与互为“倒数方程”， ， ， 故答案为：4； （2）解：， ， ， 其“倒数方程”的解为， 与都是整数， ， 解得：或； （3）解：， ， ， ， ， 它的“倒数方程” 的解为， ， ， ， ， 关于的一元一次方程的解为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24 一元一次方程中含参数的问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 1.参数定义：参数是方程中用字母表示的未知常数，如方程ax + b = 0中a、b为参数。 2.分类讨论：当参数在系数位置时，需讨论系数是否为0，确定方程是否为一元一次方程。 当参数在常数项位置时，通过移项、合并同类项，用参数表示未知数。 3.解的情况： 当系数不为0时，方程有唯一解。 当系数为0且常数项也为0时，方程有无数解； 当系数为0但常数项不为0时，方程无解。 【题型1 利用一元一次方程的定义求字母参数】 例题：（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的方程是一元一次方程，则的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是 ． 2．（23-24七年级下·重庆万州·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值是 ． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知是关于x的一元一次方程，则m的值 ． 【题型2 利用一元一次方程的解求代数式的值】 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如果是方程的解，那么的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如果是方程的解，那么 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【题型3 利用一元一次方程的解相同求字母参数】 例题：（23-24七年级上·广东湛江·期末）若方程与方程有相同的解，则的值等于 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为 ． 2．（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知关于的方程的解与方程的解相同，则 【题型4 求一元一次方程含字母参数的方程的解】 例题：（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如果关于的方程的解，则关于的方程的解 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 2．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 3．（23-24七年级上·江苏南通·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程解为 ． 【题型5 一元一次方程含字母参数的解为整数解问题】 例题：（23-24七年级上·福建福州·期末）若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值和为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江台州·期中）关于的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数的值的和为 ． 2．（23-24七年级上·湖北恩施·阶段练习）若关于x的方程的解是整数，则非负整数m的值为 ． 3．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）关于x的方程的解为整数，则符合条件的正整数m的值为 ． 【题型6 一元一次方程含字母参数的新定义型问题】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． (1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是巧合方程，请求出b的值； (3)若和都是巧合方程，请求出的值． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值． 3．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x方程与是“美好方程”，求n的值． 一、单选题 1．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）若是关于的一元一次方程，则的值不可能为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）若关于的方程的解是，则的值为（    ） A． B．1 C． D．9 3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）若是关于x的一元一次方程，则m等于（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 4．（24-25六年级下·山东泰安·期中）对于非零的两个数、，规定，若，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 5．（24-25七年级下·山东威海·期中）小海同学在解关于的方程，去分母时，方程右边的忘记乘以6，得方程的解为，则方程中的值和正确的解是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·福建泉州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25六年级下·山东泰安·期中）若是方程的解，则代数式的值是 ． 8．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 9．（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）已知是关于的方程的解，则 ． 10．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ． 11．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）若关于的方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值之和为 ． 12．（24-25九年级上·江苏南通·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·福建泉州·期中）当为何值时，关于的方程的解与方程的解相同． 14．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知是关于的方程的解，求下列各式的值． (1)； (2)． 15．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）小红解关于的方程，在去分母的过程中，等号右边的常数项2漏乘公分母6，因而求得方程的解为． (1)求的值． (2)求出方程的正确解． (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 16．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______． (2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值． 17．（24-25七年级上·广东江门·期中）对于，，定义，若，则称与是关于1的“对称数”． (1)填空：7与_________是关于1的“对称数”，与_________是关于1的“对称数”． (2)若，，判断与是不是关于1的“对称数”，并说明理由． (3)已知，，其中，均为常数，且无论取何值，与都是关于1的“对称数”，求，的值． 18．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：若两个一元一次方程的解的乘积为1，则这两个方程互为“倒数方程”，如：方程与互为“倒数方程”． (1)关于x的方程与互为“倒数方程”，则 ； (2)关于x的方程与其“倒数方程”的解都是整数，求n的值； (3)关于x的方程与互为“倒数方程”，求关于y的一元一次方程的解． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$